湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考数学参考答案

湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考数学参考答案：题号12345678910答案BCBABDDBACDBD题号11答案AC1．B【分析】将代入方程求出，再求集合即可.【详解】由可知，当时，，解得：或，即.故选：B2．C【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.【详解】因为，所以.故选：C.3．B【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．【详解】设等差数列的公差为，，则，，则，解得，，．故选：B．4．A【分析】切化弦，通分即可求解.【详解】因为，因为，所以.故选：A.5．B【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积．【详解】如图正八面体，连接和交于点，因为，，所以，，又和为平面内相交直线，所以平面，所以为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为8×34AB所以EB=则R=故选：B．6．D【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较大小.【详解】，当时，，所以在单调递增，因为，所以，即.故选：D7．D【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可.【详解】与在上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.

8．B【分析】根据题意，利用赋值法，求得，得到的一个周期是，再根据函数的周期性和奇偶性，求得的值，进而得到答案.【详解】由题意知，函数的定义域为，且，令，得，所以；令，得，所以，所以是偶函数，令，得①，所以②，由①②知，所以，所以，所以的一个周期是，由②得，所以，同理，所以，又由周期性和偶函数可得：所以，所以.故选：B.9．ACD【分析】根据的含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用表示，利用概率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可.【详解】对于A，因，则，故A正确；对于B，因，即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误；对于C，因,故这次考试等级分在内的人数约为人，故C正确；对于D，因,故D正确.故选：ACD.10．BD【分析】对于A项，运用若点关于对称的点满足方程，则曲线的图象关于对称，检验即可；对于B项，根据已知条件可得即可；对于C项，计算边界点来界定整数点个数；对于D项，联立直线方程与双纽线方程，将问题转化为方程只有一解即可.【详解】对于A项，把代入得，显然点不满足双纽线方程，所以曲线的图象不关于对称，故A项错误；对于B项，由可得，所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3，故B项正确：对于C项，令解得或，即曲线经过，，，由题意可知，，令，得，令，得，因此曲线只能经过3个整点，，，故C项错误；对于D项，直线与曲线一定有公共点，若直线与曲线只有一个交点，所以，整理得，只有一个解，即，解得，故D项正确．故选：BD.11．AC【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明.【详解】由题意可知：的定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，且当趋近于0或时，趋近于，可得函数的图象，如图所示：对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确；对于选项B：因为，且在内单调递增，所以，故B错误；对于选项C：令，可得，可知函数有4个零点，即与有4个交点，且的定义域为，且，可知为偶函数，且当时，原题意等价于当时，与有2个交点，由题意可知：，故C正确；对于选项D：设，则，可知在内单调递增，则，即，若，不妨设，则，且，且在内单调递增，则，所以，故D错误；故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．12．【分析】由已知分别求出和，再根据平面向量数量积的运算律求解即可．【详解】由得，，因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，所以，即，所以，所以，故答案为：．13．【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得，再利用双曲线定义及勾股定理求解即得.【详解】令双曲线的半焦距为，由离心率为2，得，取的中点，连接，由，得，则，连接，由为的中点，得，，，因此，即，整理得，而，所以.故答案为：

14．【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，先求出5名工作人员分配到3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是和，人数组合是时，共有种情况，其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种；人数组合是时，共有种情况，其中甲､乙两人分配到同一个会议厅的情况为种，从而甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有种，所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出，根据三角形面积公式、利用重要不等式进行求解即可.【详解】（1）由已知及正弦定理可得，整理得，，．（2）外接圆的半径为2，，得，又，当且仅当时，等号成立，，即面积的最大值为．16．(1)证明见详解(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；（2）作，垂足为，根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利用勾股定理，因此可以以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】（1）因为平面，又平面，所以.又，且，所以平面.因为，所以平面.（2）作，垂足为.则.又，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形，且，，所以.由（1）知平面，所以.又，所以.在中，.在中，.由上可知，能以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，，所以，，，，，设平面的法向量为，由，得可取.

设平面的法向量为，由，得，可取.

因此，，.依题意可知，平面与平面的夹角的余弦值为.17．(1)或(2)证明见解析【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解得答案；（2）设直线为，直线与椭圆只有一个公共点联立方程组消元得，直线与椭圆交于两点，连立方程组结合韦达定理得，结合三角形面积公式得答案；【详解】（1）因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得，，所以直线为或（2）因为直线与椭圆只有一个公共点，设直线为由，得,又因为直线与椭圆交于两点，得所以，因为直线与轴交于点，所以所以.18．(1)的单调减区间为：；单调增区间为：，(2)1个(3)【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；（2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解.（3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域即可求解.【详解】（1）由题可得：，令，解得：或，令f'x<0令，解得：或；所以的单调减区间为：；单调增区间为：，（2）因为的单调减区间为：；单调增区间为：，，由于，则在上无零点；由于，则在上无零点；由于，则在上存在唯一零点；综上，函数在上存在唯一零点.（3）若在区间上有两个零点，则函数与在区间上有两个交点；由(1)知，在上单调递增，上单调递减；，，，所以函数与在区间上有两个交点，则，即在区间上有两个零点，则的范围为19．(1)(2)不存在，理由见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据题意得到，且，，再解不等式组即可；（2）首先假设存在等差数列an符合要求，从而得到成立，再分类讨论和的情况，即可得到答案.（3）首先设数列an的公比为q，则，根据题意得到，从而得到为最小项，同理得到为最小项，再利用“数列”的定义得到，或，，再分类讨论即可得到答案.【详解】（1）由题意得，且，解得，所以实数m的取值范围是．（2）不存在．理由：假设存在等差数列an符合要求，设公差为d，则，由得．由题意，得对均成立，即．当时，；当时，恒成立，因为，所以，与矛盾，所以这样的等差数列an（3）设数列an的公比为q，则．因为an的每一项均为正整数，且，所以在中，为最小项.同理，中，为最小项.由an为“K数列”，只需，即．又因为不是“数列”，且为最小项