分式与分式方程压轴题（5个类型50题）-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（原卷版）

第五章分式与分式方程压轴题内容导航一、分式类型一、分式性质的应用类型二、分式的运算二、分式方程类型三、解分式方程类型四、分式方程无解和增根问题类型五、分式方程的应用题一、分式类型一、分式性质的应用1．已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作：第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）第二次操作：将，作和，结果记为：作差，结果记为；（即，）第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）…（依此类推）将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：．①；②当时，；③若，则；④在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值：⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：，；以上结论正确的个数有（

）个A．5 B．4 C．3 D．22．已知，一次函数的图象过点，则一次函数的解析式是．3．已知都为正数，，，，，，，则．4．某知名服装品牌在北碚共有、、三个实体店．由于疫情的影响，第一季度、、三店的营业额之比为，随着疫情得到有效的控制和缓解，预计第二季度这三个店的总营业额会增加，其中店增加的营业额占总增加的营业额的，第二季度店的营业额占总营业额的，为了使店与店在第二季度的营业额之比为，则第二季度店增加的营业额与第二季度总营业额的比值为．5．已知．即当为于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，．计算的结果为．6．已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有组．7．下列结论：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第四象限；②若÷有意义，则x的取值范围是x≠3且x≠0；③若分式的值为0，则x的值为±3；④分式的值为整数，则整数x的值有6个；⑤若已知（x﹣2）x-5＝1，则整数x的值是3或1或﹣5，其中错误的有．（填序号）8．阅读理解：材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：…01234……无意义1…从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：根据上述材料完成下列问题：(1)当时，随着的增大，的值(增大或减小)；当时，随着的增大，的值（增大或减小）；(2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；(3)当时，直接写出代数式值的取值范围是．类型二、分式性质的运算9．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（）A．分钟 B．分钟C．分钟 D．分钟10．今年是脱贫攻坚关键年，大学生小赵利用电商平台帮助家乡售卖当地土特产。今年10月份葡萄干、哈密瓜、核桃三种土特产的销售量之比为2：3：5，随着“双十一”的到来，预计11月份总销售量会大幅增加，其中核桃增加的销售量占三种特产总增加的销售量的，且核桃的销售量将达到11月份三种特产总销售量的，为使葡萄干、哈密瓜11月份的销售量之比为3：4，则11月份葡萄干还需增加的销售量与11月份总销售量之比是.11．6月18日晚，苏宁易购发布618全程战报：从6月1日到18日晚6点，苏宁依托线上线下全场景优势，逆势增长.经调查，苏宁易购线上有甲乙两家在销售华为A手机、华为B电脑和华为C耳机.已知每部A手机的利润率为40%，每台B电脑的利润率为60%，每副C耳机的利润率为30%，甲商家售出的B电脑和C耳机的数量都是A手机的数量的一半，获得的总利润为50%，乙商家售出的A手机的数量是B电脑的数量的一半，售出的C耳机的数量是B电脑的数量的，则乙商家获得的总利润率是.12．设a、b、c是互不相等的实数，且，则．13．对于一个两位数，，记，将m的十位数字与个位数字的和、十位数字与个位数字的差分别作为的十位数字和个位数字，新形成的两位数叫做m的伴生和差数，把m放置于十位数字与个位数字之间，就可以得到一个新的四位数M，最小的M为，若M能被7整除，则的最小值为.14．若，求的值15．将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为．(1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；(2)请证明（1）中的数学关系式；(3)在中，三条边的长度分别为，证明：．16．设n为正整数，且，，…．(1)求证：；(2)若，求正整数a，b的值．17．观察下列各式：，(1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________；(2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，；(3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值．18．若三个非零实数、、满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数、构成“青一三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“青一三数组”．(1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号）①1、2、3；②1、、；③、、．(2)若、、构成“青一三数组”，求实数的值；(3)若非零实数、、构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立．求实数的取值范围．19．用数学的眼光观察：同学们，在学习中，你会发现“”与“”有着紧密的联系，请你认真观察等式：，．用数学的思维思考并解决如下问题：(1)填空：______；(2)计算：①若，求的值；②若，求的值；③已知，求的值．20．阅读下面材料并解决有关问题：（一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，；（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：；(1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；(2)已知：，求代数式的值；(3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）21．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：例1：分解因式；解：将“”看成一个整体，令；原式；例2：已知，求的值．解：；(1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解；(2)计算：．(3)①已知，求的值；②若，直接写出的值．二、分式方程类型三、解分式方程22．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数的和为．23．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是．24．若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是．25．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则满足条件的所有整数a的值之积为．26．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是．27．关于x的一元一次不等式组的解集为，关于y的分式方程有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值．28．关于的分式方程的解为整数，且关于的不等式组有解且最多有六个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为．29．阅读材料，下列关于的方程：的解为：，；

的解为：，；的解为：，；

的解为：，；根据这些材料解决下列问题：(1)方程的解是____________；(2)方程的解是____________；(3)解方程：．30．仔细观察下面的变形规律：，，，……解答下面的问题：(1)总结规律：已知为正整数，请将和写成上面式子的形式；(2)类比发现：计算与的结果；(3)知识迁移：解关于（为正整数）的分式方程：；(4)规律应用：化简．31．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题：(1)方程有两个解，分别为________，________；(2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________；(3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值．类型四、分式方程无解和增根问题33．若关于x的分式方程无解，则．34．有下列说法：①不论k取何实数，多项式x2﹣ky2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x的分式方程无解，则m＝1；③关于x、y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为，其中正确的是．（填序号）35．对于平面直角坐䏡系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即．(1)点的“3之立信点”的坐标为________．(2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值；(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．36．已知，关于x的分式方程．(1)当，时，求分式方程的解；(2)当时，求b为何值时分式方程无解；(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．37．阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．(1)请回答：的说法是正确的，正确的理由是．完成下列问题：(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；(3)若关于的方程无解，求的值．38．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．阅读以上材料后，完成下列探究：探究1：m为何值时，方程有增根．探究2：m为何值时，方程的根是．探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程的三个根中两个根之和等于第三个根；探究4：你发现满足“探究3”条件的的关系是______．类型五、分式方程的应用题39．现有若干防疫口罩，疫情防控人员计划将这些口罩分为两批，分别在两周内分发完毕．第一周将第一批口罩数量按照1：3：4的比例分发给、、三个小区且全部分完．第二周先拿出第二批口罩数量的20%分发给社区工作人员，再将剩余口罩的分发给小区，则小区两周收到的口罩数量与三个小区两周收到的口罩数量之和的比为2：9.若、小区两周收到的口罩数量之比为3：4，则小区第二周收到的口罩数量与口罩总数量之比为（）A．8：41 B．9：43 C．8：43 D．9：4140．甲、乙、丙三名工人共承担装搭一批零件．已知甲乙丙丁四人聊天时的对话信息如下：甲说：我的工作效率比乙的工作效率少乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成工作量相等；丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．知道工程问题三者关系是：工作效率×工作时间＝工作总量．如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的轮流顺序至完成工作任务，共需（

）小时．A．20 B．21 C．19 D．1941．2月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在2月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比2月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于2月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于2月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的，则2月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为．42．某水果店进了一批苹果、橘子、车厘子，这些水果刚好包装成50个相同规格的水果礼盒出售（礼盒的售价即是三种水果的价格之和）．其中苹果、橘子、车厘子进价之比为；苹果、橘子、车厘子售价分别比其进价高；每个礼盒的苹果、橘子、车厘子的数量之比为．年前水果店一共卖出水果礼盒若干，剩下的礼盒在年后全部售完，由于存放较久，三种水果都降价．降价后的苹果、橘子、车厘子售价分别是进价的、、．把剩下的礼盒按照降价后的方式全部售完后，年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为；则这批水果最后的总利润率为．43．已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是千米/小时．（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是．44．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．

(1)①“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为（以上结果均用含的式子表示）；②通过计算可知，（填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高；(2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值；(3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为（直接写出结果）．45．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？46．根据素材，完成任务．如何设计雪花模型材料采购方案？素材一学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9．素材二某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．

素材三6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完．问题解决任务一分析雪花模型结构求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？任务二确定采购费用试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．任务三拟定采购方案求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多．47．为落实《健康中国行动（）》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动．据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等．(1)求每个足球和排球的价格；(2)学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？(3)在（2）方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠．学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球（此时按原价购买，可以只购买一种），求再次购买足球和排球的方案．48．郑州经开区八大街某运动用品商店准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多元，用元购进足球和元购进排球的数量相同．商品将每个足球售价定为元，每个排球售价定为元．(1)每个足球和排球的进价分别是多少？(2)根据商店对运动用品市场调查，商店计划用不超过元的资金购进足球和排球共个，其中足球数量不低于排球数量的，该商店有几种进货方案？(3)“六一”期间，该商店开展促销活动，决定对每个足球售价优惠元，排球的售价不变．假定这个球在“六一”期间能够全部卖完，在的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这个球获得的总利润最大的进价方案．49．我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．(1)【