高中数学平面向量应用举例

2.5平面向量应用举例

|自寺预习学案>>>»Zl—ZHU—YU-XI-XUE-AN⑴

情景引入在

舅ingjingyinru"

英国科学家赫胥黎应邀到都柏林演讲，由于时间紧迫，他一跳上出租车，就急着说：“快！

快！来不及了！”司机遵照指示，猛开了好几分钟，赫胥黎才发现不太对劲，问道：“我没

有说要去哪里吗？”司机回答：“没有啊！你只叫我快开啊！”赫胥黎于是说：“对不起，

请掉头，我要去都柏林.”由此可见，速度不仅有大小，而且有方向.在我们的生活中，有

太多的事物不仅与表示它的量的大小有关，而且也与方向有关.

新知导学,

Ainzhidaoxue」

1.向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用主要有以下方面：

(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用

到向量减法的意义.

(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)

的条件：a〃6㈡“=%♦(或xiy2—尤2丫1=0)•

(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线段)是否垂直等，

常运用向量垂直的条件：0=0(或为必+丫1丫2=0).

(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos0=^.

(5)向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立

直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题.

2.向量在物理中的应用

数学中对物理背景问题主要研究下面两类：

(1)力向量

力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有

大小和方向的量，在不计作用点的情况下，.可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的

合力一.

(2)速度向量

速度向量是具有大小和方向的向量，因而一可用求向量和的平行四边形法则，求两个速

度的合速度..

［知识点拨］向量方法在平面几何中应用的几点说明：

(1)要证明两线段平行，AB//CD,则只要证明存在实数使诵=4历成立，且

AB与CD无公共点.

(2)要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数/IWO,<AB=Z4C.

(3)要求一个角，如NABC,只要求向量就与向量魔的夹角即可.

v预习自测土：.

uxizice

1.四边形ABC。中，若赢=班，则四边形ABC。是()

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.梯形

2.下列直线与。=(2,1)垂直的是()

A.2x+y+l=0B.x+2y+l=0

C.%—2y+4=0D.2x—y+4=0

3.已知两个力口，尸2的夹角为90°,它们合力大小等于10N,合力与Fi的夹角为60°,

则Fi的大小为_N()

A.5^3B.10

C.5表D.5

4.若直线/：7nx+2y+6=0与向量(1—〃z,l)平行，则实数根的值为.

H互动探究解疑在

“udongtanjiujieyi"

命题方向1。向量在平面几何中的应用

典例1如图，平行四边形ABC。中，已知AD=1,AB=2,对角线80=2.

求对角线AC的长.

〔跟踪练习1〕如图所示，四边形ABC。是菱形，AC和8。是它的两条对角线，试用

向量证明：AC±BD.

命题方向2。向量在物理中的应用

■典例2如图，在细绳。处用水平力尸2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子

与铅垂方向的夹角为仇绳子所受到的拉力为

⑴求EI、尸2|随角e的变化而变化的情况;

(2)当旧1IW21Gl时，求角。的取值范围.

2.如果一个物体在力G的作用下产生位移为s,那么力F所做的功W=£||s|cosO,其

中。是歹与s的夹角.由于力和位移都是向量，所以力所做的功就是力与位移的数量积.

〔跟踪练习2〕两个力Fi^i+j,F2=4Z-5J作用于同一质点，使该质点从点4(20,15)

移动到点8(7,0)(其中i、J分别是与x轴、y轴同方向的单位向量).求：

(1*1、巳分别对该质点所做的功；

(2)尸1、巳的合力厂对该质点所做的功.

x蓝禽丁用向量方法探究存在性问题

做题时，我们会遇到一些存在性问题、比较复杂的综合问题等等，解决此类问题常常运

用坐标法，坐标法就是把向量的几何属性代数化，把对向量问题的处理程序化，从而降低了

解决问题的难度.另外，坐标法又是实现把向量问题转化为代数问题的桥梁.因此我们要善

于运用坐标法把几何问题、代数问题、向量问题进行相互转化.

■典例3在△A8C中，已知48=AC=5,BC=6,M是边AC上靠近点A的一

个三等分点，试问：在线段8M(端点除外)上是否存在点P,使得PCLBM?

〔跟踪练习3〕△ABC是等腰直角三角形，NB=90。，。是边的中点，BELAD,

垂足为E,延长BE交AC于R连接DR求证：ZADB^ZFDC.

心需鬻著hi步对向量相等的定义理解不清楚

■典例4已知在四边形ABCZ)中，对角线AC、2。相互平分，S.AC±BD,求

证：四边形ABC。是菱形.

〔跟踪练习4〕如右图所示，在正方形A8CZ)中，尸为对角线AC上任一点，PE1AB,

PF±BC,垂足分别为£、F,连接。尸、EF,求证：DP±EF.

V课堂达标验收治

etangdabiaoyanshou,

1.已知作用在点BQ』)的三个力尸1=(3,4),歹2=(2,-5),-3=(3」),则合力尸=邑+

F2+F3的终点坐标是()

A.(8,0)B.(9,1)

C.(-1,9)D.(3,1)

2.在四边形ABCD中，若花+历=0,ACfib=0,则四边形为()

A.平行四边形B.矩形

C.等腰梯形D.菱形

3.过点A(2,3),且垂直于向量。=(2,1)的直线方程为()

A.2元+厂7=0B.2x+y+7=0

C.尤一2y+4=0D.x—2y—4=0

4.已知△ABC的重心是G,CA的中点为且A、M、G三点的坐标分别是(6,6),(7,4),

(y>|)>则18cl为()

A.4^/10B.V10

C.邛D.2710

A级基础巩固

、选择题

1.若向量赤1=(1,1),加2=(—3,—2)分别表示两个力荒、下2,则商十两为()

A.(5,0)B.(-5,0)

C.乖D.一小

2.(2018・四川绵阳期末)△ABC中，设成=c,*=a,CA^b,若c-(c+a—b)<0,则^

ABC是()

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.无法确定其形状

3.已知点4-2,0),8(0,0),动点P（无，y）满足两•丽=幺，则点尸的轨迹是（

A.x2+j2=lB.x2—y2=l

C.y2—2xD.y2——lx

4.在△ABC中，NC=90°,Q=（匕1）,n=（2,3）,则上的值是（）

A.5B.-5

C.|

D.

5.点。是△ABC所在平面内的一点，满足51近=匠•沆=db而，则点。是△ABC

的（）

A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点D,三条高线的交点

6.两个大小相等的共点力Fi、F2,当它们的夹角为90。时，合力大小为20N,当它们

的夹角为120。时，合力大小为（）

A.40NB.10V2N

C.2MND.4（h/2N.

二、填空题

7.力尸=（-1,一2）作用于质点P,使P产生的位移为s=（3,4）,则力F对质点P做功

的是——.

8.若平面向量a、/?满足|a|=l,WIW1,且以向量a、/?为邻边的平行四边形的面积为最

则a与/?的夹角0的取值范围是

三、解答题

9.在△ABC中，NC=90。，。是AB的中点，用向量法证明

10.某人骑车以akm/h的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2akm/h

时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.

B级素养提升

一、选择题

1.点尸在平面上做匀速直线运动，速度。=(4,—3),设开始时点P的坐标为(一10,10),

则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s,长度单位：m)()

A.(-2,4)B.(-30,25)

C.(10,-5)D.(5,-10)

2.在四边形ABC。中，AC=(1,2),砺=(—4,2),则该四边形的面积为()

A.小B.2^5

C.5D.10

3.已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，S.\OA\=\OB\=\6C\,NA+NB+NC=0,

PAPB=PBPC=PCPA,则点。、N、P依次是△48(7的()

A.重心外心垂心B.重心外心内心

C.外心重心垂心D.外心重心内心