贵州省贵阳市2024-2025学年高三上学期八月摸底考试数学试题（解析）

贵阳市2025届高三年级摸底考试试卷数学本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名､报名号用钢笔填写在答题卡相应位置上.2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.请保持答题卡平整，不能折叠考试结束后，监考老师将试题卷､答题卡一并收回.第I卷（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义即可求解.【详解】由于，所以，故选：B2.设为等差数列的前项和，已知，则的值为（）A.64 B.14 C.12 D.3【答案】C【解析】【分析】利用等差数列求和公式，利用等差数列通项下标性质可解.【详解】利用等差数列求和公式，知道，即.，且，则.故选：C.3.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在下图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数､中位数和众数，则下列关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断.【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值，直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则，又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即，所以.故选：A4.用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.己知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正四棱台性质可求得该棱台的高，代入棱台的体积公式即可求得结果.【详解】如下图所示：分别为上下底面的中心，作于点，根据题意可知，侧棱与底面所成的角即为，可知；因此可得，易知，由正四棱台性质可得；所以该正四棱台的高为，因此该四棱台的体积是.故选：B5.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】将函数化为，再进行判断.【详解】，它是由图象上所有的点向右平移个单位长度得到的，所以D正确.故选：D.6.已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案.【详解】依题意，在上的投影向量为，则，于是，而，则，所以向量与向量的夹角为.故选：C7.的展开式中的系数是（）A.5 B.10 C.20 D.60【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算即得.【详解】依题意，的展开式中项是5个多项式中取3个用，余下2个取1个用，最后1个用的积，即，所以的展开式中的系数是20.故选：C8.关于函数，下列说法正确的是（）①曲线在点处的切线方程为；②的图象关于原点对称；③若有三个不同零点，则实数的范围是；④在上单调递减.A.①④ B.②④ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程判断①；取值计算判断②；求出函数的极值，结合零点的意义判断③；确定单调性判断④即可得解.【详解】函数，求导得，对于①，，而，则切线方程为，即，①正确；对于②，，则的图象关于原点不对称，②错误；对于③，当或时，；当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，函数零点，即直线与函数图象交点的横坐标，因此当直线与函数图象有3个交点时，，③正确；对于④，在上单调递减，④正确，故选：D二､多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系即可得解.【详解】直线过定点，显然点在圆内，因此直线与圆必相交，C错误；而直线表示平面内过点的除直线外的任意直线，因此选项ABD都可能.故选：ABD10.如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（）A.当点为中点时，平面B.当点为中点时，直线与直线所角的余弦值为C.当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值D.点到直线距离的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D.【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，对于A，，，，，，即，而平面，因此平面，A正确；对于B，，，B错误；对于C，由选项A知，点到平面距离为，而的面积，因此三棱锥的体积23是定值，C正确；对于D，，则点到直线的距离，当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD11.定义域为R的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（）A.B.的图象关于点对称C.D.在0,+∞上单调递增【答案】BC【解析】【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解.【详解】令，得到，则.故A错误.令，得到，则.则,由于当时，，则.则关于对称.可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位.则的图象关于点对称，故B正确.令，得到，则.令，得到令，得到，两式相减得，变形，即,时，，两边除以，即，故C正确.令，则，时，，则，且，则，即.故D错误.故选：BC.【点睛】难点点睛：解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质.第II卷（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是复数，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用复数除法运算规则化简即可.【详解】，则.故答案为：.13.已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，将角的终边绕着原点逆时针旋转得到角，则__________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的定义求出，再利用和角的正弦公式计算即得.【详解】依题意，，则，所以.故答案为：14.已知双曲线的右焦点为，过的直线与交于点，且满足的直线佮有三条，则双曲线的离心率的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】结合题意知道直线与双曲线两支分别相交，且有两条直线与双曲线同一支相交，运用长轴性质和通径长度可解.【详解】由题意知道直线与双曲线两支分别相交，且有两条直线与双曲线同一支相交．显然满足的直线有1条为x轴，为左右顶点，长度为实轴长，.当直线过，刚好垂直x轴时，令，可求得AB=2b2a.此时直线只有1加上前面的1条，总共2条，不满足题意.如图，运用双曲线对称性知道时，刚好有2条，总共3条，满足题意.即.则.又由于，则双曲线离心率的取值范围为.故答案为：.四､解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.15.的内角对边分别为，且.（1）求角的大小：（2）若，且，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求出C；(2)根据已知条件平方相减可得到再根据余弦定理可得出，根据三角形面积公式可得结果.【小问1详解】因为，根据正弦定理边角互化，以及恒等变换可得内角，所以则可得，又因，所以【小问2详解】根据余弦定理可知，则可得，又因，且，可得，可得则16.如图，单位圆上的一质点在随机外力的作用下，每一次在圆弧上等可能地逆时针或顺时针移动，设移动次回到起始位置的概率为.（1）求及的值：（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）按着三种路线分别求概率即可，（2）由棋子移动的方向分别按逆时针与顺时针共有，，三种情况，故可得，，由数列的递推公式，求得的通项公式，再求,即可由求和公式求解.【小问1详解】如图：设起始位置为，移动2次回到起始位置，则；；所以，若移动3次回到起始位置，；；所以，【小问2详解】每次移动的时候是顺时针与逆时针移动是等可能的，设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为：，，，所以．掷骰子次时，共有，，三种情况，故．，即，，又，时，，又，可得，由，可得数列是首项为公比为的等比数列，，即，又．所以的前项和为17.如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，平面平面，.（1）为上一点，平面，求的值：（2）平面与平面的交线为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设为上一点，且满足，利用线面平行的性质，结合三角形中位线性质推理即得.（2）延长，相交于点，取的中点，利用面面垂直的性质证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】设为上一点，且满足，连接，.由平面，且平面平面，得，即四边形为平行四边形，在等腰梯形中，，则，所以为的中点，，即.【小问2详解】延长，相交于点，设为中点，则平面与平面的交线为直线，连接，，由，得，且，又平面平面，平面平面，则平面，在中，，于是，且，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面法向量，则，取，得，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.18.已知点，点在以为直径的圆上运动，轴，垂足为，点满足，点的轨迹为.（1）求的方程：（2）过点的直线交于点，设直线的斜率分别为､，证明为定值，并求出该定值.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）求出点的轨迹方程，利用向量的坐标运算及坐标代换法求出的方程.（2）设出直线的方程，与的方程联立，利用韦达定理及斜率的坐标表示推理计算即得.【小问1详解】依题意，点在圆上运动，设，由，得，则，又，即，所以的方程为.【小问2详解】依题意，直线斜率存在，设直线的方程为，由，得，则，又，则，所以为定值.【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．19.如图，在区间上，曲线y=fx与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数（1）若，求的值；（2）已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：：（3）函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据给定信息，令，直接代入计算即得.（2）利用矩形