高考总复习理数（人教版）课时作业提升第03章导数及其应用第1节导数的概念及运算

课时作业提升(十三)导数的概念及运算A组夯实基础1．曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2e B．eC．2 D．1解析：选C∵y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1.∴k＝y′|x＝1＝e0＋e0＝2，选C.2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于()A．－e B．－1C．1 D．e解析：选B由题由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋eq\f(1,x)，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0 B．1C．2 D．3解析：选Dy′＝a－eq\f(1,x＋1)，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.4．(2018·日照月考)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于A．2 B．－1C．1 D．－2解析：选C依题意知，y′＝3x2＋a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13＋a×1＋b＝3，,3×12＋a＝k，,k×1＋1＝3，))由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，,k＝2，))所以2a＋b＝1，选C.5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A．4 B．5C.eq\f(25,4) D.eq\f(13,2)解析：选C∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－eq\f(5,4)，∴所求面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(5,4)×10＝eq\f(25,4).6．若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.解析：由题意，可知f′(x)＝3ax2＋eq\f(1,x)，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋eq\f(1,x)＝0，即a＝－eq\f(1,3x3)(x＞0)，故a∈(－∞，0)．答案：(－∞，0)7．(2018·安徽七校联考)若曲线y＝eq\f(3,2)x2＋x－eq\f(1,2)的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切线方程为________.解析：设切点为(x0，y0)，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝3x0＋1，3x0＋1＝4⇒x0＝1.又y0＝eq\f(3,2)xeq\o\al(2,0)＋x0－eq\f(1,2)＝2，则切点为(1,2)，故切线的方程为y－2＝4(x－1)⇒y＝4x－2.答案：y＝4x－28．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.解析：∵两曲线的交点为(0，m)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝a，,m＝1，))即a＝1，∴f(x)＝cosx，∴f′(x)＝－sinx，则f′(0)＝0，f(0)＝1.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0，∴a＋b＝1.答案：19．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－eq\r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq\r(2)，＋∞)．10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)因为切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1＝4，所以x0＝±1.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18，))即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.B组能力提升1．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2017)＝()A．1 B．2C.eq\f(1,2017) D.eq\f(2018,2017)解析：选D令ex＝t，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求导得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2017)＝eq\f(1,2017)＋1＝eq\f(2018,2017).2．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sinx－cosx的拐点是M(x0，f(x0))，则点M()A．在直线y＝－3x上 B．在直线y＝3x上C．在直线y＝－4x上 D．在直线y＝4x上解析：选Bf′(x)＝3＋4cosx＋sinx，f″(x)＝－4sinx＋cosx，由题可知f″(x0)＝0，即4sinx0－cosx0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B.3．已知函数f(x)＝lnx＋tanα，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的导函数为f′(x)，若使得f′(x0)＝f(x0)成立的x0满足x0<1，则α的取值范围为________.解析：∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴f′(x0)＝eq\f(1,x0)，由f′(x0)＝f(x0)，得eq\f(1,x0)＝lnx0＋tanα，∴tanα＝eq\f(1,x0)－lnx0.又0<x0<1，∴eq\f(1,x0)－lnx0>1，即tanα>1，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))4．设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直，求a＋b的值．解：对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直．∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，即4xeq\o\al(2,0)－2(a＋2)x0＋2a－1＝0， ①又点(x0，y0)在C1与C2上，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x\o\al(2,0)－2x0＋2，,y0＝－x\o\al(2,0)＋ax0＋b，))即2xeq\o\al(2,0)－(a＋2)x0＋2－b＝0. ②由①②消去x0，可得a＋b＝eq\f(5,2).5．(2018·唐山月考)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3xeq\o\al(2,0)＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x