专题15 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略（解析版）

专题15难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 1【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】 5【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】 11【典型例题】【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】例题：（2023春·吉林长春·九年级统考开学考试）如图①是一种常用于危险区域提示的告示牌，其主体由两片长度相等的支撑板组成，通过改变两片支撑板的夹角的度数可以调整告示牌的高度，图②是告示牌打开后的侧面示意图，经测量支撑板的长度，支撑板与地面的夹角，求点A处到地面的距离．（结果精确到，参考数据：）

【答案】点A处到地面的距离约为【分析】在中直接利用正弦求出长即可．【详解】解：由题意得：在中，，，，，点A处到地面的距离约为．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正弦等于对边与斜边的比是解题关键．【变式训练】1．（2023·浙江·九年级专题练习）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈已滑动到点的位置，且，，三点共线，，为中点．当时，伞完全张开．（参考数据：，，

(1)求的长．(2)当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．【答案】(1)；(2)伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为．【分析】（1）根据中点定义即可求出的长；（2）过点作于点,根据等腰三角形的性质可得,然后利用锐角三角函数可得的长，所以，进而可得伞圈沿着伞柄向下滑动的距离．【详解】（1）为中点，,，；（2）如图，过点作于点,

,,平分,,,在中，,,，．伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法．2．（2023·河南周口·校联考二模）“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处（），使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”，于点，支杆与树干的横向距离．

(1)天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度．(2)下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答；（2）过点作于点，得，再在中锐角三角函数的定义可得，最后求出和时的长即可解答．【详解】（1）解：由对称性可知，，，在中，，∴，∴，∴，答：遮阳宽度为；（2）解：如图，过点作于点，

∴，∵，，∴，∴，∴，在中，∵，当时，，当时，，∴点下降的高度为，答：点下降的高度为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．

(1)判断四边形的形状并给予证明；(2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据：【答案】(1)平行四边形，见解析(2)【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出，利用证明，得到，据此可证明四边形是平行四边形；（2）延长交水平地面于点，连接．利用正切函数求得的长，得到，推出，再根据余弦函数求得的长，据此即可求解．【详解】（1）解：四边形是平行四边形．证明：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵四边形是矩形，∴，由旋转性质得，∴，∴，∴，由旋转得，∴，∵，∴四边形为平行四边形；（2）解：如图，延长交水平地面于点，连接．

∵，，∴，∴，∴，由（1）知，又，∴，由平行线的性质知，∴，∴，即点到水平地面的距离约为．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．【变式训练】1．（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形与正方形的面积相等，且，

(1)判断四边形的形状，并说明理由．(2)求的长．（参考数据：）【答案】(1)四边形是菱形，详见解析(2)【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，从而得，即可得出结论；（2）作于点M，解，即可求解．【详解】（1）解：四边形是菱形

，理由：正方形与正方形的面积相等，，，∴四边形是平行四边形，，，，∴四边形是菱形．（2）解：作于点M，

在中，，，得

，．【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定、正确求解直角三角形是解题的关键．2．（2023春·江西九江·九年级校联考阶段练习）如图①是一个新款水杯，水杯不盛水时如图放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其主体的侧面示意图如图②，此时杯口与桌面的夹角为，四边形可以看作矩形，点到桌面的距离为，测得，．(1)求的度数；(2)求的长．（结果精确到．参考数据：）【答案】(1)(2)【分析】（1）设交于点，如图所示，根据题意，由直角三角形两锐角互余即可得到答案；（2）过点作于点．过点作交的延长线于点，如图所示，先证明四边形是矩形，解直角三角形即可得到答案．【详解】（1）解：设交于点，如图所示：

∵，∴，∵，∴；（2）解：过点作于点．过点作交的延长线于点，如图所示：

∵，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴，答：的长约为．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用问题，读懂题意，数形结合，准确表示出相应三角函数解方程是解决问题的关键．3．（2022秋·广西柳州·九年级校考阶段练习）“新冠疫情”期间学校在校门口搭建如图1所示的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块可分别沿等长的立柱上下移动，，．（参考数据：，，，）

(1)若移动滑块使，求棚宽的长（精确到）．(2)在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高），门的顶端应与点持平或低于点，试问此时最大为多少度？【答案】(1)(2)的最大值为【分析】（1）根据题意可知是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可求出的值，根据，由此即可求解；（2）如图所示，，过点作于点，根据三角函数的计算即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴在中，，，∵，，∴，且，∴，∴．（2）解：如图所示，，过点作于点，

∴，∴，∴，∴，即的最大值为．【点睛】本题主要考查直角三角形，勾股定理，三角函数的计算的综合，掌握直角三角形与勾股定理，三角函数的计算方法是解题的关键．【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】例题：（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图是小明锻炼时上半身由位置运动到位置时的示意图，并且与地面垂直，已知米，米，，(参考数据)．

(1)的长为米；(2)若米，求、两点间的距离精确到米)．【答案】(1)(2)、两点的距离约为米【分析】（1）过点作于点，根据题意可得：米，从而可得米，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算即可解答；（2）设与相交于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答．【详解】（1）解：过点作于点，

由题意得：四边形是矩形，则米，米，（米），在中，，（米），故答案为：；（2）解：设与相交于点，过点作，垂足为，

由题意得：米，，，，，米，，，在中，（米），（米），、两点的距离约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）为更好的宣传我县道德模范先进事迹，我县在中央公园专门设置了“善行义举榜”展示牌．某校学雷锋活动小组参观时，想要测量此展示牌的高度，他们绘制了该展示牌支架侧面的截面图，如图所示，并测得，，，．请求出展示牌最高点A到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，）．

【答案】展示牌最高点A到地面的距离为．【分析】过点A作，过点B作，过点B作．先在、中利用边角间关系求出，再利用线段的和差关系得结论．【详解】解：过点A作，垂足为M，过点B作，垂足为E，过点B作，垂足为N，

∵，，，∴四边形是矩形．∴，，∴，∴，在中，∵，∴，∴，∵，∴．在中，∵，∴．∴．答：展示牌最高点A到地面的距离为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．2．（2023春·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图1所示的是一套车牌识别系统，将其抽象成如图2所示的示意图，摄像头可绕点旋转，与地面形成的角度为，立柱与地面垂直，高度为．当车牌完全进入摄像头范围内，才能识别车牌号码，某款小汽车车牌上方距离地面．（结果精确到，参考数据：．）

(1)若，求该系统正好能识别该汽车车牌的距离；(2)若的最大值为，求系统能识别该汽车车牌的最大距离．【答案】(1)；(2)．【分析】将具体问题几何化，转为解直角三角形，由于只涉及垂直距离与水平距离，可使用正切值求得水平距离，即可求得系统能识别汽车车牌的距离．【详解】（1）如图，为车牌上方距离地面的高度，，

，，．故该系统正好能识别该汽车车牌的距离为．（2）如图，，，，．故系统能识别该汽车车牌的最大距离为．【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数中边角的关系．3．（2023·湖北随州·统考模拟预测）某县消防大队到某小区进行消防演习已知，图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点A距离地面的高度为．(1)当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度；(2)已知该小区层高为，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）【答案】(1)云梯消防车最高点距离地面的高度为(2)该消防车能有效救援层【分析】如图所示，过点作，垂足为，可求出，在中，根据余弦的计算方法即可求出的长，由此即可求解；当，时，能达到最高高度，可求出的度数，在中，根据正弦的计算方法即可求出的长，由此即可求解．【详解】（1）如图所示，过点作，垂足为，过点A作，垂足为，则，，，，在中，，，，，云梯消防车最高点距离地面的高度为．（2）该消防车能有效救援层，理由如下，当，时，能达到最高高度，，，在中，，，，，该消防车能有效救援层．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．4．（2022秋·山东威海·九年级校联考期中）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，测得支架，、所在直线与地面的夹角分别为、，．

(1)求扶手前端到地面的距离；(2)手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，，求坐板的宽度．（本题答案均保留根号）【答案】(1)扶手前端到地面的距离为(2)坐板的宽度为【分析】（1）如图2，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，在中根据含特殊角的直角三角形的性质可求出，在中，根据特殊角的三角函数可求出，由此即可求解；（2）在（1）的作图基础上，过作，垂足为，设，根据可得，在中，可用含的式子表示的长，在中，，可用含的式子表示的长，根据