湖北省部分学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（解析）

2024-2025学年度年秋学期高三年级开学考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等信息填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.择如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由交集的定义求解.【详解】集合，则.故选：D2.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），，，则的面积为（）A. B. C.24 D.48【答案】D【解析】【分析】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得.【详解】由直观图可得如下平面图形：其中，，，轴，且，所以.故选：D3.的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中项的系数为（）A.2 B.8 C. D.-17【答案】D【解析】【分析】令得各项系数和，可求得，再由二项式定理求得的系数，注意多项式乘法法则的应用．【详解】令，可得，，在的展开式中的系数为：．故选D．【点睛】本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令可得展开式中所有项的系数和，再令可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除，得到.再利用两角差的正切公式展开，将换成，化简即可得到答案.【详解】，所以，两边同除，得到，即.，.故选：C.5.设，，，则，，大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性及对数函数的单调性，结合特殊值比较大小即可.【详解】因为在定义域上单调递减，所以，又在定义域上单调递增，所以，在定义域上单调递减，所以，所以.故选：B6.谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的前项和公式求得正确答案.【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：.故选：C7.已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】找出与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可.【详解】由圆的方程为可得圆心，半径，若圆与函数相交，则圆心到直线的距离，即，若函数的图象与圆有四个公共点，则原点在圆的外部，即，解得，综上函数的图象与圆有四个公共点则，所以“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B8.已知函数，函数的图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.详解】函数，向右平移个单位长度，得，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，令，得，所以，若函数在上没有零点，则需，所以，所以，若函数在上有零点，则，当k=0时，得，解得，当k=1时，得，解得，综上：函数在上有零点时，或，所以函数在上没有零点，.所以的取值范围是.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全选对的得6分，选对但不全的得部分分，选错不得分.9.设是非零复数，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据复数的运算性质逐一检验即可.【详解】A选项，，故，正确；B选项，即.故，正确；C选项，即z为纯虚数，故，不正确；D选项，∵，故，正确.故选：ABD.10.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件D表示“取出球的编号小于5”，则（）A.事件A与事件C不互斥 B.事件A与事件B互为对立事件C.事件B与事件C互斥 D.事件C与事件D互为对立事件【答案】AB【解析】【分析】分别求出样本空间和事件、、、即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断.【详解】由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为，事件表示，事件B表示，事件C表示，事件D表示，所以，且，，且，所以事件A与事件C不互斥，事件A与事件B为对立事件，事件B与事件C不互斥，事件C与事件D互斥但不对立，故A，B正确，C，D错误.故选：AB.11.已知正方体的棱长为2，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为B.若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线C.若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆D.若与所成的角为，则的轨迹为双曲线【答案】ABD【解析】【分析】记MN中点为P，DM中点为Q，连接PQ，计算出PQ可知P的轨迹为圆，然后可判断A；根据抛物线定义可判断B；根据已知算出DN，可判断C；以DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，将条件坐标化可判断D.【详解】A中，记MN中点为P，DM中点为Q，连接PQ，易知，且，如图，若MN=2，则DN=，则，所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积，故A正确；B中，点N到直线的距离为NB，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故B正确；C中，易知，则，所以N的轨迹是以D为圆心，半径为的圆，故C错误；D中，过点N向AD作垂线，垂足为R，易知，所以，所以，在平面ABCD中，以DA、DC所在直线分别为x轴、y轴，则，整理得，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量、满足，，与的夹角为，若，则________.【答案】##【解析】【分析】运用平面向量数量积公式计算即可.【详解】因为，，与的夹角为，所以.因为，所以，解得.故答案为：.13.椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出离心率.【详解】令椭圆的半焦距为c，由轴，为等腰直角三角形，得，，由椭圆的定义得，即，所以椭圆的离心率.故答案为：14.已知函数的定义域为，且满足，，，则__________.【答案】2024【解析】【分析】由可推出关于直线对称，可得，再由可推出的最小正周期为8，结合周期函数性质求解即可.【详解】由可知的图象关于直线对称，从而，又因为，令，得，所以，由，得，两式相减可得，故的最小正周期为8，则，，因为，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角所对的边分别为，且满足（1）求角B的值；（2）若且，求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式化简，可求出角B的值；（2）根据条件，可求出角B的值以及角A的范围，利用正弦定理可得到，将代入，用辅助角公式化简，结合A的范围即可求出结果.【小问1详解】在中，，，，，，，即，又，所以，解得或.【小问2详解】∵且，∴，由正弦定理得，所以，.故，∵，∴，，又易知函数在上单调递增，于是当，即时的最小值为，当，即时的最大值为.所以，即的取值范围.16.已知双曲线与有相同的焦点，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于两点，且的中点坐标为，求直线的斜率.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）找出焦点的坐标，根据已知条件建立方程组解出即可（2）分析直线斜率存在且不为0，设直线方程联立方程组利用韦达定理，利用中点公式建立方程组解出即可【小问1详解】由的焦点坐标为由双曲线与有相同的焦点所以双曲线的焦点坐标为故，在双曲线中：①又双曲线经过点所以②解得：所以双曲线的方程为：【小问2详解】由题知直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：由直线与双曲线交于两点，设所以消去整理得：所以所以由的中点坐标为所以所以.17.如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直；（2）求平面法向量，由二面角的余弦值为和平面，解得P点坐标，可求四面体的体积.【小问1详解】以A坐标原点，，，所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，若P是的中点，则，，，于是，∴，即.【小问2详解】由题设知，，是平面内的两个不共线向量.设是平面的一个法向量，则取，得.又平面的一个法向量是，∴，而二面角的余弦值为，因此，解得或（舍去），此时.设（），而，由此得点，，∵平面，且平面的一个法向量是，∴，即，解得，从而.将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.18.已知函数.（1）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求证：，.（2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围.【答案】（1）（ⅰ）切线方程为；（ⅱ）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论；（2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围.【小问1详解】当时，（ⅰ），又，所以切线方程为.（ⅱ），，因为，所以,所以，所以所以在单调递增，所以；【小问2详解】，当时，所以，,由（1）知，，所以在上单调递增.所以当时，没有极值点，当时，，因为与在单调递增.所以在单调递增.所以，.所以使得.所以当时，，因此在区间上单调递减，当时，，因此在区间上单调递增.故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是.19.中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球．（1）求第3次传球是由乙传给甲的概率；（2）求第次传球后排球传到丙手中的概率；（3）若随机变量服从两点分布，且，，，…，，则，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中次数为，求．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为，得到，求出，从而得到第3次传球是由乙传给甲的概率；（2）求出之间的关系式，联立后得到，，进而得到是以为首项，公比为的等比数列，求出；（3）在（2）的基础上求出，求出，利用等比数列求和公式得到答案.【小问1详解】设第次传球后排球在甲、乙、丙、丁手中的概率分别为，则．第2次传球到乙手中的概率，所以第