河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（解析）

高三数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自已的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解分式不等式求出集合，再化简集合，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由，等价于，解得或，所以或，

又，所以.故选：C2.设复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，即可得到其共轭复数，最后根据复数代数形式的加减运算法则计算可得.【详解】因为，则，所以.故选：A3.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数奇偶性和二倍角余弦公式直接求解即可.【详解】.故选：D.4.某地区为研究居民用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温，并得到了如下数据：气温36912用电量度24201410由表中数据得到的经验回归方程为，若，则的值为（）A.27 B.29 C.34 D.36【答案】B【解析】【分析】求出中心点坐标，代入方程求解．【详解】由已知，，所以，解得，故选：B．5.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与实轴垂直的直线交双曲线于两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】设，则，，再根据双曲线的定义求出，从而求出离心率.【详解】设，因为为等边三角形，则，，又，所以双曲线的离心率.故选：A6.已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C.0,1 D.【答案】D【解析】【分析】应用对数复合函数单调性及定义域求参.【详解】因为单调递增令，又因为为单调增区间，所以是单调递增，所以,所以,又因为x∈[1,+∞),x+m所以.故选：D.7.已知函数在处取得极小值，则（）A. B.0 C.1 D.0或1【答案】C【解析】【分析】由导数为0求得，然后利用单调性再确定是极小值点即得．【详解】由已知，因此，或，若，则，时，，递增，时，，递减，是极大值点，不合题意，若，则，时，，递减，时，，递增，是极小值点，符合题意，因此故选：C8.有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（）A.2400种 B.3600种 C.2880种 D.4220种【答案】B【解析】【分析】先用捆绑法排列（女生不需要内部排列），然后利用间接法再分配2个道具．【详解】根据题意4名男生､3名女生的排列方法为，然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：，总方法数为，故选：B．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，9.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（）A.圆柱和圆锥的体积之比为3B.圆柱的底面半径和高之比为C.圆锥的母线和高之比为2D.圆柱和圆锥的表面积之比为【答案】ABC【解析】【分析】设圆柱和圆锥的底面半径为，高为，根据体积公式判断A；求出圆锥的母线，由侧面积相等得到，即可判断B、C；再由表面积公式判断D.【详解】设圆柱和圆锥底面半径为，高为，则，，所以，故A正确；圆锥的母线，又圆柱和圆锥的侧面积相等，所以，所以，则，即圆柱的底面半径和高之比为，故B正确；所以圆锥的母线，则圆锥的母线和高之比为，故C正确；圆柱的表面积，圆锥的表面积，所以，故D错误.故选：ABC10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.的图象关于轴对称B.的图象关于点对称C.的图象关于直线对称D.是的极大值点【答案】BD【解析】【分析】计算可判断A；计算可判断B；由判断C，求出函数的导函数，即可判断D.【详解】对于A：函数的定义域为，但是，所以不是偶函数，则函数图象不关于轴对称，故A错误；对于B：因为，所以的图象关于点对称，故B正确；对于C：因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；对于D：因为，所以，则，且当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递增，所以在处取得极大值，故D正确.故选：BD11.已知，，，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据对数运算法则和基本不等式可知A正确；根据，将BC中的不等式转化为关于的函数的形式，结合对勾函数单调性和基本不等式可确定BC正误；根据对数运算性质可知D正确.【详解】对于A，，A正确；对于B，，，，，在上单调递增，，，，B错误；对于C，由B知：，，，，，（当且仅当，即时取等号），，，即，C正确；对于D，，，若，则，即，，，D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.已知向量，若，则__________.【答案】6【解析】【分析】先由向量的坐标运算及相等求参，再根据数量积坐标公式计算即可.【详解】因为所以,所以,所以,.故答案为：.13.已知实数满足，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解.【详解】因为，所以，所以点在圆上，其中圆心为，半径为，又，其中表示点与点连线的斜率，又-1-12+由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为，即，则，解得或，即的最大值为，最小值为，所以的最大值为.故答案为：14.在四棱锥中，底面为菱形，，点到的距离均为2，则四棱锥的体积为__________.【答案】##【解析】【分析】首先可得为等边三角形，过点作底面垂线，与底面交于点，作，分别垂直于，，即可证明平面，从而得到，，依题意可得，即可求出，再由锥体的体积计算可得.【详解】因为且底面为菱形，所以为等边三角形，过点作底面的垂线，与底面交于点，作，分别垂直于，，因为，所以，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，，则，因为点到的距离均为，所以，则，，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是证明，，从而得到.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为，求实数（2）若函数无零点，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，由求出，再由求出；（2）令可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】因为，所以，又，则，又曲线在点处的切线方程为，所以，解得.【小问2详解】令，即，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，则，且当时，依题意与无交点，所以，所以要使函数无零点，则的取值范围为.16.如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.（1）证明：平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）不妨设，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由，得到，即可得证；（2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，则，，，A1,0,0，，，所以，，，设m=x,y则，取，则，所以平面的一个法向量，又，所以，因为平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，所以是平面的一个法向量，又因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.某工厂生产的产品分为一等品､二等品和三等品.已知该工厂生产一等品的概率为，生产二等品的概率为，生产三等品的概率为.一等品在出厂时，通过质量检测的概率为；二等品在出厂时，通过质量检测的概率为；三等品在出厂时，通过质量检测的概率为.（1）已知随机抽取的10件产品中，通过质量检测的有8件，其中有2件二等品和1件三等品.现在从这8件通过检测的产品中随机抽取3件，设其中一等品的数量为，求分布列和期望，（2）求随机抽取的一件产品通过质量检测的概率，（3）若随机抽取的一件产品通过了质量检测，求该产品为一等品的概率【答案】（1）分布列见解析，（2）（3）【解析】【分析】（1）依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望；（2）设事件表示产品通过质量检测，表示产品为一等品，表示产品为二等品，表示产品为三等品，利用全概率公式计算可得；（3）利用条件概率公式计算可得.【小问1详解】因为通过质量检测的8件产品中，有2件二等品和1件三等品，则一等品的数量为件，所以的可能取值为，，，，则，，，，所以的分布列为：所以；【小问2详解】设事件表示产品通过质量检测，表示产品为一等品，表示产品为二等品，表示产品为三等品，则，，，，，，所以，即随机抽取一件产品通过质量检测的概率为；【小问3详解】依题意所求概率为.18.已知是抛物线上任一点，为的中点，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点作曲线的两条切线，切点分别为，求点到直线的距离的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，从而得到点的坐标为，再根据点是抛物线上任一点，代入方程，整理可得；（2）设，，，利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到，同理可得，从而得到直线的方程为，再由点到直线的距离公式及基本不等式计算可得.【小问1详解】设，因为为的中点，所以点的坐标为，又点是抛物线上任一点，所以，整理得，即的方程为；【小问2详解】设，，，则，，，由抛物线的方程为，即，则，所以的方程为，即，所以，同理可得，所以直线的方程为，则点到直线的距离，当且仅当，即时取等号，所以点到直线的距离的最小值为.19.定义：若数列满足，则称数列为“线性数列”.（1）已知为“线性数列”，且，证明：数列为等比数列.（2）已知.（i）证明：数列为“线性数列”.（ii）记，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，则，即可求