2.1.1 直线的倾斜角与斜率-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）

高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)直线和圆的方程2.1.1直线的倾斜角与斜率【考点梳理】考点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.考点二：直线的斜率1．直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0考点三：过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【题型归纳】题型一：直线的倾斜角1．直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是（）A．0°≤α≤90° B．90°≤α<180° C．90°≤α<180°或α＝0° D．90°≤α≤135°2．已知直线的倾斜角为，则（）A． B． C． D．3．直线的倾斜角为，则的值为（）A． B． C． D．2题型二：直线的斜率4．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（）A．或 B．C． D．或5．若直线经过两点，且倾斜角为，则m的值为（）A．2 B． C．1 D．6．下列命题正确的是（）①直线倾斜角的范围是；②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角和斜率．A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③题型三：倾斜角和斜率的变化关系7．已知直线，，的斜率分别是，，，如图所示，则（）A． B． C． D．8．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．9．经过点作直线，若直线与连接的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为（）A．或 B．C． D．或题型四：与斜率公式有关的问题10．若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．11．已知直线l1过点A(-1，1)和B(-2，-1)，直线l2过点C(1，0)和D(0，a)，若两条直线的斜率相等，则a的值为（）A．-2 B．2C．- D．12．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为（）A．4 B．9 C． D．【双基达标】一、单选题13．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．14．直线经过原点和，则的斜率是（）A．0 B． C． D．不存在15．已知两点，若直线与线段AB恒有交点，则k的取值范围（）A． B．C． D．16．已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是（）A． B．K>-2C．或．K>-2 D．17．直线的倾斜角的大小为（）A． B． C． D．18．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，则的斜率为（）A． B． C． D．19．直线：与轴交于点，把绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（）A． B．C． D．20．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（）A． B． C． D．21．直线l过点，且与以，为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围（）A． B．C． D．22．已知直线，，若直线l过且与直线m､n在第一象限围成一个等腰锐角三角形，则直线l的斜率是（）A． B． C． D．2【高分突破】一：单选题23．已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则A． B．C．− D．24．已知点，直线方程为，且直线与线段相交，求直线的斜率k的取值范围为A．或 B．或C． D．25．已知点，，若直线过点与线段始终没有交点，则直线的斜率的取值范围是A． B．或 C． D．26．已知点，，若直线与线段恒有公共点，则的取值范围是（）A． B．C． D．27．已知A（2，3），B（﹣1，2），若点P（x，y）在线段AB上，则的最大值为（）A．1 B． C． D．﹣328．直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围为（）A． B．C． D．29．下列命题中，正确的是（）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.30．已知直线，点，，若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是（）A．， B．，C．， D．，二、多选题31．下列说法中正确的是A．若是直线的倾斜角，则B．若是直线的斜率，则C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角32．(多选)若经过A(1a，1+a)和B(3，a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值不可能为（）A． B． C．1 D．233．已知直线l的方程为ax+by-2＝0，下列判断正确的是（）A．若ab＞0，则l的斜率小于0 B．若b＝0，a≠0，则l的倾斜角为90°C．l可能经过坐标原点 D．若a＝0，b≠0，则l的倾斜角为0°34．（多选）若直线l与x轴交于点A，其倾斜角为，直线l绕点A顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角可能为（）A． B． C． D．35．已知两点，，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A． B．C． D．三、填空题36．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系是________．37．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．38．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.39．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为________．40．已知坐标平面内三点，，，若为线段上一动点，求直线的斜率的取值范围___________.四、解答题41．过两点，的直线的倾斜角为，求的值．42．m为何值时，（1）经过，两点的直线的斜率是12？（2），两点的直线的倾斜角是？43．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围.44．已知，，三点.（1）求直线和的斜率；（2）若点在线段(包括端点)上移动，求直线的斜率的变化范围.【答案详解】1．C【详解】∵直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，∴l的倾斜角的范围为或，故选：C.2．A【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以.又，分子分母同时除以，得，将代入可得，故选：A.3．C【详解】因为的倾斜角为，所以，所以，故选：C4．D【详解】解：由图可知，经过点作直线，当直线过点时斜率最小，过点时斜率最大，因为，，所以，所以，因为，所以或，故选：D5．B【详解】由题意，可知直线的斜率存在，且，所以，解得.故选：B.6．A【详解】对于①中，根据直线倾斜角的定义，可知直线倾斜角的范围是，所以是正确的；对于②中，根据直线的斜率与倾斜角的关系，可得，当时，可得，则，所以是正确的；对于③中，由任何一条直线一定有倾斜角，但不都有斜率，所以不正确；对于④中，任何一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，所以不正确．故选:A.7．C【详解】设直线，，的倾斜角分别为，根据直线的倾斜角概念，可得，再由直线的斜率与倾斜角关系，可得，故故选：C.8．C【详解】当时，方程变为，其倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，且，，即，又，，由上知，倾斜角的范围是．故选：C．9．D【详解】解：设直线的倾斜角为（），由图可知，要使直线与连接的线段总有公共点，只要，所以，即，所以或，故选：D10．D【详解】联立方程组，解得，因为两直线的交点位于第二象限，可得且，解得，设直线的倾斜角为，其中，即，解得，即直线的倾斜角的取值范围是.故选：D.11．A【详解】，，，.故选:A.12．D【详解】由题得，所以.当且仅当时取等.所以的最小值为.故选：D13．A设直线过定点，则直线可写成，令解得直线必过定点．，．直线与线段相交，由图象知，或，解得或，则实数的取值范围是．14．B因为直线经过原点和，则的斜率是，故选：B.15．B【详解】解：直线过定点，，，由图象可知：或，所以k的取值范围是：．故选：B．16．D【详解】解：直线经过定点，，，又直线与线段相交，，故选：．17．D【详解】由可得，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，故选：D.18．D【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，所以直线的倾斜角为，所以的斜率为，故选：D.19．C【详解】设的倾斜角为，则，∴，由题意知，∴.故选：C．20．B原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，所以新直线的斜率为.故选：.21．D如图所示：因为，所以直线l与以，为端点的线段相交，只需：或，故选：D22．A解：根据题意，设直线的斜率为，直线，，两直线相交于点，设，点在直线上，直线与直线相交于点，为等腰锐角三角形，则，则，故必为顶点，必有则有，必有，解可得：或，则，故选：．23．A直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3，

∴，

故选A．24．A易求得线段的方程为，得，由直线的方程得，当时，，此时，；当时，，此时，．因此，实数的取值范围是或，故选A．25．A因为，，如图：因为直线与线段始终没有交点，所以斜率k的取值范围是.故选A.26．D【详解】直线恒过定点，直线的斜率，直线的斜率，当或时，直线与线段恒有公共点.故选：D.27．C设Q（3，0），则kAQ3，kBQ，∵点P（x，y）是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是[﹣3，]，故则的最大值为，故选C．28．D【详解】解：直线的斜率为，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：D.29．C【详解】倾斜角的范围为时，直线斜率，倾斜角的范围为时，直线斜率，故A错误；直线的倾斜角时，直线斜率不存在，故B错误；直线倾斜角，则斜率的范围为，故C正确；斜率在和上单调递增，故D错误.故选：C.30．A【详解】若直线与线段有公共点，则、在直线的两侧（也可以点在直线上）.令，则有，，，即.解得，故选：A.31．ABCA.若是直线的倾斜角，则,是正确的；B.若是直线的斜率，则，是正确的；C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率，是正确的；D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角，是错误的，倾斜角为90°的直线没有斜率.故选：ABC32．AB解析：kAB=<0，即2+a>0，所以，CD满足．故选：AB．33．ABD【详解】若ab＞0，则l的斜率，则A正确；若b＝0，a≠0，则l的方程为，其倾斜角为90°，则B正确；若l可能经过坐标原点，则-2＝0，这显然不成立，则C错误；若a＝0，b≠0，则l的方程为，其倾斜角为0°，则D正确.故选：ABD34．BC【详解】因为直线倾斜角的取值范围为，当时，直线的倾斜角为，当时，直线的倾斜角为.故选：BC.35．AB【详解】解：，，直线l过点且与线段MN相交，则或，则直线l的斜率k的取值范围是：或．故选：AB．36．k1<k3<k2【详解】由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大．∴k1<k3<k2．故答案为：k1<k3<k2．37．(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【详解】解：∵直线l与线段AB有公共点，∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA．∵，∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故答案为：(－∞，－1]∪[3，＋∞)38．解析：由题意得，ab+2(a+b)=0，．故答案为：．39．【详解】实数，满足方程，当时，表示直线上的点与点连线的斜率，设、为直线上的两个点，且，的斜率为，的斜率为，故的范围为，故答案为：．40．解：做出图形，如图，为线段上一动点，所以直线的斜率满足由于，所以故答案