图形的平移与旋转压轴题（7个类型55题）-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（原卷版）

第三章图形的平移与旋转压轴题内容导航一、图形的平移类型一、图形的平移问题HYPERLINK类型二、平面直角坐标系内的图形平移问题HYPERLINK类型三、一次函数图象的平移问题二、图形的旋转类型四、图形旋转的规律问题类型五、图形旋转的性质应用类型六、图形旋转的综合问题类型七、中心对称图形的性质应用一、图形的平移类型一、图形的平移问题1．如图，直线m//n，点A在直线m上，BC在直线n上，构成ABC，把ABC向右平移BC长度的一半得到（如图①），再把向右平移BC长度的一半得到（如图②），再继续上述的平移得到图③，…，通过观察可知图①中有4个三角形，图②中有8个三角形，则第2020个图形中三角形的个数是（

）A．4040 B．6060 C．6061 D．80802．△ABC是一块含有45º的直角三角板，四边形DEFG是长方形，D、G分别在AB、AC上，E、F在BC上。BC=16,DG=4，DE=6，现将长方形DEFG向右沿BC方向平移，设水平移动的距离为d，长方形与直角三角板的重叠面积为S，（1）当水平距离d是何值时，长方形DEFG恰好完全移出三角板；（2）在移动过程中，请你用含有d的代数式表示重叠面积S，并写出相应的d的范围。3．如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，．

(1)依题意在图1中补全图形，并证明：；(2)过点C作直线．在直线上取点，使．①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）．4．某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上．(1)当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？(2)当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？(3)在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由．5．如图，等腰三角形中，，D为边上一点，E为射线上一点，连接．(1)如图1，点F在线段上，连接、．若，为等边三角形，，，求的长；(2)如图2，F为线段的垂直平分线上一点，连接、、，M为的中点，连接、．若，求证：；(3)如图3，，D为中点，F为中点，与交于点G，将沿射线方向平移得，连接、．若，直接写出的最小值．6．综合与探究：问题情境：数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC交CD于点F．初步分析：（1）智慧小组的同学发现△CEF是等腰三角形，请你证明这一结论；（2）博学小组的同学发现给△ABC添加一个条件，可使△CEF成为等边三角形．添加的条件可以是．（写出一种即可）操作探究：（3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下的探究，请从下面A，B两题中任选一题作答我选择题：A．将△ADF沿射线AB的方向平移，使点F的对应点F恰好落在线段BC上，①请在图中画出平移后的，②猜想此时线段A′B与AC之间的数量关系，并说明理由．B．将△CEF沿射线CB的方向平移，使点C的对应点恰好与点B重合，①请在图中画出平移后的，②连接EF′，交BD于点G，猜想此时线段EG与F′G之间的数量关系，并说明理由．类型二、平面直角坐标系内的图形平移问题7．对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（

）A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.58．如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A的坐标为（1，1）．将点O1平移2个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（）A．（3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（﹣2，﹣1） D．（2+1，2+1）9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C的坐标分别为，．已知线段的端点M，N的坐标分别为，，平移线段，使得平移后的线段的两个端点均落在正方形的边上，此时正方形被该线段分为两部分，其中三角形部分的面积为；已知线段的端点坐标分别为，，且，，．平移线段，使得平移后的线段的两个端点均落在正方形的边上，且线段将正方形的面积分为两部分，取的中点H，连接，则的长为．10．在平面直角坐标系xOy中，对于点A，规定点A的变换和变换．变换：将点A向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度；变换：将点A向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度(1)若对点B进行变换，得到点（1，1），则对点B进行变换后得到的点的坐标为．(2)若对点C（m，0）进行变换得到点P，对点C（m，0）进行变换得到点Q，，求m的值．(3)点D为y轴的正半轴上的一个定点，对点D进行变换后得到点E，点F为x轴上的一个动点，对点F进行变换之后得到点G，若的最小值为2，直接写出点D的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为、，且a，b满足：，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接．

(1)求C，D两点的坐标及四边形的面积；(2)点P是线段上的一个动点，连接，当点P在上移动时（不与B，D重合），的值是否发生变化，并说明理由；(3)已知点M在y轴上，且点D在的外部，连接，若的面积与四边形的面积相等，求点M的坐标．12．如图1，在直角坐标系中直线与、轴的交点分别为，，且满足.（1）求、的值；（2）若点的坐标为且，求的值；（3）如图2，点坐标是，若以2个单位/秒的速度向下平移，同时点以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是秒，若点落在内部（不包含三角形的边），求的取值范围．13．在平面直角坐标系中，对于给定的两点，若存在点M，使得的面积等于1，即，则称点M为线段的“单位面积点”，解答下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为．

(1)在点中，线段的“单位面积点”是；(2)已知点，将线段沿y轴向上平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，直接写出t的取值范围．(3)已知点，点是线段的两个“单位面积点”，点M在的延长线上，若，求出点N纵坐标的取值范围．14．如图在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．且a，b满足，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC，BD，CA的延长线交y轴于点K．(1)点P是线段CK上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段CA上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论．(2)连接AD，在坐标轴上是否存在点M，使的面积与的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．15．在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．(1)直接写出______，______；(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；(3)如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．类型三、一次函数图象的平移问题16．如图1，在平面直角坐标系中．直线与轴、轴相交于两点，动点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上时，过点作轴于点．(1)求证：；(2)如图2，将沿轴正方向平移得，当直线经过点时，求点的坐标及平移的距离．17．在平面直角坐标系中，对于点与图形W，若点Q为图形W上任意一点，点关于第一、三象限角平分线的对称点为，且线段中点为，则称点是图形W关于点的“关联点”．(1)如图1，若点是点关于原点的关联点，则点的坐标为；(2)如图2，在中，，，．①将线段向右平移（）个单位长度，若平移后的线段上存在两个关于点的关联点，则d的取值范围是．②已知点和点，若线段上存在关于点的关联点，求n的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，直线与、轴分别相交于点、，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点．（1）若点是轴上一动点，连接、，求当取最大值时，点的坐标．（2）在（1）问的条件下，将沿轴平移，在平移的过程中，直线交直线于点，则当是等腰三角形时，求的长．19．对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“﹣1型平移”．已知点和点．(1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为．(2)①将线段进行“﹣1型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是．②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是．(3)知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，画图、观察、归纳可得，当的取值范围是时，的最小值保持不变．20．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点坐标为，连接．(1)求点的坐标及线段的长度；(2)将线段沿轴向下平移个单位至，连接．当为直角三角形时，求的值；当周长最小时，的值是；此时，最小周长等于．21．已知直线与轴、y轴分别交于A、B两点，以A为直角顶点，线段为腰在第一象限内作等腰．

(1)求点C的坐标(2)P为直线上的动点，若的面积与的面积相等，则点P的坐标为多少(3)点M为直线上的动点，点N为x轴上的一点，是否存在以点M、N、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．（1）阅读以下内容并回答问题：问题：在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝﹣2x向上平移3个单位，求平移后直线的解析式．小雯同学在做这类问题时经常困惑和纠结，她做此题的简要过程和反思如下．在课堂交流中，小谢同学听了她的困惑后，给她提出了下面的建议：“你可以找直线上的关键点，比如点A（1，﹣2），先把它按要求平移到相应的对应点A′，再用老师教过的待定系数法求过点A′的新直线的解析式，这样就不用纠结了．”小雯用这个方法进行了尝试，点A（1，﹣2）向上平移3个单位后的对应点A′的坐标为，过点A′的直线的解析式为．（2）小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法，请你也试试看：将直线y＝﹣2x向左平移3个单位，平移后直线的解析式为，另外直接将直线y＝﹣2x向（“上”或“下”）平移个单位也能得到这条直线．（3）请你继续利用这个方法解决问题：对于平面直角坐标系xOy内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位，再向左平移3个单位，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．求将直线y＝﹣2x进行两次“斜平移”后得到的直线的解析式．二、图形的旋转类型四、图形旋转的规律问题23．在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在的正方形网格图形中（如图1），从点经过一次跳马变换可以到达点，，，等处现有的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点经过跳马变换到达与其相对的顶点，最少需要跳马变换的次数是（

）A． B． C． D．24．如图，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针转到位置①可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+…，按此顺序继续旋转，得到点P2016，则AP2016=(

)A．2016+671 B．2016+672C．2017+671 D．2017+67225．如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为……依此规律，则第2023年等腰三角形中，点的坐标是（

）A． B． C． D．26．如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点D的坐标是．

27．如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0间的距离是28．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，将等边绕着点依次顺时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，按此作法进行下去，则点的坐标为．

类型五、图形旋转的性质应用29．如图，等腰，，，点为边上一点，，点为边上一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最小值为．30．如图，在四边形中，，，连接，将绕点旋转，使旋转到，旋转到，当与交于一点，同时与交于一点时，下面四个结论：；；；周长的最小值是．其中所有正确结论的序号是．31．在中，，，．把绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点．(1)当时，在图1中作出旋转后的（尺规作图，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，连接，则的长为______；(3)在旋转过程中，直线分别交，于点，，若为等腰三角形，求的长．32．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：、和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线．

(1)一个角的角平分线___________这个角的奇妙线．（填是或不是）(2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．①当t为何值时，射线是的奇妙线？②若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止旋转．请求出当射线是的奇妙线时t的值．33．综合与实践【模型感知】手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型．（1）如图，已知和都是等边三角形，连接，．求证：；【模型应用】（2）如图，已知和都是等边三角形，将绕点旋转一定的角度，当点在的延长线上时，求证：；【类比探究】（3）如图，已知和都是等边三角形．当点在射线上时，过点作于点，直接写出线段，与之间存在的数量关系为_____________．类型六、图形旋转的综合问题34．问题提出：（1）如图①，已知是面积为的等边三角形，是的平分线，则的长为______．问题探究：（2）如图②，在中，，，，点为的中点，点，分别在边，上，且．证明：．问题解决：（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点，分别在，上，连接、、，，、分别在、上，连接、，，，其中四边形种植玫瑰，和种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形的面积为，为了节约成本，矩形花园的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形的最小面积，若不存在，请说明理由．

35．问题提出：

（1）如图1，点A为线段外一动点，且，，填空：当__________时，线段的长取得最大值，且最大值为__________（用含a，b的式子表示）．问题探究：（2）点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边，作等边三角形和等边三角形，连接，，找出图中与BE相等的线段，请说明理由，并直接写出线段长的最大值．问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时点P的坐标．36．已知，点M为线段的中点，点P为线段上一动点，过点P作直线l（不与重合），于点E，于点F．(1)如图1，当点P与点M重合时，与有怎样的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当点P不与点M重合时，（1）问中的结论是否仍然成立，为什么？(3)在等边中，点M为的中点，点P为边上一动点，过点P的直线，于点E，于点F，连结．①如图3，当时，求的度数；②如图4，当时，探究的数量关系，并说明理由．37．如图，在四边形中，，点在四边形的内部，且，，已知，则的长为．

38．问题初探：（1）一天杨老师给同学们这样一个几何问题：如图1，和都是等边三角形，点在上．求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．类比分析：（2）杨老师发现，小明通过构造全等三角形，将边和转移，使、、在一个三角形中，为了帮助学生更好的利用已知边角的数量关系构造全等三角形，杨老师将和换成两个等腰直角三角形，并隐藏了一部分图形，得到了下面的图形，如图3，并提出了下面的问题，请解答．已知：，，为AC边上的一点，试判断、、之间的数量关系．学以致用：（3）如图4．已知四边形是正方形．点在上，，，试求出正方形的面积．39．问题提出（）如图所示，将含有和角的一副直角三角板与在直线，的顶点和角的顶点重合于点，点在直线上，为平分线，则．问题探究（）如图，若将三角板绕点逆时针旋转，平分，请你探究度数是否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由；问题解决（）如图，从图位置开始，将三角板绕点以每秒速度逆时针旋转，同时三角板以每秒的速度顺时针旋转，当首次与重合或当与首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两三角板的旋转时间为，在整个旋转过程中，当满足，求的值．

40．【初步感知】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，将等腰三角形纸片与等腰三角形纸片按图示位置摆放，其中，．

求证：，请你完成证明．【深入探究】（2）如图2，中，，点在底边上，，，点在点的右侧，连接．求证：．小明和小红分别给出如下思路：①小明同学从轴对称变化的角度做了研究：以为对称轴，利用轴对称构造一个与全等的三角形，通过研究角的大小关系解决了问题．②小红同学从旋转变化的角度做了研究：以点为旋转中心，利用旋转构造一个与全等的三角形，也通过研究角的大小关系解决了问题．请你选择一名同学的思路，写出证明过程．【学以致用】为了帮助学生更好地感悟类比推理思想，李老师将图2进行修改并提出下面问题，请你解答．（3）如图3，在（2）的条件下，将“点在点的右侧”改为“点在点的左侧”，其他条件不变，点E在线段上，且满足，当，，时，求的长．（用含的式子表示）41．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中．(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为度；(2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；(3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值．42．数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：

(1)【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．①写出图1中一个等于的角；②图1中与的数量关系是．(2)【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长．43．如图，在中，，，于点D．点G是射线AD上一点，过G作分别交AB、AC于点E、F：

(1)如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：；(2)如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由；(3)当点G在线段AD上时，请直接写出的最小值．参考公式：44．如图①，在等腰直角三角形中，，D，E分别为的中点，F为线段上一动点（不与D，E重合），将线段绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．

(1)求证：．(2)如图②，连接，交于点H．①证明：在点F的运动过程中，总有；②若，直接写出当的长度是多少时，为为等腰三角形？45．如下图，在和中，，，且，则可证明得到．

【初步探究】（1）如下图，为等边三角形，过点作的垂线，点为上一动点（不与点重合），连接，把线段绕点逆时针方向旋转得到，连．请写出与的数量关系并说明理由；

【思维提升】（2）如下图，在中，以为边向外作等边，连接，，，，求长．

【拓展应用】（3）如下图，在中，，，作交于点，过点作直线，点是直线上的一个动点，线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，则的最小值为_____．

类型七、中心对称图形的性质应用46．如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（

）.A． B． C． D．47．对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（）A．12 B．14 C．16 D．1848．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是___________．

49．如图，有任意四边形，分别是A、B、C、D关于B、C、D、A的对称点，设S表示四边形的面积，表示四边形的面积，则的值为．50．点、、在数轴上对应的数分别为、、，点在数轴上对应的数是，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，，则的长度为．51．对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．

(1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______．②画出点关于四边形的“对称图形”；(2)点是轴上的一动点．①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围；②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范