人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用 知识点考点解题方法归纳总结

第五章一元函数的导数及其应用知识点总结

5.1导数的概念及其意义.....................................................-1-

5.1.1变化率问题.......................................................-1-

5.1.2导数的概念及其几何意义...........................................-5-

5.2导数的运算............................................................-10-

5.2.1基本初等函数的导数..............................................-10-

5.2.2导数的四则运算法则..............................................-10-

5.2.3简单复合函数的导数..............................................-14-

5.3导数在研究函数中的应用...............................................-18-

5.3.1函数的单调性...................................................-18-

5.3.2函数的极值与最大(小)值..........................................-23-

5.1导数的概念及其意义

5.1.1变化率问题

1.平均变化率

对于函数尸F3,从乂到型的平均变化率:

(1)自变量的改变量：、x=Xi-X\.

函数值的改变量：

(2)(x2)-f(x,).

△yf手—f曰f汨+Ax-fX、

(3)平均变化率

bx也一汨

思考：Zx,Ay以及平均变化率一定为正值吗？

［提示］可正可负，也可以为零，但人才不能为零，平均变化率正可正可

&x,AyAy八

1A

负可为零.

2.瞬时速度与瞬时变化率

(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

(2)函数f(¥)在X=刖处的瞬时变化率是函数f(*)从照到的平均变化率在

△D时的极限，即刘十八；一^加.

A.r-0△X△X

3.曲线的切线斜率

(1)设H(m，fU)),P(x,f(x))是曲线y=f(力上任意不同两点，则平均变化率

fX—fXofAb+AX-fAb

为割线H尸的斜率.

X-Xobx

⑵当2点逐渐靠近R点,即A*逐渐变小，当A%fO时，瞬时变化率1加

f&i+AX-fXofAh4-△X—fXa

就是(x)在用处的切线的斜率即1im

Axy=fk=AiAx

思考：曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗?

［提示］不是.二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点,

只是在X=X0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线.

类型一求平均变化率

【例1】(1)如图，函数y=F(x)在［1,5］上的平均变化率为()

11

A.$B.——C.2D.—2

(2)函数了=-29+1在区间［1,1+A＞］内的平均变化率为.

Af5—fl1—31

(DB(2)-4-2Ax［(1)7ZV=-----------=「=一3.故选区

AX□-1□-1Z

(2)Ay=-2(1+AX)2+1-(-2X124-1)=-2AH24-A^),

所以平均变化率为廿二一？"*'：+八＞=_4_2Ax］

AXAx

厂........规律＜方法............................

1.求函数平均变化率的三个步骤

第一步，求自变量的改变量'X=XLX\;

第二步，求函数值的改变量卜尸f(x2)—fUi);

第三步，求平均变化率#='必T”.

2.求平均变化率的一个关注点

求点照附近的平均变化率，可用f刘+A：―f1的形式.

类型二求瞬时速度

［探究问题］

1.物体的路程S与时间匕的关系是S&)=5巴如何计算物体在［1,1+△行这段时间内

的平均速度？

［提示］△s=5(l+A£)2—5=10Af+5(A£)2,

V=——=IQ.|-5T

2.当△£趋近于。时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？

［提示］当△£趋近于。时，若趋近于10,这时的平均速度即为当£=1时的瞬时速度.

【例2】某物体的运动路程s(单位：m)与时间“单位：s)的关系可用函数s(2)=/+

力+1表示，求物体在t=\s时的瞬时速度.

..△SS1+△£—S1

［解］*Tt=Tt

1-b△t'+14-△t-1-f+l+l

=3+At,

△t

△s,、

Alim—=lim(3+A£)=3.

ALO△tALO

・•・物体在t=\处的瞬时变化率为3.

即物体在£=1s时的瞬时速度为3m/s.

i母题探究］

1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度.

［解］求物体的初速度，即求物体在1=0时的瞬时速度.

..△ss0+卜t—s0

*A-t=Tt

0+A42+0+At-1-1

----------------A7--------------1+△九

Alim(1+Arf=l.

Af-0

・•・物体在£=0时的瞬时变化率为1,

即物体的初速度为1m/s.

2.(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.

［解］设物体在时刻的瞬时速度为9m/s.

△ssA>+A£—sto

乂T7=Ft

=(2fo+l)+A2.

AS

lim--=lim(2打+1+△力

At-0dtAf-0

=2fo+l.

则2必+1=9,

£0=4.

则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.

厂.......规律＜方法..........................

求运动物体瞬时速度的三个步骤

设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s=st，则求物体在£=必时刻

的瞬时速度的步骤如下：

1写出时间改变量A£,位移改变量AsAs=s△t—Sto.

---A9

2求平均速度：r=—

As

3求瞬时速度vz当△£—()时，v常数.

类型三求函数在某点的切线斜率及方程

［例3］(1)已知函数尸才一;，则该函数在点户1处的切线斜率为—

(2)求曲线F(x)=/+l在点尸(1,2)处的切线的斜率，并求出切线方程.

［思路探究］(1)^=1处的瞬时变化率即为斜率.

⑵|求x=l时瞬时变化率|一|切线斜率|一|切线的方程

⑴21・Fy=(i+Ax)—Y^—(1—

1.bx

=△1-,.,=△x+i1A,

1+△x1+Ax

Ax

A

AZ"+1+Ax1

［人-

•*~△~Xl-=7△X=1+1+△X♦

J斜率女=lim4^=1im|=14-1=2.］

A.t-oAx“ml14-

(2)［解］显然点尸(1,2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为

,f1+Ax~f1

k=1im--------------------------

SLQ△X

1+Ax2+l-12+1

=lim---------------;-------------------

Ax-»0△X

\x?+2Ax

=lim-------;-----------

ALQAX

=lim(Ax+2)

AAT-»O

=2.

故切线方程为y—2=2(x—1),即尸2x.

r.......规最方法.......-

求函数尸f(力在点加处的导数的三个步骤

5.1.2导数的概念及其几何意义

1.导数的概念

如果当△L0时，平均变化率限趋近于一个确定的值，即尹有极限，则称尸f(>)

在丫=刖处可导,并把这个硕定的值叫做尸，⑸在才=吊处的导数(也称为避时变化茎)，记

/X_tx,Irr,，、AVfAb+△X—fXo

作F(吊)或y,即flAb)=1im-7—=1imA

思考：ff(照)>0和r'(幻<0反映了怎样的意义？

［提示］f'(m)>0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f'(Wvo反映了瞬时变化率呈

下降趋势.

2.导数的几何意义

(1)导数的几何意义

如图，割线叱的斜率k=fX二』照.记Ax=x-xo,当点P沿着曲线y=f(x)

XAb

无限趋近于点片时，即当Ax-0时，女无限趋近于函数尸F(力在，=%处的导数，因此，

函数y=F(*)在*=刖处的导数f'(照)就是切线的斜率ko,即Ao=1im

AAT»O

fX>+、X-fXo-、

（2）切线方程

曲线y=F（x）在点（为，f（照））处的切线方程为y—F（加=此'（的（x一加.

3.导函数

对于函数夕=/（力，当户及时，「（刖）是一个唯一确定的数，当十变化时，f1（x）

便是x的一个函数，我们称它为G）的导函数（简称为导数），即f'（x）=/=lim

ALO

fzv+AA'—fX

bx,

思考：「（如与f'（x）有什么区别？

［提示］F'（幻是一个确定的数，而F'（力是一个函数.

类型一求函数在某点处的导数

【例1】(1)若函数y=f(x)在处可导，则limfm十方—kh等于()

AOn

A.f'(旅)B.2f'(胸)C.~2f'(m)D.0

⑵求函数尸3/在x=l处的导数.

(1)B[VAA-=U+/?)-(Ab-/?)=2/?.

fm+力—fXQ-hf为)+力—fAo—Ac”,/\田吐口1

..lim---------------:----------------=21im--------------------------------=2fr(照).故选B.J

AOnzN力

⑵解：♦.♦△y=F(l+Ax)-f(1)=3(1+AX)2-3=6AX+3(AX)2,.---^=6+3AX,

：.f'(l)=limT^=lim(6+3Ax)=6.

ALO△XALO

r........规最方法.........................A

利用导数定义求导数

1取极限前，要注意化简/，保证使ALO时分母不为0.

△x

2函数在照处的导数F'照只与照有关，与无关.

3导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.

类型二导数几何意义的应用

【例2】(1)已知函数尸/(力的图象如图所示，则其导函数y=f'(力的图象可能

是()

(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在

规定时间7内完成预期的运输任务。，各种方案的运输总量。与时间Z的函数关系如下所示.在

这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()

［思路探究］(1)切线斜率大于零，则F'(x)>0；切线斜率小于零，则F'(x)VO；

(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，运

输效率逐步提高就是指0'")不断增大.

(1)B(2)B［(1)由尸F(x)的图象及导数的几何意义可知，当xVO时，f1(x)>0；

当x=O时，f'(x)=0；当x>0时，f'［x)<0,故B符合.

(2)从函数图象上看，要求图象在［0,7］上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的

切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高.故选B.］

r.......规最方法.........................A

导数几何意义理解中的两个关键

关键点一：y=fx在点力=照处的切线斜率为k,则QOof'x0>0；AVOo

f'xovo；fAo=o.

关键点二：IF'照I越大=在8处瞬时变化越快：If'mI越小=在加处瞬时

变化越慢.

类型三求切线方程

［探究问题］

1.如何求曲线f(>)在点(而/(动)处的切线方程？

［提示］y—%=〃(*一m).即根据导数的几何意义，求出函数y=f(才)在点(xo,f(xo))

处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程.

2.曲线F5)在点(照，F(照))处的切线与曲线过点(照，㈤的切线有什么不同？

［提示］曲线F(x)在点(胸，/>(幻)处的切线，点(吊，F(xo))­•定是切点，只要求出〃

=f'U),利用点斜式写出切线方程即可；而曲线F(x)过某点(施，㈤的切线，给出的点

U,㈤不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.

3.曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？

［提示］不一定.曲线尸F5)在点尸(施，％)处的切线,与曲线尸F(>)的交点个数

不一定只有一个，如图所示.

【例3】已知曲线C：y=Z

(1)求曲线C在横坐标为x=l的点处的切线方程；

(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程.

［思路探究］(1)|求./I、"一|求切点|一口点斜式方程求切砥

(2)|设切点灰，狗|--求VII-*

______一=刖|

由/I=口■求X"必—|写切线方瘗

［解］(D将才=1代入曲线C的方程得尸1,・•・切点夕(L1).

,I［.△y,.l+Ax'—1

y|尸i=lim-r-=lim-------------------

A.L。△XAj-♦0△X

=lim［3+3Ax+(Ax)2］=3.

ALO

•»k=y'|x=t=3.

・•・曲线在点。(1,1)处的切线方程为y-l=3(x—l),

即3x—y—2=0.

⑵设切点为0(照，㈤，由⑴可知"|=3党，由题意可知加=/|,

X=8X=Xo

3

即=33,又於=>：，所以"='=3£,即2君一3£+1=0,解得刘=1或%=一〈.

"Ab」-'1X(\~^1Z

①当照=1时，切点坐标为(1,D,相应的切线方程为3*一了一2=0.

②当刘=一义时，切点坐标为(一/，—相应的切线方程为夕+2=1+战即3x—4y

4-1=0.

公母题探究了

1.(变条件)把题中条件“尸V”改成，)=*2"，求曲线在＞=1点处的切线方程

［解］把x=l代入尸产得尸『=1.即切点尸(1,1),

2

zI...1+Ax-1

yK-i=lim-T-=lim-----7-------

Ax-*O△Xdx-*O△X

=lim(Ax+2)=2,

ALO

：.k=y'b=i=2.

・•・曲线y="在2(1,1)处的切线方程为

y—l=2(x—1),即2x—y—1=0.

2.(变条件、变结论)求曲线，=1+1过点尸(1,0)的切线方程.

［解］设切点为0(&3+1),

k=1im-~~"+'x---^-=iim(2&+△力=2a

AL(J△XA人-0

工在。点处的切线方程为

y—(才+1)=2a(x—a).(*)

把点(1,0)代入(*)式得一(/+D=2a(l—a).

解的a=l±y［2.

再把a=l±/代入至4(*)式中.即得

y=(2+2*)l(2+2*)或尸(2—2m)l(2—2m).这就是所求的切线方程.

厂.......规律＜方法...........................

利用导数的儿何意义求切线方程的方法

(1)若已知点(刘，㈤在已知曲线上，求在点(照，㈤处的切线方程，先求出函数尸f(＞)

在点照处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y-_^=F'(加(x—加.

(2)若点(即㈤不在曲线上，求过点(照，㈤的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根

据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.

5.2导数的运算

5.2.1基本初等函数的导数

5.2.2导数的四则运算法则

1.几个常用函数的导数

(l)f(x)=c(常数)，则F'(x)=0；

⑵『(*)=必则f,a)=i；

(3)fW=Z则r'(力=2筋

(4)r(x)=x,则F'(x)=3l；

(5"(x)W，则LJ)=一士

(6)r(x)=5，贝ijf'(x)=#

2.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f(x)=c(。为常数)f'a)=o

f(x)=xa(aeQ,且aWO)f'(x)="7

f(x)=sinxf'(力=COSX

f[x}=COSXf1(x)=­sinx

f(力=a*(a>0,且a#l)f'(x)=a*lna(a>0,且a#l)

fU)=exf1(»=《

f'(x)=—^—(a>0,且aHl)

f(x)=log.,x(a>0,且aHl)

xlna

f(^)=lnxf,a)=-

X

3.导数的运算法则

(1)和差的导数

[f(x)±g(x)]'=F'(x)±g'(x).

⑵积的导数

①[f(才)g(x)]'=L(x)gj)+/(>)g'(x)：

②[cF(x)「=cf'(x).

⑶商的导数

fX

(g(x)NO).

gX

类型一利用导数公式求函数的导数

【例1】求下列函数的导数.

/、丸，、1/、*

(l)y=cos―；(2)尸丁；⑶尸不;

(4)y=lgx；(5)y=5"；(6)尸c

［解］(1)Vy=cos.**/=0.

oN

(2)Vy=A=x-s,*,yr=-5/6.

(4)・,"lgx,/./=/7d

(5)Vy=5\?./=5*ln5.

厂.......规律＜方法...........................

1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.

2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必

要的运算失误.

3.要特别注意q与In/，”/与log“x”，"Sinx与cos的导数区别.

类型二利用导数的运算法则求导数

［探究问题］

1.如何求函数尸tanx的导数？

「十日一1sinx

Li4f小」y=tanx—,

COSX

..,sinx'cosx-cosx'sinxcos-x+sin%1

故y=2='=~.

COSXCOSXCOSX

2.如何求函数尸［sin2x的导数?

［提示］y=Tsin2x=sinxcosx

乙

y'=(sinx)'cosx+sinx(cosx)'=cos2%—sinx=cos2x.

【例2】求下列函数的导数：

x-H1

(1)7=^4-5111x；(2)y=3x+ACOSx；(3)y=:—

x—1

［解］(1)/=(A-3+sinx)'=(M)'+(sinx)1=3^r2+cosx.

(2)y'=(3>v+xcosx)'=(3x2)'+(ACOSX),

=3X2x+x'cosx+x(cosx)'

=6x+cosx—xsinx.

［母题探究］

L(变条件)把例2(2)的函数换成“y=f-sin与os-”，求其导数.

［解］Vy=x-sin^COST=X-Tsinx

乙乙乙

/.y'=2x—-cosx.

乙

2.(变条件)把例2(3)的函数换成“尸Jrtanx”,求其导数.

//

.，/、，(xsinx\

r［解nl］y=(x-tanx)=—

\LU〉人/

xsinx'cosx—xsinxcosx'

COSX

sinx+xcosxcosx+xsir/x

cos、

sinxcos>+x

cos2A-'

厂.......规最方法..............

仔细观察和分析函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，不

具备求导法则条件的可适当进行恒等变形.另外，对较复杂的函数求导时，可先化简再求导，

特别地，对于对数函数的真数是根式或分式时，可先根据对数函数的性质将真数转化为有理

式或整式，然后求导.

类型三导数计算的综合应用

【例3】(1)已知函数/'(才)=筋，若/•'(1)=/则实数石的值为()

A.2B.4C.6D.8

(2)己知函数F(入)=&f+-2+4的图象过点(1,5),其导函数尸F'("的图象如图

所示，则函数FJ)的解析式为.

[思路探究](1)先求导，列方程求解.

(2)先求导，由条件可知1,2是导函数的两个零点.

⑴B(2)f(x)=2x—9x+\2x[(1)f(才)=?:3':⑷=~~3~

i—a1

f+32..t⑴一2,~=2f

解得a=4.故选B.

⑵因为f'(x)=3ax+2bx-\rc,ff'(2)=0,

3a+26+e=0,a=2f

f(1)=5,所以12a+46+c=0,解得，b=-9,

a+Z?+c=5.c=12.

故函数f(x)的解析式是f(力=2x—9x+12x]

厂.........规律＜方法..........

三次函数求导问题

由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来

就很容易理解「这类题目比较受学生的青眯，解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象

的对称轴、二次项系数对图象的影响等.

5.2.3简单复合函数的导数

1.复合函数的概念

一般地，对于两个函数尸FS）和u=g（x）,如果通过中间变量〃，y可以表示成x的函

数，那么称这个函数为函数尸f2）和〃=g（x）的复合函数，记作尸f（这X））.

思考：函数尸10g2（x+l）是由哪些函数复合而成的？

［提示］函数y=log2（x+l）是由y=log2U及u=x+l两个函数复合而成的.

2.复:合函数的求导法则

复合函数y=F（以M）的导数和函数y=f（〃），〃=以力的导数间的关系为"*=

一/〃・u'x,即y对x的导数等于:/对u的导数与〃对x的导数的乘积.

类型一复合函数的导数

【例1】求下列函数的导数：

2j+1

(l)y=e；(2)y=-9，~~3；

乙X1

⑶y=51og2(l-x)；(4)y=ln?彳

e

［解］(1)函数y=e2f可看作函数y=e"和u=2x+l的复合函数，

u2x+1

*.y'x=y'