第一章直角三角形的边角关系(基础达标卷)-2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习(基础巩固＋能力拓展北师大版)(原卷版+解析)

第一章直角三角形的边角关系单元综合检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________基础达标卷一、选择题1．（2021·兰州市九年级期末）计算2cos30°的值为（）A．1 B． C． D．2．如图，中，，则的面积是（）A． B．12 C．14 D．213．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）锐角△ABC中，∠B＝45°，BC＝，则AC的长是（）A．1 B． C． D．第2题图第3题图第4题图第5题图4．（2021·江苏扬州中学九年级月考）如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（）A． B． C． D．5．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为6，AC为对角线，取AB中点E，DE与AC交于点F．则sin∠DFC＝（）A． B． C． D．6．（2021·重庆八中九年级月考）如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端测得小楼顶端的俯角为度，从大楼底端测得小楼顶端的仰角为度，小楼底端到大楼前梯坎的底端有米，梯坎长65米，梯坎的坡度，则大楼的高度为（）（结果精确到米，参考数据：，，）A． B． C． D．第6题图第7题图7．（2021·湖南芙蓉九年级期中）在平面直角从标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线（x＞0），经过点B，双曲线（x＜0），经过点C，则＝（）A．﹣3 B．3 C． D．8．（2021·山东青岛市中考真题）如图，在四边形纸片中，，，．将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为．若，则的长为（）A．5 B． C． D．第8题图第9题图第10题图9．（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）如图，中，，，的值为，则（）A． B． C． D．10．（2021·甘肃兰州市中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点，点在上，连接，，，，，则（）A．4 B．3 C． D．2二、填空题11．（2021·江苏灌云九年级期中）在中，若，满足，则的度数是_______．12．（2021·福建省福州屏东中学九年级二模）如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，则_____．第12题图第14题图13．在中，，且平分线的长为26，则______，______，___．14．（2021·哈尔滨市九年级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝15，AD＝7，则AC＝_____．15．（2021·成都嘉祥外国语学校九年级月考）如图所示，CD、EF表示高度不同的两座建筑物，已知CD高15米，小明站在A处，视线越过CD，能看到它后面的建筑物的顶端E，此时小明的视角∠FAE＝45°，为了能看到建筑物EF上点M的位置，小明沿直线FA由点A移动到点N的位置，此时小明的视角∠FNM＝30°，则小明由点A移动到点N的距离是___米．第15题图第17题图16．（2021·山东南区九年级期末）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝___．17．（2021·宜兴市实验中学九年级二模）如图，点在的正半轴上，且于点，将线段绕点逆时针旋转到的位置，且点的坐标为．若反比例函数的图象经过点，则______．三、计算题18．（2021·济宁市第十五中学九年级月考）求下列各式的值：（1）；（2）．19．（2021·济宁市九年级月考）计算：（1）（2）四、解答题20．在中，，是边上的中线，，求和．21．（2021·山东济宁九年级月考）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，测得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A，B两点间的距离．（结果保留根号）22．（2021·重庆巴蜀中学九年级开学考试）如图，在矩形ABCD中，AD=10，tanAEB=，点E为BC上的一点，ED平分AEC，（1）求BE的值；（2）求sinEDC．23．（2021·杭州市九年级开学考试）如图，，，于点E，于点F．（1）求证：；（2）已知，求的值．24．（2021·辽宁盘锦中考真题）如图，小华遥控无人机从点A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6米，且，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）25．（2021·四川仁寿九年级期末）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．①求证：△ABM∽△EMA．②若AB＝4，BM＝3，求sinE的值．26．（2021·四川内江市中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）27．（2021·厦门市九年级二模）如图，在中，∠BAC＝90°，将绕直角顶点A逆时针旋转一定角度后得到，当点D在边BC上时，连接CE．（1）若旋转角为60°，求∠ACB的度数；（2）若AB＝3，AC＝4，求sin∠DAC的值．28．（2021·珠海市九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM为△ABC的角平分线，将线段BM绕点B顺时针方向旋转使点M刚好落在AM的延长线上的点N处，此时作ND⊥BC于点D．（1）求证：∠ABN＝90°；（2）求证：CM＝BD；（3）若，AB＝10，求线段BN的长．第一章直角三角形的边角关系单元综合检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________基础达标卷一、选择题1．（2021·兰州市九年级期末）计算2cos30°的值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案．【详解】解:2cos30°,=2×,=．故选B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，中，，则的面积是（）A． B．12 C．14 D．21【答案】A【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD的长，即可得出三角形的面积．【详解】解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=，sinC=，BC=5，

∴cosB==，

∴∠B=45°，∴AD=BD，∵sinC==，

∴

∴，

∴，∵，∴，

则△ABC的面积是：×AD×BC=×3×（3+4）=．

故选A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．3．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）锐角△ABC中，∠B＝45°，BC＝，则AC的长可以是（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】作CD⊥AB于D，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD=CD=1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.【详解】解：作CD⊥AB于D，如图所示：∵∠B＝45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝，∠BCD＝45°，当AC＝1时，点D与A重合，△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；当AC＝时，，则△ACD是等腰直角三角形，∠ACD＝45°，∴∠ACB＝90°，△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；当AC＝时，AC＜CD，∴∠ACD＞∠A，则△ABC是钝角三角形，选项C不符合题意；当AC＝时，∴∠ACD＜∠A，则△ABC是锐角三角形；选项D符合题意，故选D．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．（2021·江苏扬州中学九年级月考）如图，在正方形网格中有△ABC，则sin∠ABC的值等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据网格的特点求得的长，根据勾股定理的逆定理判断是，进而根据正弦的定义求得sin∠ABC的值．【详解】∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°．∴sin∠ABC＝．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，正弦的定义，求得为是解题的关键．5．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为6，AC为对角线，取AB中点E，DE与AC交于点F．则sin∠DFC＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接BD与AC交于点O，利用勾股定理求得DE，OD，根据正方形的性质证明△AFE∽△CFD，然后根据相似三角形的性质求得DF，进而可求．【详解】解：连接BD与AC交于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝3，∵E为AB中点，∴AE＝AB＝＝3，由勾股定理得，DE＝，∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△CFD，∴，∴DF＝DE＝2，∴sin∠DFC＝，故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题关键是构造直角三角形和找出相似三角形进行求解．6．（2021·重庆八中九年级月考）如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端测得小楼顶端的俯角为度，从大楼底端测得小楼顶端的仰角为度，小楼底端到大楼前梯坎的底端有米，梯坎长65米，梯坎的坡度，则大楼的高度为（）（结果精确到米，参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=65米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=25米，CH=60米，得出EG的长度，在Rt△GBE中，利用正切函数得出BG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=150米，即可得出大楼AB的高度．【详解】解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则四边形GHDE为矩形，∴GH=DE，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：2.4，∴BH：CH=1：2.4，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=65米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=652，解得：x=25(负值已舍)，∴BH=25米，CH=60米，∴EG=DH=CH+CD=60+90=150（米），在Rt△GBE中，∠BEG=24°，∴BG=EG1500.45=67.5（米），在Rt△GAE中，∠EAG=90°-45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=150（米），∴AB=AG+BG=150+67.5≈218（米）；故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．7．（2021·湖南芙蓉九年级期中）在平面直角从标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线（x＞0），经过点B，双曲线（x＜0），经过点C，则＝（）A．﹣3 B．3 C． D．【答案】A【分析】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，由反比例函数系数k的几何意义得到k1＝2S△AOM，k2＝﹣2S△BON，解直角三角形求得通过证得△AOM∽△OBN，得到进而得到．【详解】作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，∴S△AOM＝|k1|，S△BON＝|k2|，∵k1＞0，k2＜0，∴k1＝2S△AOM，k2＝﹣2S△BON，在Rt△AOB中，∠BAO＝30°，∴，∵∠AOM+∠BON＝90°＝∠AOM+∠OAM，∴∠OAM＝∠BON，∵∠AMO＝∠ONB＝90°，∴△AOM∽△OBN，∴，∴,故选A．【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．（2021·山东青岛市中考真题）如图，在四边形纸片中，，，．将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为．若，则的长为（）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】过点A作于H，由折叠知识得：，再由锐角三角函数可得，然后根据，可证得四边形AHFG是矩形，即可求解．【详解】解：过点A作于H，由折叠知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，，，在中，，，，，，，四边形AHFG是矩形，，．故选：C．【点睛】本题主要考查了折叠变换，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．9．（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）如图，中，，，的值为，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，，可得,进而可得，进而可得，根据已知条件设，则，求得，即可求得答案．【详解】，，，，，，，，，，设，则，，．故选D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据两边成比例夹角相等证明三角形相似是解题的关键．10．（2021·甘肃兰州市中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点，点在上，连接，，，，，则（）A．4 B．3 C． D．2【答案】A【分析】根据菱形的性质以及已知条件，可得是等边三角形，可得，进而根据，可得，进而可得,根据，，，即可求得．【详解】四边形是菱形，,，，是等边三角形，，，，，，，，即，，．故选A．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．二、填空题11．（2021·江苏灌云九年级期中）在中，若，满足，则的度数是_______．【答案】75°【分析】根据绝对值的非负性，可得出cosA及sinB的值，从而得出∠A及∠B的度数，利用三角形的内角和定理可得出∠C的度数．【详解】解：∵，∴cosA=，sinB=，则∠A=60°，∠B=45°，故∠C=180°-∠A-∠B=75°．故答案为：75°．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA及sinB的值，另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值．12．（2021·福建省福州屏东中学九年级二模）如图，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，，则_____．【答案】【分析】利用三角函数的定义求m的值．【详解】解：由三角函数的定义得：．∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的定义，利用定义得到关于m的方程是求解本题的关键．13．在中，，且平分线的长为26，则______，______，___．【答案】；；．【分析】根据三角函数值，可求∠A=30°，由，可求∠ABC=60°，由BD平分∠ABC，可得∠CBD=∠DBA=30°=∠A，利用等腰三角形判定可得AD=BD=26，利用三角函数可求CD=BD×sin30°=13，AC=AD+DC=39，利用三角函数，利用30°角直角三角形可求AB=2BC=即可．【详解】解：∵∴∠A=30°，∵∴∠A+∠ABC=90°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=30°=∠A，∴AD=BD=26，∴CD=BD×sin30°=26×=13，∴AC=AD+DC=26+13=29，在Rt△CBD中，cos30°=，∴∴AB=2BC=∴，，．故答案为，，．【点睛】本题考查锐角三角函数值求角度，角平分线定义，等腰三角形判定，解直角三角形，掌握锐角三角函数值求角度，角平分线定义，等腰三角形判定，解直角三角形是解题关键．14．（2021·哈尔滨市九年级月考）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AB＝15，AD＝7，则AC＝_____．【答案】．【分析】如图，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，作BG⊥AH于G，设DG＝x，证明△ACD∽△HBD，根据相似三角形的性质与判定，进而得出比例式求解即可得AC．【详解】如图，过点B作BH∥AC，交AD的延长线于H，作BG⊥AH于G，设DG＝x，∵AC∥BH，∴∠CAD＝∠H，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠H，∴AB＝BH＝15，∵BG⊥AH，∴AG＝GH＝7+x，∴DH＝7+2x，∵∠ADC＝∠BDH，∠CAD＝∠H，∴△ACD∽△HBD，∴，即，∴AC，∵∠CAD＝∠H，∴cos∠CAD＝cos∠H，∴，即，解得：x1＝﹣16（舍），x2＝5.5，∴AC．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，添加辅助线，证明△ACD∽△HBD是解题的关键．15．（2021·成都嘉祥外国语学校九年级月考）如图所示，CD、EF表示高度不同的两座建筑物，已知CD高15米，小明站在A处，视线越过CD，能看到它后面的建筑物的顶端E，此时小明的视角∠FAE＝45°，为了能看到建筑物EF上点M的位置，小明沿直线FA由点A移动到点N的位置，此时小明的视角∠FNM＝30°，则小明由点A移动到点N的距离是___米．【答案】【分析】本题中，是直角三角形和的公共边，因此可用求出和，然后再求．【详解】解：直角三角形中，米，直角三角形中，米，因此，米，故答案是：．【点睛】本题考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16．（2021·山东南区九年级期末）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝___．【答案】或【分析】根据勾股定理先求出BD的长，本题有两种情况，若高AD在△ABC内部，CD＝BC﹣BD，若高AD在△ABC外部，CD＝BC+BD，再根据三角函数的知识求出tanC的值．【详解】解：如图所示：BD3，若高AD在△ABC内部，CD＝BC﹣BD＝5，∴tanC．若高AD在△ABC外部，CD＝BC+BD＝11，tanC．故答案为：或【点睛】本题考查了分类讨论的数学思想及三角函数的定义．17．（2021·宜兴市实验中学九年级二模）如图，点在的正半轴上，且于点，将线段绕点逆时针旋转到的位置，且点的坐标为．若反比例函数的图象经过点，则______．【答案】【分析】过点B′作B′D⊥x轴于点D，根据BA⊥OB于点B及图形旋转的性质求出∠B′BD的度数，再由直角三角形的性质得出BD及BB′的长，故可得出点A的坐标，进而可得出结论．【详解】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，∵BA⊥OB于点B，∴∠ABD＝90°．∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD＝90°−60°＝30°．∵点B′的坐标为（1，1），∴OD＝B′D＝1，∴BB′＝2B′D＝2，BD＝∴，AB＝BB′＝2，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化−旋转，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义得出A点坐标是解答此题的关键．三、计算题18．（2021·济宁市第十五中学九年级月考）求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用特殊角的三角函数计算即可；（2）根据特殊角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂的意义完成即可．【详解】（1）（2）【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，零指数和负整数指数幂的意义，牢记特殊角的三角函数值，掌握零指数和负整数指数幂幂的意义是解答本题的关键．19．（2021·济宁市九年级月考）计算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，即可得出计算结果；（2）根据特殊角三角函数值，零指数幂以及负整数指数幂即可得出计算结果．【详解】解：（1）原式＝＝＝；（2）原式＝＝．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，熟知相关运算法则以及特殊角的三角函数值是解本题的关键．四、解答题20．在中，，是边上的中线，，求和．【答案】.，，【分析】利用，是边上的中线，先求解证明再利用勾股定理求解再由等角的三角函数值相等，从而可得答案.【详解】解：如图，，是边上的中线，【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的定义，掌握锐角的正弦，余弦，正切的定义是解题的关键.21．（2021·山东济宁九年级月考）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，测得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A，B两点间的距离．（结果保留根号）【答案】A、B两点间的距离约为（4+4）千米．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，通过解直角三角形可求出AD，CD的长，在Rt△BCD中，由∠BDC=90°，∠CBD=45°可得出BD=CD，再结合AB=AD+BD即可求出A、B两点间的距离．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．在Rt△ACD中，AC=8（千米），∠CAD=30°，∠CDA=90°，∴CD=AC•sin∠CAD=4（千米），AD=AC•cos∠CAD=4（千米）．在Rt△BCD中，CD=4（千米），∠BDC=90°，∠CBD=45°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD=4（千米），∴AB=AD+BD=4+4（千米）．答：A、B两点间的距离约为（4+4）千米．【点睛】本题考查了解直角三角形以及等腰直角三角形，通过解直角三角形以及利用等腰直角三角形的性质，找出AD，BD的长是解题的关键．22．（2021·重庆巴蜀中学九年级开学考试）如图，在矩形ABCD中，AD=10，tanAEB=，点E为BC上的一点，ED平分AEC，（1）求BE的值；（2）求sinEDC．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据矩形的性质，角平分线的定义，可得，进而根据已知正切的值以及勾股定理即可求得;（2）由（1）可得的长，根据矩形的性质，以及勾股定理和正弦的定义即可求得sinEDC．【详解】（1）ED平分AEC，，四边形是矩形，，，，，，tanAEB=，设,则，，，，，（2）四边形是矩形，，，，，，．．【点睛】本题考查了矩形的性质，等角对等边，解直角三角形，掌握锐角三角函数的基本定义是解题的关键．23．（2021·杭州市九年级开学考试）如图，，，于点E，于点F．（1）求证：；（2）已知，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据平行线性质得∠ABC=∠BCD，即可求证△ABC∽△BCD；（2）设BC=k，则AC=2k，根据勾股定理可求得AB，再根据△ABC∽△BCD得对应边比值相等即可解题．【详解】（1）∵，∴，又∵∴；（2）∵∴可设，则，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵于点E，于点F，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质．24．（2021·辽宁盘锦中考真题）如图，小华遥控无人机从点A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6米，且，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】38米【分析】过作于，易证，得，则，再由锐角三角函数求出，然后在中，由锐角三角函数定义求出的长即可．【详解】解：过作于，如图所示：则，，，，由题意得：，，，，，，，，在中，，，在中，，，即无人机飞行的距离约是．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明是解题的关键．25．（2021·四川仁寿九年级期末）如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．①求证：△ABM∽△EMA．②若AB＝4，BM＝3，求sinE的值．【答案】①见解析；②sinE＝【分析】①根据矩形的性质得到∠B＝90°，AD∥BC，则∠EAM＝∠AMB，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；

②利用△ABM∽△EMA得到∠E＝∠BAM，再利用勾股定理计算出AM，然后根据正弦的定义得到sin∠BAM＝，从而得到sinE的值．【详解】①证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAM＝∠AMB，∵EM⊥AM，∴∠AME＝90°，∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，∴△ABM∽△EMA；②解：∵△ABM∽△EMA，∴∠E＝∠BAM，在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，∴sin∠BAM＝，∴sinE＝．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.26．（2021·四川内江市中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）【答案】米．【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．【详解】解：作于点，设米，在中，，则（米，∵，且AE=8∴∴在直角中，米，在直角中，，米．，即．解得：，则米．答：的高度是米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角