八年级数学下册 第一次月考（压轴37题12种题型）（解析版）

第一次月考（压轴37题12种题型）范围：八年级下册第一-第三单元一．三角形中位线定理（共1小题）1．如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，AC＝7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B1C1的三边中点，得到△A2B2C2，…，按这样的规律下去，△A2022B2022C2022的周长为．【答案】．【解答】解：∵A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，∴A1B1＝AB，A1C1＝AC，B1C1＝BC，∴△A1B1C1的周长＝×△ABC的周长＝×21，……∴△A2022B2022C2022的周长＝×21，故答案为：．二．平行四边形的性质（共1小题）2．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝2．【答案】2．【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，∵BP＝BC，∴∠BCP＝∠BPC，∴∠BPC＝∠MHP，∴PM＝MH，∵PM＝CN，∴CN＝MH，∵ME⊥CP，∴PE＝EH，在△NCF和△MHF中，，∴△NCF≌△MHF（AAS），∴CF＝FH，∴EF＝EH+FH＝CP，∵矩形ABCD中，AD＝10，∴BC＝AD＝10，∴BP＝BC＝10，在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，∴EF＝CP＝×4＝2．故答案为：2．三．菱形的性质（共1小题）3．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的菱形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，∠ABC＝60°，则OC的最大值是+1．【答案】．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接CE，OE，AC，∵边长为2的菱形ABCD，∴AB＝BC＝2，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AB的中点E，∴，CE⊥AB∴，在Rt△ABO中，，∴，∴当C、O、E三点共线时OC最大，最大值为．故答案为：．四．菱形的判定与性质（共2小题）4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，即：t＝8﹣t，解得t＝4．答：当t＝4时，四边形ABQP是矩形；（2）设t秒后，四边形AQCP是菱形当AQ＝CQ，即＝8﹣t时，四边形AQCP为菱形．解得：t＝3．答：当t＝3时，四边形AQCP是菱形；（3）当t＝3时，CQ＝5，则周长为：4CQ＝20cm，面积为：4×8﹣2××3×4＝20（cm2）．5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：能．理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，∴DF＝2t，又∵AE＝2t，∴AE＝DF，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF，又∵AE＝DF，∴四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即60﹣4t＝2t，解得t＝10．∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形．（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD，∴∠ADE＝∠DEF＝90°，∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°，∴AD＝AE＝t，又AD＝60﹣4t，即60﹣4t＝t，解得t＝12；②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，∴AD＝2AE，即60﹣4t＝4t，解得t＝．③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形．五．矩形的性质（共6小题）6．数学家笛卡尔在《几何》一书阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短．如图，在直角坐标系中，矩形OABC，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（）A．3 B． C． D．4【答案】C【解答】解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，∵点B的坐标是（1，3），∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理可得：∴，∵四边形OABC为矩形，∴OB＝AC，∴．故选：C．7．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD点F，则PE+PF等于（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：连接PO，∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，∴PE+PF＝，故选：C．8．矩形ABCD与矩形CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：延长GH交AD于M点，如图所示：∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝2，BE∥AD∥FG，∴DG＝CG﹣CD＝2﹣1＝1，∠HAM＝∠HFG，∵AF的中点H，∴AH＝FH，在△AMH和△FGH中，，∴△AMH≌△FGH（ASA）．∴AM＝FG＝1，MH＝GH，∴MD＝AD﹣AM＝2﹣1＝1，在Rt△MDG中，GM＝＝，∴GH＝GM＝，故选：B．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形ABCO，B（4，3），点D为x轴上的一个动点，以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接OE，则OE的最小值为．【答案】．【解答】解：如图，以OA为边在OA右侧作等边三角形AGO，∴∠OAG＝60°，连接EG并延长交y轴于点M，过点O作OH⊥GM于点H，在矩形ABCO中，∵B（4，3），∴OA＝BC＝3，AB＝OC＝4，∴OA＝OG＝AG＝3，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠OAG＝∠DAE＝60°，∵∠OAD＝∠OAG﹣∠DAG，∠GAE＝∠DAE﹣∠DAG，∴∠OAD＝∠GAE，在△ADO和△AEG中，，∴△ADO≌△AEG（SAS），∴∠AOD＝∠AGE＝90°，∴∠AGM＝90°，∴点E在过定点G且与AG垂直的直线上运动，即点E在直线MG上运动，∵△OAG是等边三角形，∴∠AGO＝60°，∴∠OGH＝30°，∵OH⊥GM，∴OH＝OG＝，当点E与H不重合时，OE＞OH，当点E与H重合时，OE＝OH，综上所述：OE≥OH，∴OE的最小值为，故答案为：．10．如图，∠MEN＝90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，已知BC＝10，CD＝5，点D，E之间距离的最大值是5+5．．【答案】5+5．【解答】解：∵∠MEN＝90°，F是BC中点，∴EF＝BC＝5．如图：ED≤EF+DF，当点D，E，F三点共线时，取等号．此时F是BC的中点，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴FD＝＝＝5．∴ED最大＝EF+DF＝5+5．故答案为：5+5．11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是2．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2∴PB的最小值是2．故答案为：2．正方形的性质（共15小题）12．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若，PB＝10，下列结论：①△APD≌△AEB；②∠AEB＝135°；③；④S△APD+S△APB＝33；⑤CD＝11．其中正确结论的序号是（）A．①②③④ B．①④⑤ C．①②④ D．③④⑤【答案】C【解答】解：①在正方形ABCD，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵EA⊥PA，∴∠EAP＝∠BAD＝90°∴∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，∴∠EAB＝∠PAD，∵AE＝AP，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS）；故①成立；②∵AE＝AP＝3，∠EAP＝90°，∴∠AEP＝∠APE＝45°，PE＝AE＝6，∵△APD≌△AEB，∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，故②成立；③∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，在Rt△BPE中，PE＝6，PB＝10，∴BE＝＝8，故③不成立；④如图，连接BD，由②得：PE＝6，BE＝8，∵△APD≌△AEB，∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S四边形AEBP＝S△AEP+S△EPB＝•AE•AP+•PE•BE＝×3×3+×6×8＝33．故④成立；∵△APD≌△AEB，∴PD＝BE＝8，∴S△BDP＝PD•BE＝32，∴S△ABD＝S△APD+S△APB+S△BPD＝33+32＝65，∴S正方形ABCD＝2S△ABD＝130，∴CD2＝130，∴CD＝，故⑤不成立．综上所述，正确结论的序号是①②④，故选：C．13．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点P为射线DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE＝4，在射线AB上截取点Q使EQ＝CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为（）A．8 B．12 C． D．【答案】C【解答】解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，则∠EFA＝∠EFQ＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠D＝∠A＝90°，∴四边形DAFE是矩形，∴AD＝EF＝CD，在Rt△EFQ和Rt△CDP中，，∴Rt△EFQ≌Rt△CDP（HL），∴∠FEQ＝∠DCP，∵∠FEQ+∠CEM＝∠CEF＝90°，∴∠DCP+∠CEM＝90°，∴∠EMC＝90°，∴点M在以CE为直径的半圆上（不与重合C，E），∵AB＝CD＝12，DE＝4，∴EC＝12﹣4＝8，∴OE＝OC＝4，∴OB＝＝4，∴当点M运动到OB与半圆的交点处时BM最小，此时BM＝OB﹣OM＝4﹣4．故选：C．14．如图，正方形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，AB＝2．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，同时点P从AB的中点处出发，在正方形的边上顺时针移动，每秒移动1个单位，则第2022秒时，点P的坐标为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：根据题意可知：正方形旋转6次回到原位，P点经过8秒回到原位，∵2022÷6＝337，2022÷8＝252...6，此时正方形回到原位，点P走6个单位，所以点P位于第三象限，在BC的中点处，∵BC＝AB＝2．∴OB＝OC＝，∴P（﹣，﹣）．故选：C．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的每一条边为边作三个正方形．CM与AB，BE交于点P，Q，欧几里得在《几何原本》中利用该图证明了勾股定理，现连结DG，若∠ABE＝30°，则的值为（）A． B． C． D．﹣1【答案】D【解答】解：∵四边形AEDC和AMNB为正方形，∴AE＝AC，AB＝AM，∠EAC＝∠MAB＝90°，∴∠EAB＝∠CAM，在△EAB和△CAM中，，∴△EAB≌△CAM（SAS），∴∠EBA＝∠CMA＝30°，∴∠BPQ＝∠APM＝60°，∴∠BQP＝90°，∴PQ＝PB，在Rt△AMP中，设AP＝1，则PM＝2，根据勾股定理得AM＝，∴PB＝﹣1，∴PQ＝，∴QM＝QP+PM＝+2＝，在△ACB和△DCG中，，∴△ACB≌△DCG（SAS），∴DG＝AB＝，∴＝＝﹣1．故选：D．16．如图，正方形ABCD的边长为10，点E，F在正方形内部，AE＝CF＝8，BE＝DF＝6，则线段EF的长为（）A．2 B．4 C．4﹣ D．4+【答案】A【解答】解：延长DF交AE于G，如图：∵AB＝10，AE＝8，BE＝6，∴AE2+BE2＝AB2，∴△ABE是直角三角形，∴同理可得，△DFC是直角三角形，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∴∠BAE+∠DAG＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠BAE＝∠DCF，又∵∠DCF+∠CDF＝∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠DCF＝∠ADG，∴∠BAE＝∠ADG，∵∠BAE+∠DAG＝90°，∴∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠DGA＝90°，即△AGD是直角三角形，在△AGD和△BAE中，，∴△AGD≌△BEA（AAS），∴AG＝BE＝6，DG＝AE＝8，∴EG＝8﹣6＝2，同理可得：GF＝2，∴Rt△EFG中，EF＝＝2，故选：A．17．有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．31【答案】B【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，且a＞b＞0，根据图甲和图乙，得：，整理，得：，由①得：（a﹣b）2＝1，∵a＞b，∴a﹣b＝1，由②得：ab＝6，①+②×2，得：（a+b）2＝25，∴a+b＝5，观察图丙，得：S阴影＝（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝（a+b）（a﹣b）+4ab＝5×1+4×6＝29．故选：B．18．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF‖DE且交AG于点F，若AB＝4EF，则S阴影：S正方形ABCD的值为（）A．9：16 B．17：32 C．17：36 D．18：35【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠BFA＝∠AED＝90°，∵∠BAF+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAF＝∠ADE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴AF＝DE，设EF＝x，AF＝y，则AB＝4EF＝4x，∴BF＝AE＝AF﹣EF＝y﹣x，∵AF2+BF2＝AB2，∴y2+（y﹣x）2＝（4x）2，整理得，2y2﹣2xy﹣15x2＝0，解得，y＝x（舍）或y＝x，∴BF＝x，AF＝x，∴S正方形ABCD＝16x2，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣2S△ABF＝16x2﹣2×x•x＝x2，∴S阴影：S正方形ABCD＝17：32，故选：B．19．如图，在平面直角坐标系中，点B与点D分别在x轴、y轴上，正方形OBCD与正方形OEFG的边长分别为6和4，正方形OEFG绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时，BE2＝52﹣24；当C，G，F三点共线时，BE的长为2+2或2﹣2．．【答案】52﹣24；2+2或2﹣2．【解答】解：正方形OBCD与正方形OEFG的边长分别为6和4，如图：则B（6，0），OE＝4，当正方形OEFG绕点O旋转，当F落在y轴正半轴上时，∴OE平分∠BOD，∴∠BOE＝45°，设E（m，m），则OE＝m＝4，∴m＝2，∴E（2，2），∴BE2＝（2﹣6）2+（2﹣0）2，整理得：BE2＝52﹣24；当C，G，F三点共线时，分两种情况：①如下图：作DM⊥CG于M，DK⊥OG的延长线于K，连接DG，∴四边形DMGK为矩形，∵∠KDM＝∠CDO＝90°，∴∠KDM﹣∠ODM＝∠CDO﹣∠ODM，即∠CDM＝∠ODK，∵OD＝CD，∠K＝∠CMD＝90°，∴△CDM≌△ODK（AAS），∴DM＝DK，CM＝OK，∴四边形DMGK为正方形，设GM＝x，则OK＝OG+KG＝4+x，∴CM＝x+4，在Rt△ODK中，由勾股定理可得OD2＝OK2+DK2，即62＝x2+（x+4）2，解得：x＝或x＝﹣（舍去）∴x＝，∵DG为正方形DMGK对角线，∴DG＝DK＝x＝2﹣2，∵∠GOE＝∠BOD＝90°，∴∠DOG＝∠BOE，∵DO＝OB，OG＝OE，∴△DOG≌BOE（SAS），∴BE＝DG＝2﹣2；②如图：作DM⊥CG于M，DK⊥OG的延长线于K，连接DG，∴四边形DMGK为矩形，同理可证明四边形DMGK为正方形，设GM＝x，则DK＝KG＝x∴KO＝KG﹣OG＝x﹣4，∴在Rt△ODK中，由勾股定理可得OD2＝OK2+DK2，62＝x2+（x﹣4）2，解得：x＝2+或x＝2﹣（舍去），∴x＝2+，即DK＝2+，∵DG为正方形DMGK对角线，∴DG＝DK＝2+2，同理再证明△DOG≌BOE（SAS），∴BE＝DG＝2+2，综上所述：BE＝2+2或2﹣2，故答案为：52﹣24；2+2或2﹣2．20．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为．【答案】．【解答】解：连接AG并延长AG交CD于点P，连接PF，如图所示，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC＝AB＝4，∠C＝90°，AB∥CD，∴∠AEG＝∠GDP，∵E、F分别为边AB、BC的中点，∴AE＝AB＝2，CF＝BC＝2．∵G为DE的中点，∴EG＝DG，在△EAG和△DPG中，，∴△EAG≌△DPG（ASA）．∴AG＝PG，DP＝AE＝2．∴G为AP的中点，∵H为AF的中点，∴GH是△APF的中位线．∴GH＝PF．在Rt△FCP中，CP＝DC﹣DP＝4﹣2＝2，∴PF＝＝2．∴GH＝PF＝．故答案为：．21．综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若AD＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明．【答案】（1）四边形BE'FE是正方形，理由见解析；（2）CF＝FE′，证明见解析．【解答】解：（1）结论：四边形BE'FE是正方形．理由如下：∵△CBE'是由Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°得到的，∴∠CE'B＝∠AEB＝90°，∠EBE'＝90°，又∵∠BEF+∠AEB＝90°，∴∠BEF＝90°，∴四边形BE'FE是矩形，由旋转可知：BE＝BE'，∴四边形BE'FE是正方形；（2）结论：CF＝FE′．证明：如图②，过点D作DH⊥AE于点H，则∠AHD＝90°，∠DAH+∠ADH＝90°，∵DA＝DE，∴AH＝EH＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，在△ADH和△BAE中，，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE，由旋转可知：AE＝CE'，由（1）可知：四边形BE'FE是正方形，∴BE＝E'F，∴E'F＝AH＝AE＝CE'，∴CF＝FE′．22．（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【解答】解：（1）如图1，过B点作BH∥MN交CD于H，则AP⊥BH，∵BM∥NH，∴四边形MBHN为平行四边形，∴MN＝BH，∵四边形ABCD是正方形．∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH，∴△ABP≌△BCH（ASA），∴BH＝AP，∴MN＝AP；（2）如图2，连接FA，FP，FC∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，∴FA＝FC，又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP，∴FP＝FC，∴∠FPC＝∠FCP，∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC，∴∠FAB+∠FPB＝180°，∴∠ABC+∠AFP＝180°，∴∠AFP＝90°，∴FE＝AP，由（1）知，AP＝MN，∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，∴EF＝ME+FN．23．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．【答案】（1）证明见解答；（2）点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．【解答】（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．在△PGB和△PHE中，，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．（2）解：PF的长度不变．连接BD，如图2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°，∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE，在△BOP和△PFE中，，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC＝OB．∵BC＝2，∴OB＝，∴PF＝OB＝．∴点P在运动过程中，PF的长度不变，值为．24．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB＝PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：如图1，过P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，∵PB⊥PE，∴∠BPE＝90°，∴∠MPB+∠EPN＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AD∥MN，∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90°，∴∠MPB+∠MBP＝90°，∴∠EPN＝∠MBP，Rt△PNC中，∠PCN＝45°，∴△PNC是等腰直角三角形，∴PN＝CN，∵∠BMP＝∠PNC＝∠ABC＝90°，∴四边形MBCN是矩形，∴BM＝CN，∴BM＝PN，∴△BMP≌△PNE（ASA），∴PB＝PE；（2）在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化，理由是：如图2，连接OB，∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠EFP＝90°，∴∠OBP+∠BPO＝90°，∵∠BPE＝90°，∴∠BPO+∠OPE＝90°，∴∠OBP＝∠OPE，由（1）得：PB＝PE，∴△OBP≌△FPE，∴PF＝OB，∵AB＝2，△ABO是等腰直角三角形，∴OB＝＝，∴PF为定值是．25．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），求证：BM+DN＝MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN＝MN；（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．【答案】（1）答案见证明；（2）BM+DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN．【解答】（1）证明：如图1，过A作AE⊥MN于E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°，∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝90°﹣45°＝45°，在△ABM和△ADN中，∴△ABM≌△ADN（SAS），∴AM＝AN，∠BAM＝∠DAN＝45°＝22.5°，∵AE⊥MN，∴∠NAE＝MAN＝22.5°，MN＝2EN，∴∠DAN＝∠NAE，∵AE⊥MN，∠D＝90°，∴DN＝NE，即BM＝DN＝NE，∴BM+DN＝MN；（2）解：线段BM，DN和MN之间数量关系是BM+DN＝MN，理由如下：延长CB至E，使得BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABE，在△ADN和△ABE中，∵，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠BAE＝∠DAN，AE＝AN，∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝∠DAN+∠BAN＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，∵在△EAM和△NAM中，∴△EAM≌△NAM，∴MN＝ME，∵ME＝BM+BE＝BM+DN，∴BM+DN＝MN，故答案为：BM+DN＝MN；（3）DN﹣BM＝MN，理由如下：如图3，在DC上截取DE＝BM，连接AE，由（1）知△ADE≌△ABM（SAS），∴∠DAE＝∠BAM，AE＝AM，∴∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠DAE+∠BAE＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝∠MAN．∵在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS），∴EN＝MN，即DN﹣DE＝MN，∴DN﹣BM＝MN．26．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点（不与C、D重合），连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于点H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．（1）若点F在边CD上，如图1．①证明：∠DAH＝∠DCH；②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；（2）取DF中点M，连结MG，若MG＝4，正方形边长为6，求BE的长．【答案】（1）①证明见解析部分．②结论：EF＝2CG，证明见解析部分．（2）6+2或6﹣2．【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝DC，在△ADH和△CDH中，，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠DAH＝∠DCH；②结论：EF＝2CG，理由如下：∵△DAH≌△DCH，∴∠DAF＝∠DCH，∵CG⊥HC，∴∠FCG+∠DCH＝90°，∴∠FCG+∠DAF＝90°，∵∠DFA+∠DAF＝90°，∠DFA＝∠CFG，∴∠CFG＝∠FCG，∴GF＝GC，∵∠GCE+∠GCF＝90°，∠CFG+∠E＝90°，∴∠GCE＝∠GCF，∴CG＝GE，∴EF＝2CG；（2）①如图，当点F在线段CD上时，连接DE．∵∠GFC＝∠GCF，∠GEC+∠GFC＝90°，∠GCF+∠GCE＝90°，∴∠GCE＝∠GEC，∴EG＝GC＝FG，∵FG＝GE，FM＝MD，∴DE＝2MG＝8，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC+CE＝6+2；②如图，当点F在线段DC的延长线上时，连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线，∴DE＝2GM＝8，在Rt△DCE中，CE＝2，∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2综上所述，BE的长为6+2或6﹣2．七．正方形的判定（共1小题）27．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．（1）探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．【答案】（1）OE＝OF，理由见解析；（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．【解答】解：（1）OE＝OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC＝∠ECB，∴∠NEC＝∠ACE，∴OE＝OC，∵CF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF＝∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC＝∠FCD，∴∠OFC＝∠OCF，∴OF＝OC，∴OE＝OF；（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，又∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，∴AO+CO＝EO+FO，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．∵MN∥BC，当∠ACB＝90°，∴∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．八．旋转的性质（共6小题）28．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG．延长AE交CG于点F，连接DE．下列结论：①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形，③若DA＝DE，则CF＝FG；其中正确的结论是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】A【解答】解：设AF交BC于K，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABK＝90°，∴∠KAB+∠AKB＝90°，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBG，∴∠KAB＝∠BCG，∵∠AKB＝∠CKF，∴∠BCG+∠CKF＝90°，∴∠KFC＝90°，∴AF⊥CG，故①正确；∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，又∵∠BEF＝90°，∴四边形BEFG是矩形，又∵BE＝BG，∴四边形BEFG是正方形，故②正确；如图，过点D作DH⊥AE于H，∵DA＝DE，DH⊥AE，∴AH＝AE，∴∠ADH+∠DAH＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAH+∠EAB＝90°，∴∠ADH＝∠EAB，又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，∴△ADH≌△BAE（AAS），∴AH＝BE＝AE，∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，∴AE＝CG，∵四边形BEFG是正方形，∴BE＝GF，∴GF＝CG，∴CF＝FG，故③正确；∴正确的有：①②③，故选：A．29．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2＝2a2+2b2；④当∠DCE＝60°时，S△DCE＝S△BCE．其中正确的结论是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【解答】解：设BE，DG交于点O，∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，∴∠BCD+∠DCE＝∠ECG+∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴BE＝DG，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠4＝∠3+1＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠BOG＝90°，∴BE⊥DG，故①②正确；连接BD，EG，如图所示，∴DO2+BO2＝BD2＝BC2+CD2＝2a2，EO2+OG2＝EG2＝CG2+CE2＝2b2，∴BG2+DE2＝DO2+BO2+EO2+OG2＝2a2+2b2，故③正确；如图所示，延长BC至点M，EM⊥BC于点M，过点E作EN⊥CD于N，∴S△DCE＝，S，当∠DCE＝60°时，∠ECM＝90°﹣∠DCE＝90°﹣60°＝30°，∵sin∠DCE＝，sin，∴NE＝，ME＝，∴S＝，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∴S＝S△BCE，故④正确，∴正确的结论是①②③④，故选：D．30．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点P是BC上的动点，连接PA，将PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连结CE．P从点B向点C运动过程中，CE的最小值为（）A．1 B． C． D．2【答案】B【解答】解：过E作EM⊥BC于M，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°＝∠PME，∵PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，∴AP＝PE，∠APE＝90°，∴∠EPM＝90°﹣∠APB＝∠BAP，∴△ABP≌△PME（AAS），∴PM＝AB＝2，BP＝EM，∵BC＝4，∴BP+CM＝BC﹣PM＝2，设BP＝EM＝x，则CM＝2﹣x，在Rt△CEM中，CE2＝EM2+CM2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2，∴当x＝1时，CE2取最小值，最小值为2，∴CE最小值是，故选：B．31．如图，已知△OAB是正三角形，OC⊥OA，OC＝OA．将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OB与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（）A．150° B．120° C．90° D．60°【答案】A【解答】解：∵△OAB是正三角形，∴∠BOA＝60°，∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠BOA+∠AOC＝60°+90°＝150°，即旋转角是150°，故选：A．32．如图，在Rt△ABC中，AB＝5，∠B＝30°，点P是在直角边BC上一动点，且△APD为等边三角形，则CD的最小值是．【答案】．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝5，∠B＝30°，∴AC＝AB＝，∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，设AB的中点为H，连接DH，当点C在线段DH上时，CD的值最小，连接PH，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵点H为AB的中点，∴CH＝AH，∴△ACH是等边三角形，∴∠ACH＝60°，AC＝AH，∴∠ACD＝120°，∵△APD为等边三角形，∴∠DAP＝60°，AD＝AP，∴∠DAC＝∠HAP，∴△ADC≌△APH（SAS），∴∠AHP＝∠ACD＝120°，PH＝CD，∴∠BHP＝60°，∴∠CAB＝∠BHP，∴AC∥PH，∴BP＝CP，∴PH＝AC＝，∴CD的最小值是，故答案为：．33．如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC