概率论与数理统计教学15-第一章第五节(概率统计)

第一章随机事件与概率

1.5条件概率

1.5条件概率

内容简介在自然界及人类的活动中,存在着许多互相联系、互相影响的事件.除了要分析随机事件B发生的概率P(B)外,有时我们还要提出附加的限制条件,也就是要分析“在事件A已经发生的前提下”事件B发生的概率,我们记为P(B|A).这就是条件概率问题.我们主要学习条件概率计算公式、概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式.这一节特别重要，一定要学好.

1.5.2预备知识

概率的性质，逆事件概率计算公式，古典概型，超几何分布.

1.5.1提出问题

1.如何计算“第一次取到红球的条件下，第二次又取到红球的概率”？

2.在三个工厂中的产品中取样，取到次品的概率是多少？

3.已知取到次品，问该次品来自甲厂的概率是多大呢？

1.条件概率

1.5.3问题分析先考虑下述问题.引例设某盒中有5件产品,其中3件合格品,2件次品.现每次任取一件,不放回地取两次.求：(1)A={第一次取到合格品}的概率；(2)B={第一次取到合格品的条件下第二次又取到合格品}的概率.答案是很容易求出的：(1)的答案是

(2)的答案是事件AB表示第一次和第二次都抽到合格品.由于抽取是不放回的,所以每次抽取一个并且连抽两次与一次抽取两个是等效的,因而P(AB)=

定义设A,B为随机试验E的两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=(1.5.1)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.

1.5.4建立理论总有关系式P(B|A)===性质2(条件对立事件概率)

对于任意事件B和它的对立事件,

仍然成立

P(B|A)=1-P(|A).(1.5.2)

讲评对公式P(B|A)=1-P(B|)不成立,但P(B|A)和P(B|)在全概率公式、贝叶斯公式中常用到.

性质1

对于不可能事件,有P(|A)=0.

性质3(条件概率加法公式)对于随机事件B1,

B2和A,加法公式成立：P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-

P(B1B2|A).(1.5.3)

特别地,当B1,

B2互不相容时,加法公式成立：

P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A).

(1.5.4)

讲评计算条件概率P(B|A)有两种方法：

1.5.5方法应用方法1在样本空间Ω

的缩减样本空间ΩA中计算B

发生的概率,得到P(B|A).

方法2

在样本空间Ω中,计算P(AB),P(A),然后利用公式(1.5.1)求出P(B|A).

例1.5.1

设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4.如果一只动物现在已经活到20岁,问它能活到25岁以上的概率是多少？

解

设A={该动物活到20岁},B={该动活到25岁以上},

则P(A)=0.8,P(B)=0.4.所以我们得到

因为BA,所以

P(AB)=P(B)=0.4.

=P(B|A)==0.5.讲评在活到20岁的条件下，活到25岁以上的概率0.5要比从出生算起的概率0.4大.2.概率乘法公式

定理1(概率乘法公式)

对于任意的事件A,B,(1)若P(A)>0,

则

P(AB)=P(A)P(B|A).

(1.5.5)

(2)若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B).(1.5.6)

上面两个等式都称为概率乘法公式.

讲评注意P(AB)与P(B|A)的区别：

(1)凡涉及到A与B“同时”发生,用P(AB);有“包含”关系或主从条件关系的用P(B|A).(2)从样本空间上讲,计算P(B|A)的样本空间为ΩA,而计算P(AB)的样本空间为Ω.乘法公式可以推广到多个事件的情形.推论

设A1,A2,…,An是n(n≥2)个事件,

且P(A1A2…An-1)＞0,则

P(A1A2…An-1An)

=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)

(1.5.7)

特别地,当n=3时,对于三个事件A,B,C,若P(AB)>0,则有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

(1.5.8)

例1.5.2

今有3箱货物,其中甲厂生产的有2箱,乙厂生产的有1箱.已知甲厂生产的每箱中装有98个合格品,不合格品有2个;而乙厂生产的1箱中装有90个合格品,不合格品有10个.现从3箱中任取1箱,再从这一箱中任取1件产品.问：

(1)这件产品是甲厂生产的合格品的概率是多少?(2)这件产品是合格品的概率又是多少?(3)已知取出的是合格品，那么这件合格品是甲厂生产的概率是多少呢？解

设A={所取产品为合格品},

B1

={所取产品由甲厂生产}，

B2={所取产品由乙厂生产}.(1)我们要求的是A和B1同时发生的概率,即P(AB1).P(B1)=

P(A|B1)是在“取甲厂生产的一箱”的条件下取到合格品的概率,其概率应为P(A|B1)=

.由概率乘法公式(1.5.5),得到P(AB1)=P(B1)P(A|B1)

(2)我们要求A发生的概率P(A).显然，取出的合格品与选自哪一箱有关.因为

A=AΩ=A(B1∪B2)=AB1∪AB2,又

(AB1)(AB2)=,所以,由概率加法公式(1.3.3)和概率乘法公式(1.5.5)得到P(A)=P(AB1)+P(AB2)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2).由于P(B1)=,P(A|B1)=P(B2)=P(A|B2)=，P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)故+=

(3)问题是计算“事件A发生条件下B1发生”的概率,即条件概率P(B1|A).讲评

(1)此题条件概率计算与概率乘法公式综合应用.是常考题型.

(2)问题(2)是计算受到多个影响关系的事件A概率.人们经常把事件A分解为若干个互不相容的简单事件之和A=AB1∪AB2,然后计算这些简单事件的概率,再利用概率加法公式和乘法公式就可得到所求的结果.这里所涉及到的公式构成了全概率公式.

3.全概率公式

定理2(全概率公式)设试验E的样本空间为Ω,B1,B2,…,Bn为Ω的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则对E的任一事件A,有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn)或简记为

.(1.5.9)

证因为A=AΩ=A(B1∪B2∪…∪Bn)=AB1∪AB2∪…∪ABn,由假设P(Bi)>0(i=1,2,…,n),且(ABi)(ABj)=,i≠j,i,j=1,2,…,n,

由加法公式和乘法公式,得到

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+…+P(Bn)P(A|Bn).Æ讲评

全概率公式是计算概率的一个很

有用的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成

导致A发生的一组原因.如若A是“次品”,

必是n个车间生产了次品;若A是“某种疾病”,必是几种病因导致A发生;若A表示“被击中”,必有几种方式或几个人打中.

(1)何时用全概率公式:导致事件的发生有几种情形；所述问题先后进行两次试验.

(2)如何用全概率公式:将几种情形划分为完备事件组；将第一次试验的样本空间分解成两两互斥的完备事件组

全概率公式给出了我们一个计算受到多个影响关系的事件概率的公式:假B1,B2,…,Bn是Ω的一个划分,并且已知事件Bi的概P(Bi)(它们是试验前的假设概率,称为先验概率)及事件A在Bi已发生的条件下的条件概率P(A|Bi),i=1,2,…,n,则由全概率公式(1.5.9)就可算出P(A).

4.贝叶斯公式

贝叶斯（ThomasBayes,1702—1761），英国数学家、哲学家、牧师.一个重要的统计学派以贝叶斯命名.

现在的问题是我们进行了一次试验,

如果事件A确实发生了,则对于事件Bi(i=1,2,…,n)的概率应给予重新估计,也就是要计算事件Bi在事件A已发生的条件下的条件概率P(Bi|A)(它们是试验后的事件概率,常称为后验概率).下面的贝叶斯公式就给出了计算后验概率P(Bi|A)的公式.

定理3(贝叶斯公式)设试验E的样本空间为Ω.A为E的事件,B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则

i=1,2,…,n.

(1.5.10)贝叶斯公式(1.5.10)亦称为逆概率公式.证由条件概率的定义及全概率公式即得.

在(5.9),(5.10)中取n=2,并将B1记为B,此时B2就是,那么,全概率公式和贝叶斯公式分别成为

例1.5.3

某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别占全厂总产量的40%,38%,22%,经检验知各车间的次品率分别为0.04,0.03,0.05.现从该种产品中任意抽取一件进行检查.(1)求这件产品是次品的概率;(2)已知抽得的一件产品是次品,问此次品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解设A表示{取到的产品是一件次品},Bi(i=1,2,3)分别表示{所取到的产品来自甲、乙、丙车间}.易知,B1,B2,B3是样本空间Ω的一个划分,且(1)由全概率公式可得(2)由贝叶斯公式分别得到,

,

由此可见，虽然丙车间的次品率最高(次品率为0.05)，但是，根据贝叶斯公式得