2.1 等式性质与不等式性质-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

2.1等式性质与不等式性质【考点梳理】考点一：比较大小的方法依据如果a>b⇔a－b>0.如果a＝b⇔a－b＝0.如果a<b⇔a－b<0.结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小考点二：重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．考点三：等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).考点四二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正【题型归纳】题型一：已知条件判断所给不等式的大小1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知，且，则下列不等式中，一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·内蒙古·赤峰市元宝山区第一中学高一期中）若，则下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．3．（2022·四川省峨眉第二中学校高一期中（理））若，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．题型二：不等式的性质比较数的大小4．（2022·浙江省淳安中学高一期中）已知实数满足，则“”是“”（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2022·山东青岛·高一期末）已知，则下述一定正确的是（

）A． B．C． D．题型三：作差法或作商法比较不等式的大小7．（2022·甘肃张掖·高一期末）若，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．a，b大小不确定8．（2021·山东·泰安一中高一期中）设，，则（

）．A． B． C． D．9．（2022·河北沧州·高一期末）下列说法正确的是（

）A．若，，则 B．若a，，则C．若，，则 D．若，则题型四：利用不等式求取值范围10．（2022·吉林延边·高一期末）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．11．（2022·江苏·高一）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．12．（2021·全国·高一专题练习）下列选项中，使不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．题型五：由不等式性质证明不等式13．（2022·湖南·高一课时练习）利用不等式的性质证明下列不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．14．（2022·湖南·高一课时练习）求证：(1)若，且，则；(2)若，且，同号，，则；(3)若，且，则．15．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）（1）已知a，b，c，d均为正数.求证：（2）已知.求证：<的充要条件为x>y【双基达标】一、单选题16．（2022·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则17．（2022·江苏·高一）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定18．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则19．（2022·广东珠海·高一期末）对于任意实数，给定下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则20．（2022·湖南·高一课时练习）已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（

）A．M<N B．M>NC．M＝N D．无法确定21．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1)与；(2)与．22．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：(1)若，，则；(2)若，，则．【高分突破】一：单选题23．（2022·湖南永州·高一期末）若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．24．（2022·北京顺义·高一期末）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．25．（2022·山西运城·高一期末）如果，且，那么下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则26．（2022·湖南·高一期末）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．27．（2021·四川成都·高一期末（文））若a，b为实数，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则28．（2022·山东滨州·高一期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，再取出yg黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（

）A． B．C． D．以上选项都有可能29．（2022·上海虹口·高一期末）设a、b都是实数，则“且”是“且”的（

）条件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要30．（2022·北京平谷·高一期末）已知a，b，，那么下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则二、多选题31．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则32．（2022·广东·深圳科学高中高一期中）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．，则 D．若，则33．（2022·贵州贵阳·高一期末）下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则34．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为符号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则35．（2022·辽宁·育明高中高一期末）若实数，则下列不等关系正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．36．（2022·湖南衡阳·高一期末）下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，则37．（2022·辽宁丹东·高一期末）如果a，b，c，，那么（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则38．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）下列命题是真命题的是（

）A．若，则 B．若，且，则C．若，则 D．若，则39．（2022·江苏镇江·高一期末）对于实数，，，正确的命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则， D．若，，则40．（2022·湖南张家界·高一期末）下列命题为真命题的是（

）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则三、填空题41．（2022·全国·高一）下列四个代数式①，②，③，④，若，则代数式的值最大的是______．（填序号）．42．（2022·全国·高一）已知，，则的取值范围是__________．43．（2022·全国·高一）若a、b∈R，则下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5＞a3b2＋a2b3；④a＋≥2中一定成立的是__________．(填序号)44．（2021·天津市滨海新区大港第八中学高一期中）比较大小：___.（填）45．（2021·全国·高一专题练习）给出以下四个命题：①；②；③；④．其中真命题的序号是________．46．（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材.已知在该批次器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元.设1个排球的价格为A元，1个足球的价格为B元，则A___________B（填“>”､“<”或“=”）.47．（2022·江苏·高一）若，则下面有六个结论：①，②，③，④，⑤，⑥中，正确结论的序号是_______．四、解答题48．（2021·湖北·车城高中高一）（1）已知，，求和的取值范围；（2）已知，，求的取值范围.49．（2021·全国·高一专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；（2）已知c>a>b>0，求证：50．（2021·全国·高一）已知，，，求证：(1)；(2).（2021·全国·高一）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；（2）已知c>a>b>0，求证：；（3）观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).【答案详解】1．D【详解】对A，当时，不成立，故A错误；对B，当时，不成立，故B错误；对C，当时，不成立，故C错误；对D，因为为增函数，故时一定成立，故D正确；故选：D2．D【解析】【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A，B，C正确，再举例说明D错误..【详解】因为，所以，，，，又，所以，所以成立，，所以，，所以，取可得，，，所以不成立，故选：D.3．D【解析】【分析】根据不等式的性质判断．【详解】，A错，B错；即，C错；，D正确．故选：D．4．A【解析】【分析】由，，依题意可得只需比较与的大小，再根据充分条件、必要条件的定义判断可得；【详解】解：因为，又，则，所以要比较与的大小，即比较与的大小，即比较与的大小，当且时，且，即，所以，即，故充分性成立，当时，此时也满足，故必要性不成立；即“”是“”充分不必要条件；故选：A5．D【解析】【分析】利用不等式的性质可判断ABD，取特殊值可判断C选项.【详解】选项A：因为，所以，所以，故A错误；选项B：因为，则，所以，即，又，所以不等式两侧同时乘以，则，故B错误；选项C：当时，此时，，，，故C错误；选项D：因为，所以，则，故D正确.故选：D.6．C【详解】解：因为，所以，，故AB错误；，所以，所以，所以，即，故C正确；对于D，若时，则，故D错误.故选：C.7．B【详解】解：因为，所以．故选：B.8．D【解析】【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小.【详解】，，则.故，当且仅当时，取等号，故选：D【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.9．C【解析】【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项.【详解】A：令，；，，则，，不满足，故A错误；B：a，b异号时，不等式不成立，故B错误；C：，，，，即，故C正确；D：令，，不成立，故D错误.故选：C10．A【解析】【分析】先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.【详解】因为，所以，由，得.故选：A.11．C【解析】【分析】由不等式的性质求解【详解】，故，，得故选：C12．A【解析】【分析】根据给定条件解不等式，再分类等价转化即可求解作答.【详解】因，则有，解得：或，当时，，显然不成立，无解，当时，，不等式恒成立，解得或，则有，所以使不等式成立的x的取值范围是.故选：A13．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）可知，而，即可得证；（2）可知，而，即可得证；(1)证明：，，又，；(2)证明：，，又，．14．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】（1）将变为，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；（2）由以及，可得，再根据，同号，得，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；（3）由可得，继而可得,利用不等式的性质可得结论.(1)证明：因为，所以，又，故，即；(2)证明：因为，，所以，因为，同号，所以，，故，即，所以；(3)证明：因为，所以，又，所以，故.15．详见解析.【解析】【分析】（1）利用基本不等式即证；（2）利用不等式的性质，由，可得<，由<，，可得，即证.【详解】（1）∵a，b，c，d均为正数，∴当且仅当时取等号，同理可得，∴，当且仅当时取等号；（2）充分性，因为，，，∴<，必要性，因为<，，所以，综上，<的充要条件为x>y.16．D【解析】【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.【详解】对于A，若，由可得：，A错误；对于B，若，则，此时未必成立，B错误；对于C，当时，，C错误；对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.故选：D.17．B【解析】【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.【详解】，因为，所以，又，所以，即.故选：B18．B【解析】【分析】利用不等式的性质逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，若，，则，故，A错；对于B选项，若，，则，所以，，故，B对；对于C选项，若，则，则，C错；对于D选项，若，则，所以，，D错.故选：B.19．C【解析】【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；【详解】解：对于A：当时，若则，故A错误；对于B：若，，，，满足，则，，不成立，故B错误；对于C：若，则，所以，故C正确；对于D：若，满足，但是，故D错误；故选：C20．B【解析】【分析】采用作差法，将M＝a1a2，N＝a1＋a2－1相减，根据条件判断差的符号，即可比较大小.【详解】∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N，故选：B.21．(1)(2)【解析】【分析】利用作差法得出大小关系.(1)因为，所以，当且仅当时，取等号.即(2)因为，所以，当且仅当时，取等号.故.22．(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】【分析】（1）利用不等式的性质可证得结论；（2）由，知，利用，即可证得结论；(1)，两边同乘以，则又，两边同乘以，则即(2)，两边同乘以，得；两边同乘以，得，所以又，则，又，则，即23．A【解析】【分析】选项A.根据不等式的基本性质可判断；选项B.

当为负数时，根式无意义可判断；选项C.当时的情况可判断；选项D.举特例可判断.【详解】选项A.

由，根据不等式的基本性质可得成立，故选项A正确.选项B.

当为负数时，根式无意义，则不成立.故选项B不正确.选项C.

当时，不成立.故选项C不正确.选项D.取，显然满足，但不成立，故选项D不正确.故选：A24．B【解析】【分析】对于ACD，举例判断，对于B，分两种情况判断【详解】对于A，若时，满足，而不满足，所以A错误，对于B，当时，则一定成立，当时，由，得，则，所以B正确，对于C，若时，满足，而不满足，所以C错误，对于D，若时，则满足，而不满足，所以D错误，故选：B25．D【解析】【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.【详解】对于A，若，，满足，但不成立，错误；对于B，若，则，错误；对于C，若，，满足，但不成立，错误；对于D，由指数函数的单调性知，正确.故选：D.26．D【解析】【分析】通过作差法来判断每一个选项.【详解】对于A，，当时，，即，则A错误；对于B，，当时，，则，即，则B错误；对于C，，当时，，则，即，则错误；对于D，，因为，所以，所以，即，则D正确.故选：D27．D【解析】【分析】据特值可说明ABC不正确；根据不等式的性质可得D正确.【详解】对于A，当时，满足，不满足，故A不正确；对于B，当时，满足，不满足，故B不正确；对于C，当时，满足，不满足，故C不正确；对于D，若，则，故D正确.故选：D.28．A【解析】【分析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设，先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，利用杠杆的平衡原理可得，，再利用作差法比较与12的大小即可．【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设，先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为，由杠杆的平衡原理：，，解得，，则，下面用作差法比较与12的大小，，又，，，顾客实际购买的黄金大于12克．故选：A．29．A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合不等式性质即可判断作答.【详解】a、b都是实数，若且，由不等式性质得：且成立，若且成立，取，而且不成立，所以“且”是“且”的充分非必要条件.故选：A30．C【解析】【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析．【详解】．若，当时，，所以不成立；．若，当时，则，所以不成立；．因为，将两边同除以，则，所以成立．若且，当时，则，所以，则不成立．故选：．31．ABC【解析】【分析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；对于D：取特殊值即可否定结论.【详解】对于A：因为，所以.因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.对两边同乘以，有，所以.故C正确；对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.故选：ABC32．ABC【解析】【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确；对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；对于C选项，由于，故，故，即，正确；对于D选项，当时，，故错误.故选：ABC33．AB【解析】【分析】对于A：利用同向不等式相加可以证明；对于B：利用同向不等式相乘可以证明；对于C：利用不等式的可乘性可以判断；对于D：取特殊值可以判断.【详解】对于A：因为，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正确；对于B：因为，所以，又因为，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.故C错误；对于D：取特殊值满足，但是，，所以.故D错误.故选：AB34．ACD【解析】【分析】分别由不等式的同加同乘性质可得，注意选项B中为0的情况.【详解】选项A：，在不等式两边同除以得，A正确；选项B：当时，，B错误；选项C：同向不等式相加，不等号方向不变，C正确；选项D：，，两边同除以得，，D正确.故选：ACD.35．AC【解析】【分析】直接利用不等式的性质、构造函数、作差法等进行逐项判断即可．【详解】对于A：由于，∴，故A正确；对于B：由于，且，则b－a＞0，∴不一定大于0，故B错误；对于C：设，由于函数在上单调递增，故f(b)＞f(a)，可得成立，故C正确；对于D：当时，，故D错误．故选：AC．36．AC【解析】【分析】对于AC，举例判断，对于B，利用不等式的性质判断，对于D，利用作差法判断【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，因为，，所以由不等式的性质可得，对于C，若，则，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，故选：AC37．BD【解析】【分析】根据举例说明即可判断选项A、C，根据不等式的基本性质即可判断选项B、D.【详解】A：令，满足，但，故A错误；B：因为，所以，故B正确；C：令，，满足，，但，故C错误；D：因为，，由不等式的性质，得，故D正确.故选：BD38．BD【解析】【分析】举出反例可判断AC，利用不等式的性质即可判断B，利用作差法即可判断D.【详解】解：对于A，若，当时，，故A错误；对于B，若，且，则，所以，所以，故B正确；对于C，若，当时，，故C错误；对于D，若，则，所以，故D正确.故选：BD.39．ABD【解析】【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，所以，，所以，故A正确；对选项B，，，所以，因为，所以，即，故B正确；对选项C，令，，满足，不满足，.对选项D，因为，，所以，故D正确.故选：ABD40．ACD【解析】【分析】利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.【详解】由不等式性质知若，则，即，A对，取，则，，，B错，因为，所以，所以(当且仅当时等号成立)，而，故，C对，因为，所以，，所以，D对，故选：ACD.41．③【解析】【分析】利用作差法比较大小即可．【详解】∵，令②①得：，∴②＞①，令③②得：，∴③＞②，令③④得：，∴③＞④，∴代数式的值最大的是③.故答案为：③42．【解析】【分析】利用不等式的基本性质可得答案.【详解】因为，，则，所以，即的取值范围是．故答案为：.43．①②【解析】【分析】利用作差法及不等式性质，即可作出判断.【详解】①a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，正确；②a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，正确；③a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，若a＝b，则上式＝0，不正确；④若a＜0，则a＋＜0不正确.∴①②一定成立.故答案为：①②44．【解析】【分析】利用差比较法确定正确答案