河北省保定市高三第一次模拟考试数学（文）试题

2018年高三第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则的子集个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】，所以，其子集个数为，选D.2.设为的虚部，为的实部，则（）A.1B.2C.3D.0【答案】A【解析】因为，所以；因为，所以；因此，选A.3.已知具有线性相关的变量，设其样本点为，回归直线方程为，若，（为原点），则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以，因此，选B.4.已知非向量，则或是向量与夹角为锐角的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B5.已知，则为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为的否定为;所以为，选B.6.2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设直角三角形中较小的直角边长为，则选A.7.如图所示的程序框图中，输出的为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】执行循环得：,选C.8.已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则（）A.0B.2018C.4036D.4037【答案】D【解析】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，因此，因此选D.9.如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】几何体为三棱锥，如图，底面为顶角为120度的等腰三角形BCD，侧棱AC垂直底面，,表面积为选C.点睛:空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．10.已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是（）A.是奇函数B.的一条对称轴为直线C.的最小正周期为D.在上为减函数【答案】D【解析】，所以是偶函数，不是其对称轴，最小正周期为，在上为减函数，所以选D.【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间11.已知双曲线的左顶点为，虚轴长为8，右焦点为，且与双曲线的渐近线相切，若过点作的两条切线，切点分别为，则（）A.8B.C.D.【答案】D【解析】,因为到双曲线的渐近线距离为，所以：，设MN交x轴于E，则,选D.【点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：2.已知渐近线设双曲线标准方程3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.12.定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】因为，所以周期为2，函数关于对称，作图可得四个交点横坐标关于对称，其和为，选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为3，则__________．【答案】【解析】设抛物线方程为，因为抛物线上的点到焦点的距离为3，所以，所以点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．14.甲、乙、丙三个各自独立地做同一道数学题，当他们都把自己的答案公布出来之后，甲说：我做错了；乙说：丙做对了；丙说：我做错了．在一旁的老师看到他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三个人中有一个人做对了，有一个说对了.”请问他们三个人中做对了的是__________．【答案】甲【解析】若甲做对了，则甲乙说错了，丙说对了，符号题意；若乙做对了，则乙说错了，甲丙说对了，不符号题意；若丙做对了，则丙说错了，甲乙说对了，不符号题意；因此做对了的是甲.15.已知实数满足，若取得最小值时的最优解满足，则的最小值为__________．【答案】9【解析】作可行域，则直线过点A(2,2)时取最小值，此时最优解为(2,2)，即当且仅当时取等号，即的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.已知分别为的三个内角的对边，，且，则__________．【答案】（或30°）【解析】因为，所以由正弦定理的三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列满足：，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且.求数列的通项公式，并求其前项和.【答案】(1)；(2)，.【解析】试题分析：（1）由等差数列定义可得为等差数列，再根据得公差，最后根据等差数列通项公式求数列的通项公式；（2）根据条件变形得等比数列，再根据等比数列通项公式求得，即得数列的通项公式，最后根据错位相减法求前项和试题解析：（1）由知数列为等差数列，且首项为1，公差为，所以；（2）∵，∴，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，，从而，，，∴，所以.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的计算机技能大赛，两人以往5次的比赛成绩统计如下：（满分100分，单位：分）.第一次第二次第三次第四次第五次甲的成绩87878410092乙的成绩10080859590（1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定；（2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于2，则称两人“实力相当”.若从上述5次成绩中任意抽取2次，求恰有一次两人“实力相当”的概率.【答案】(1)甲的成绩更稳定；(2).【解析】试题分析：（1）先求均值，再求方差，根据方差越小越稳定确定结论，（2）先根据枚举法确定5次成绩中任意抽取2次所包含基本事件的总数，再从中确定恰有一次两人“实力相当”的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.试题解析：（1）∵，，，∴甲的成绩更稳定；（2）考试有5次，任选2次，基本事件有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和共10个，其中符合条件的事件有和，和，和，和，和，和共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为，另法：这5次考试中，分数差的绝对值分别为13，7，1，5，2，则从中任取两次，分差绝对值的情况为共10种，其中符合条件的情况有共6种情况，则5次考试，任取2次，恰有一次两人“实力相当”的概率为.19.如图，四棱台中，底面，平面平面为的中点.（1）证明：；（2）若，且，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）先根据平几知识计算得到，再根据面面垂直性质定理得线面垂直平面即得；（2）利用等体积法可将点面距离转化为求高，也可直接作出垂线，再在三角形中求解.因为平面,所以平面平面，过点作，交于点，则平面，最后解三角形即可.试题解析：（1）证明：连接，∵为四棱台，四边形四边形，∴，由得，，又∵底面，∴四边形为直角梯形，可求得，又为的中点，所以，又∵平面平面，平面平面，∴平面平面，∴；（2）解：在中，，利用余弦定理可求得，或，由于，所以，从而，知，又∵底面，则平面底面为交线，∴平面，所以，由（1）知，∴平面（连接），∴平面平面，过点作，交于点，则平面，在中可求得，所以，所以，点到平面的距离为.20.椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任一点，为其右焦点，点满足.①证明：为定值；②设直线与椭圆有两个不同的交点，与轴交于点.若成等差数列，求的值.【答案】(1)；(2)①.证明见解析；②..【解析】试题分析：（1）将点坐标代人椭圆方程，与离心率联立方程组解得a.b,（2）①根据两点间距离公式，代入椭圆方程化简可得，再求比值即可，②先根据成等差数列，得，再根据椭圆定义化简，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得的值.试题解析：（1）由得，把点代入椭圆方程为，∴得，∴，椭圆的标准方程为；（2）由（1）知，，而，∴为定值；②直线与椭圆联立，得，，设，则，由①知，∴，∵成等差数列，∴，即解得或，又因为，所以.21.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）设函数，证明:当且时，.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求导数，再研究二次方程解的情况：先讨论导函数不变号的情况，再讨论有两个不等根，最后根据导函数符号确定单调性，（2）先作差函数，求导转化研究根的情况，有一正根，表示差函数最小值，最后利用导数研究最小值函数最小值大于零.试题解析：（1）因为，①若，∴在为增函数；②若，则或，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）令，，设的正根为，所以，∵，∴，在上为减函数，在上为增函数，，令，恒成立，所以在上为增函数，又∵，∴，即，所以，当时，.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与相交于两点，且.（1）求的值；（2）直线与曲线相交于，证明：（为圆心）为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1），先将直线极坐标方程化为直角坐标方程，再由条件得直线过圆的圆心，解得的值；(2）代入消元得曲线的普通方程，设直线参数方程标准形式，代入，由韦达定理以及参数几何意义得.试题解析：（1）解：直线和圆的普通方程分别为，，∴直线过圆的圆心，所以；（2）证明：曲线，可知直线的参数方程为（为参数）代入曲线得，恒成立，设两点对应的参数分别为，则，所以为定值.点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t