湖南省长沙麓山国际实验学校2025届高三上学期第一次学情检测数学试题（解析）

2025届麓山国际高三第一次学情检测试卷高三年级数学试卷总分：150分时量：120分钟一、单选题（每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，结合交集概念即可得解.【详解】因为，，所以.故选：B.2.复数，则z的虚部为（）．A.3 B. C.i D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算可得答案.【详解】复数，所以的虚部为故选：B.3.已知向量，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的公式求解.【详解】根据题意，在上的投影向量为：.故选：A4.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.【详解】解：由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：在上单调递减，且，所以且，解得：.故的取值范围是故选：C.【点睛】本题考查根据对数型复合函数单调性求参数问题，是中档题.5.已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围.【详解】由，，可得：，令，依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点.又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故时，取得极大值，且当时，，当时，，故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得.故选：C.6.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，所以2个0不相邻的概率为.故选：C.7.如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，再根据平面向量共线定理得到，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：，则，，又P，M，N共线，∴.又，∴，当且仅当时取等号，故选：C.8.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；【详解】因为，当时，因为，则，因为函数在上存在最值，则，解得，当时，，因为函数在上单调，则，所以其中，解得，所以，解得，又因为，则．当时，；当时，；当时，．又因为2，因此的取值范围是．故选：B．【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心；二、多选题（每小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.下列说法中，正确的命题有（）A.已知随机变量服从正态分布，则B.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3C.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好D.若样本数据的方差为2，则数据的方差为16【答案】ABC【解析】【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算判断；对于B，对给定模型取对数比对即得；对于C，利用残差图的意义即可判断；对于D，利用新数据方差计算公式判断作答.【详解】对于A，因，且，于是得，故A正确；对于B，由得，依题意得，即，故B正确；对于C，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；对于D，依题意的方差为，故D不正确．故选：ABC.10.已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（）A.B.将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数C.的图象关于点对称D.在上单调递增【答案】BC【解析】【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简，并结合给定条件判断A，利用函数平移的性质结合正弦函数的性质判断B，利用对称中心的求法求解对称中心判断C，举反例判断D即可.【详解】因为，所以，所以，而将的图象平移后能与函数的图象完全重合，所以，解得，故A错误，此时，向右平移个单位长度后，设得到的新函数为，，由正弦函数性质得是奇函数，故B正确，令，解得，当时，，所以图象关于点对称，故C正确，由题意得，，，所以在上不单调，故D错误.故选：BC11.如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.平面C.的最小值为D.当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为【答案】ABD【解析】【分析】A选项，求出为定值，且P到平面的距离为1，从而由等体积得到锥体体积为定值；B选项，证明出面面平行，得到线面平行；C选项，将两平面展开到同一平面，连接，交于点，此时最小，最小值即为的长，由勾股定理得到最小值；D选项，点P在点B处，，C，，P四点共面，四面体的外接球即正方体的外接球，求出正方体的外接球半径，得到外接球体积.【详解】对于A，因为不在平面内，平面，所以平面，又，所以点到平面的距离为，又为定值，故定值，A正确；对于B，因为，平面，平面，所以平面，同理可知平面，又，平面，所以平面平面，由于平面，故平面，B正确.对于C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，连接，交于点，此时最小，最小值即为的长，过点作⊥，交的延长线于点，其中，故，又勾股定理得，C正确；对于D，点P在点B处，，C，，P四点共面，四面体的外接球即正方体的外接球，故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确.故选：ABD【点睛】特殊几何体的内切球或外接球的问题，常常进行补形，转化为更容易求出外接球或内切球球心和半径的几何体，比如墙角模型，对棱相等的三棱锥常常转化为棱柱来进行求解.三、填空题（每小题5分，共15分）12.记为等差数列的前n项和，若，，则________.【答案】95【解析】【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则故答案为：.13.数列的前项和为，若，则_____________．【答案】【解析】【分析】降次作差得，再利用等比数列通项公式即可得到答案.【详解】①，②，两式相减得，故，，令中得，，所以，而不适合上式，故答案为：.14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是______．【答案】##【解析】【分析】根据题意结合直角三角形以及内切圆的性质分析可得，结合椭圆的定义以及勾股定理可得，即可求得椭圆的离心率.【详解】如图，的内切圆与三边分别切于点，若，则，因为，则，可得，则，可得，因为，即，可得，又因为，即，可得，且，解得，所以椭圆的离心率是．故答案为：.【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．焦点三角形的作用，在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．四、解答题（共77分）15.在中，内角的对边分别为，为钝角，，．（1）求；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）；（2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.【解析】【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；【小问1详解】由题意得，因为为钝角，则，则，则，解得，因为为钝角，则.【小问2详解】选择①，则，因为，则为锐角，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三角形内角，则，则代入得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三角形内角，则，则，则16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）认为是否喜欢游泳与性别无关（3）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.【小问1详解】喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100【小问2详解】零假设:假设是否喜欢游泳与性别无关，，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.【小问3详解】X的可能取值为0，1，2，3，，.的分布列为X0123P.17.如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，．（1）证明：；（2）若，点M满足，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由平面平面，再作，可证明平面，从而可得，又因为，所以可证明平面，即可证明；（2）利用（1）以A为坐标原点建立如图坐标系，利用等边三角形和等腰直角三角形，标出各点的空间坐标，对于点M满足，可用向量线性运算求出，最后利用空间向量法来解决直线与平面所成角的正弦值．【小问1详解】证明：在平面中，过点P作的垂线，垂足为D．因为平面平面ABC，且平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，故．【小问2详解】由（1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，故，，又因为，所以即．设平面ACM的一个法向量，则令，则．又因为，设直线AP与平面ACM所成角为，则，所以直线AP与平面ACM所成角的正弦值为．18.已知直线与抛物线交于两点，且．（1）求；（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．【小问1详解】设，由可得，，所以，所以，即，因为，解得：．【小问2详解】因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，由可得，，所以，，，因为，所以，即，亦即，将代入得，，，所以，且，解得或．设点到直线的距离为，所以，，所以面积，而或，所以，当时，的面积．【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.19.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列an.（1）求数列an通项公式；（2）求的最小值；（3）若数列bn满足，对于，证明：.【答案】（1）；（2）