八年级数学下册 正方形中十字架模型（原卷版）

专题02正方形中十字架模型十字架模型分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。【典例1】问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M．那么AE与BF相等吗？（1）直接判断：AEBF（填“＝”或“≠”）；在“问题情境”的基础上，继续探索：问题探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；问题拓展：（3）如图3，点E在边CD上，且MN⊥AE，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△AHN沿着AN翻折，点H落在点H′处．①四边形AHNH′是正方形吗？请说明理由；②若AB＝6，点P在BD上，BD＝3BP，直接写出PH′+AN的最小值为．【变式1-1】如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G，若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是（）A．2 B． C． D．【变式1-2】如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（）A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α【变式1-3】如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个1．在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝8，可以裁出一个最大正方形的边长是（）A．4 B．5 C．6 D．82．如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（）A． B． C． D．3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．2 C． D．4．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF，②BO＝OE，③AE⊥BF，④∠ABO＝∠FAO，⑤S四边形DEOF＝S△AOB中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，正方形ABCD，点E，F在对角线AC上，连接BE、DF，满足BE∥DF，过点E作EG⊥DF，垂足为G，若DG＝4，EG＝3，则AD＝．7．已知正方形ABCD的边长为4，CE＝DF＝3，DE和AF相交于点G，连接BG，点H是线段AE的中点，连接HG，若∠HGB＝∠DAF，则GB＝．8．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M是AD上的一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N，若四边形MOND的面积是3，则AB的长为．9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为．10．如图，四边形ABCD是正方形，点E、N分别在DC、BC上，点F在CB的延长线上．△ADE≌△DCN，将△ADE顺时针旋转n度后，恰好与△ABF重合．（1）请写出n的值；（2）连结EF，试求出∠AFE的度数；（3）猜想线段AE和DN的数量关系和位置关系，并说明理由．11．【探索发现】（1）如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形A1B1C1O绕点O怎么转动，总有△AEO≌△BFO，连接EF，求证：AE2+CF2＝EF2；【类比迁移】（2）如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，CO与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；【迁移拓展】（3）如图3，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当BF＝1cm时，直接写出线段EF的长度．12．如图，已知四边形ABCD是正方形，点F是DC边上的动点（不与端点重合），点E在线段AF上，AD＝m2+1，AE＝2m，DE＝m2﹣1，M为线段BF的中点，点N在线段AF上（不与点F重合），且MN＝BF．（1）求证：BN⊥AF；（2）随着点F的运动，试猜想AB﹣AN的值是否是发生变化，若不变，请求出定值，若变化，请说明理由．13．（1）如图1，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF则AE和DF的数量关系为．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H．求证：EF＝BG．（3）如图3，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE＝2，BF＝5，BM＝1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点恰好与CD边上的点N重合，求CN的长度．14．（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，求证：OE＝FO；（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．15．综合与实践：如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．16．如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度．17．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的点，连接CE，过点D作DF⊥CE，分别交BC，CE于点F、G．（1）求证：CE＝DF；（2）若AB＝3，图中阴影部分的面积和与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△DCG的面积为，CG+DG的长为．18．如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．19．如图1，在正方形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，且∠BAE＝30°，点F是AE的中点．（1）求AE的长；（2）过点F作直线GH，分别交AB，CD于点G，H，且GH＝AE，求AG的长；（3）如图2，过点F作AE的垂线，分别交AB，BD，CD于点M，O，N，连接OE，求∠AEO的度数．20．如图，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B＝90°，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：四边形BFDE是正方形；（2）若BF＝6，点C为BF的中点，直接写出AE的长．21．在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；（2）连接BD交MN于点F．①根据题意补全图形；②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论