必刷题型08解答题压轴题-2022-2023学年八年级数学下册期末解答压轴题必刷专题训练(华师大版)(原卷版+解析)

解答题压轴题1．（1）如图1，在正方形中，相交于点O且则和的数量关系为______．（2）如图2，在正方形中，E、F、G分别是边上的点，，垂足为H．求证：．（3）如图3，在正方形中，E、F、M分别是边上的点，，，将正方形沿折叠，点M的对应点恰好与边上的点N重合，求的长度．2．如图，中，外角平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足．(1)_______°直接写出结果不写解答过程）；(2)①求证：四边形是正方形．②若，求的长．3．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．(1)如图①，△ABC中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．试说明；(2)如图②，△ABC中，，，点、、在同一条直线上，，，．则菱形面积；(3)如图③，分别以的直角边、向外作正方形和正方形，连接，是△ABC的高，延长交于点，若，，直接写出AI的长度．4．在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处．(1)如图1，若点落在对角线上，且，则的度数为_____；(2)如图2，若点落在边上，且，求的长；(3)如图3，若点是的中点，的延长线交于点，且，求的长．5．在矩形中，是边上一点，在延长线上取点使．过点作交于点，交于点．交于点．(1)求证：；(2)若是的中点，，求的长．6．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点．(2)如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数．7．在平行四边形ABCD中，的平分线交线段BC于点E，交DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，M是EF的中点，连接BM、DM，判断的形状，并加以证明．8．如图，在中，，，，点D从点A出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒（），过点D作于点F，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当t为何值时，四边形为菱形？说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．9．如图，在四边形ABCD中，，cm，cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)AP=，CQ=，(分别用含有t的式子表示)；(2)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值；(3)当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值．10．以四边形的边为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得到四边形．(1)如图①，当四边形为正方形时，我们发现四边形是正方形；如图②，当：四边形为矩形时，则四边形的形状为__________；(2)如图③，当四边形为一般平行四边形，设．①试用含的代数式表示；②四边形是什么四边形？请说明理由．11．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts(0≤t≤5)(1)若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，则以E、G、F、H为顶点的四边形一定是．(2)在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形，请明理由．(3)若G、H分别是折线A--B--C，C--D--A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值．12．如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．(1)探究1：小强看到图（1）后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，因此可以选取的中点，连接后尝试着去证就行了，请你根据提示写出小强的证明过程．(2)探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论．(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．13．（1）如图1，四边形是正四边形，在的内部绕点A转动，若平分．求证：平分．（2）如图2，四边形是正四边形，，绕点A旋转，的边与的延长线交于点，与的延长线交于点，判断、、的数量关系并证明．14．（探索发现）如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到△ABE，连接．(1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程；(2)如图①如果正方形的边长为4，求三角形的周长；(3)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程．15．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、．(1)求证：；(2)说明；(3)求的面积．16．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，顶点在y轴正半轴上，点在轴正半轴上，．(1)求，的长；(2)求点坐标；(3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以2cm/s的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，连结交对角线于点．设点的运动时间为．(1)当四边形是矩形时，求出的值．(2)当四边形是菱形时，求的值．(3)当是等腰三角形时，直接写出的值．18．问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度．类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程．迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案）19．问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________；探索延仲：如图2，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．20．如图，在矩形中，对角线与交于点，是经过点且与平行的直线上一点，且，点在线段上，且满足，连接．(1)若，求的度数；(2)若，求证：．21．如图，四边形是正方形，G是边上一个动点，（与，不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，，我们探究下列图中线段，线段的长度关系以及所在直线的位置关系．

(1)猜想图1中线段，的长度关系以及所在直线的位置关系．(2)将图1中正方形绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到图2，图3情形，请你通过观察，判断（1）的结论是否仍然成立，并分别证明你的判断．(3)在第（2）题图2中，连接，，且，，求的值．22．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H．请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论．23．如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、．(1)当绕点旋转到时如图，证明：；(2)绕点旋转到时如图，求证：；(3)当绕点旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．24．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC上的任意一点，于点F，交直线AE于点G．(1)求证：；(2)若，，求线段GF的长；(3)如果将题目改为“E是直线BC上的任意一点”，其它条件均不变，那么（1）所证结论是否仍然成立？若认为仍成立，则简述理由；若认为不一定成立，请直接写出关于DG、BF、GF之间数量关系的正确结论，不必写演推过程．25．（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，求证：，试说明理由．（2）类比引申如图，四边形中，，，点，分别在边，上，∠EAF=45°，若、都不是直角，则当与满足等量关系______时，仍有，试说明理由．（3）联想拓展如图，在△中，，，点，均在边上，且∠DAE=45，若，，求的长．解答题压轴题1．（1）如图1，在正方形中，相交于点O且则和的数量关系为______．（2）如图2，在正方形中，E、F、G分别是边上的点，，垂足为H．求证：．（3）如图3，在正方形中，E、F、M分别是边上的点，，，将正方形沿折叠，点M的对应点恰好与边上的点N重合，求的长度．【答案】（1）；（2）见解析；（3）4【详解】解：（1）∵，∴，在△ABE和△DAF中，，∴，∴，故答案为；（2）如图1，过点E作于点M，则四边形为矩形，则，在正方形中，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在△BCG和△EMF中，，∴，∴；（3）如图2，连接，∵M、N关于对称，∴，过点E作于点H，过点M作于点G，则，由（2）同理可得：，∴，∵，∴，又∵，∴．2．如图，中，外角平分线交于点A，过点A分别作直线的垂线，B，D为垂足．(1)_______°直接写出结果不写解答过程）；(2)①求证：四边形是正方形．②若，求的长．【答案】(1)45；(2)①见解析；②2【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴，故答案为：45；（2）①证明：作于G，如图1所示：则，∵，∴，∴四边形是矩形，∵外角平分线交于点A，∴，∴，∴四边形是正方形；②解：设，∵，∴，由①得四边形是正方形，∴，在与中，，∴，∴，同理，，在中，，即，解得：，∴的长为2．3．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．(1)如图①，△ABC中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、．试说明；(2)如图②，△ABC中，，，点、、在同一条直线上，，，．则菱形面积；(3)如图③，分别以的直角边、向外作正方形和正方形，连接，是△ABC的高，延长交于点，若，，直接写出AI的长度．【答案】(1)△CAE；(2)24；(3)5【详解】（1）证明：直线，直线，，，，在和△CAE中，，；（2）连接，交于，如图②所示：四边形是菱形，，，同（1）得：，，，，；（3）过作的延长线于，过点作于，如图③所示：，四边形和四边形都是正方形，，，，同（1）得：，，，在和中，，，，是的中点，，，在中，由勾股定理得：，是的中点，．4．在长方形纸片中，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在点处．(1)如图1，若点落在对角线上，且，则的度数为_____；(2)如图2，若点落在边上，且，求的长；(3)如图3，若点是的中点，的延长线交于点，且，求的长．【答案】(1)；(2)的长为；(3)的长为0.9【详解】（1）解：四边形是矩形，，，沿所在的直线折叠，使点落在点处，，故答案为：；（2）解：四边形是矩形，，，，由折叠的性质得：，，，，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为；（3）解：连接，如图所示：

图点是的中点，，由折叠的性质得：，，，，在和中，，，，设，则，在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为0.9．5．在矩形中，是边上一点，在延长线上取点使．过点作交于点，交于点．交于点．(1)求证：；(2)若是的中点，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【详解】（1）证明：四边形为矩形，，，，，在和中，，；（2）解：连接，

四边形为矩形，，为的中点，，由（1）可得．，为的中点，，．，．在和中，，，．设，则，，，又，∴，解得，∴．6．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点．(2)如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数．【答案】(1)见解析；(2)20°【详解】（1）证明：如图1所示：连接AC．∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°，∠D=∠B=60°．∴△ABC等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC．∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°．∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°．∴∠FEC＝∠CFE．∴EC＝CF．∵，∴，∴F是CD的中点；（2）解：如图2所示：连接AC．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°．∴∠B＝∠ACF＝60°．∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD．∴∠AEB＝∠AFC．在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS）．∴AE＝AF．∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形．∴∠AEF=60°，∵∠AEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，∴∠FEC＝∠BAE=20°．7．在平行四边形ABCD中，的平分线交线段BC于点E，交DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，M是EF的中点，连接BM、DM，判断的形状，并加以证明．【答案】(1)见解析；(2)△BMD为等腰直角三角形，理由见解析【详解】（1）解：证明：如图1中，平分，，四边形是平行四边形，，，，，，，又四边形是平行四边形，四边形为菱形，．（2）解：结论：是等腰直角三角形．理由：如图2中，连接，，，四边形是平行四边形，四边形是矩形，又由（1）可知四边形为菱形，，四边形为正方形．，，为中点，，，在和中，，，，．，是等腰直角三角形．8．如图，在中，，，，点D从点A出发沿方向以/秒的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿方向以/秒的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒（），过点D作于点F，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当t为何值时，四边形为菱形？说明理由；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)，见解析；(3)或，见解析【详解】（1）解：由题意知，、，则，，∵、，∴，即，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：∵四边形是平行四边形，且、，∴当，即时，四边形是菱形，解得：，故当时，四边形为菱形；（3）解：如图1，当时，∵，∴四边形是矩形∴，∴，∴，又∵，∴，解得：；如图2，当时，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：；综上，当或时，为直角三角形．9．如图，在四边形ABCD中，，cm，cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)AP=，CQ=，(分别用含有t的式子表示)；(2)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值；(3)当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值．【答案】(1)t，2t；(2)2或或4；(3)t=2【详解】（1）解：∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，∴设运动时间为t秒，则AP=tcm，CQ=2tcm，故答案为：tcm；2tcm；（2）当四边形PDCQ是平行四边形时，PD=CQ6-t=2t解得t=2当四边形PABQ是平行四边形时，AP=BQ

t=10-2t解得t=当四边形PDQB是平行四边形时，PD=BQ6-t=10-2t解得t=4综上所述，综上所述，t的值为2或或4；（3）设运动时间为t秒，则AP=tcm，CQ=2t，∵AD=6cm，BC=10cm，∴PD=（6-t）cm，QB=（10-2t）cm，当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，四边形ABQP和PDCQ的面积相等，则6-t+2t=t+10-2t，解得：t=2，答：当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为2秒．10．以四边形的边为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得到四边形．(1)如图①，当四边形为正方形时，我们发现四边形是正方形；如图②，当：四边形为矩形时，则四边形的形状为__________；(2)如图③，当四边形为一般平行四边形，设．①试用含的代数式表示；②四边形是什么四边形？请说明理由．【答案】(1)正方形；(2)①，②四边形是正方形，理由见解析【详解】（1）四边形EFGH是正方形；理由：∵△AHD是等腰直角三角形，∴∠HDA＝∠HAD＝45°，∴∠EHG＝90°，同理：∠HEF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∵△AHD是等腰直角三角形，∴HA＝HD，在矩形ABCD中，AB＝CD，在△AEB和△DGC中，∴△AEB△DGC，∴AE＝DG，∴HE＝HG．∴矩形EFGH是正方形．（2）①∠HAE=90°+，在平行四边形ABCD中，ABCD．∵∠BAD=180°−∠ADC=180°−，∴△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°−∠HAD−∠EAB−∠BAD=360°−45°−45°−(180°−)=90°+答:用含的代数式表示∠HAE是90°+②证明:△AEB和△DGC是等腰直角三角形，在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+=∠HAE，∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE△HDC，∴HE=HG．由②同理可得:GH=GF，FG=FE，∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE，∴四边形EFGH是菱形，∵△HAE△HDG，∴∠DHG=∠AHE，∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，四边形EFGH是正方形．11．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts(0≤t≤5)(1)若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，则以E、G、F、H为顶点的四边形一定是．(2)在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形，请明理由．(3)若G、H分别是折线A--B--C，C--D--A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值．【答案】(1)平行四边形；(2)当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；(3)【详解】（1）解：在矩形ABCD中：AB=CD，ABCD，ADBC，∠B=90°，∴∠BAC=∠DCA，∵AB=6cm，BC=8cm，∴AC=10cm，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG=AB，CH=CD，∴AG=CH，∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts，∴AE=CF，如图，当没相遇前，∵AE=CF，∴AF=CE，∵∠BAC=∠DCA，AG=CH，∴△AGF≌△CHE，∴GF=HE，∠AFG=∠CEH，∴GFHE，∴四边形是平行四边形；如图，当相遇后，∵AE=CF，∴AF=CE，∵∠BAC=∠DCA，AG=CH，∴△AGF≌△CHE，∴GF=HE，∠AFG=∠CEH，∴∠EFG=∠FEH，∴GFHE，∴四边形是平行四边形；综上所述：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）如图1，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，∵G、H分别是AB，DC的中点，∴GH=BC=8cm，∴当EF=GH=8cm时，四边形EGFH是矩形，∴如图，当没相遇前，∵AE=CF=2t，则EF=10-4t=8，解得：t=0.5，如图，当相遇后，∵AE=CF=2t，∴EF=2t+2t-10=8，解得：t=4.5，综上所述：当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；（3）如图2，连接AG、CH，∵四边形GEHF是菱形，∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，∵AF=CE，∴OA=OC，∴四边形AGCH是菱形，∴AG=CG，设AG=CG=x，则BG=8-x，由勾股定理得：，即，解得：x=，∴BG=8-=，∴AB+BG=6+=，t=÷2=，即t为秒时，四边形EGFH是菱形．12．如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．(1)探究1：小强看到图（1）后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点是边的中点，因此可以选取的中点，连接后尝试着去证就行了，请你根据提示写出小强的证明过程．(2)探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论．(3)探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)仍然成立，理由见详解【详解】（1）证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°，又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC，∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点，∴AM=EC，又可知△BME是等腰直角三角形，∴∠AME=135°，又∵CF是正方形外角的平分线，∴∠ECF=135°=∠AME，∴△AEM≌△EFC（ASA），∴AE=EF；（2）证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，由（1）知∠EAM=∠FEC，∵AM=EC，AB=BC，∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=∠ECF=135°，∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°，又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC，在△AEM和△EFC中，，∴△AEM≌△EFC（ASA），∴AE=EF；（3）证明：成立；理由如下：延长BA到M，使AM=CE，连接ME，∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=∠ECF=45°，又∵∠B=∠AEF=90°，∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠FET=90°，∴∠BAE=∠FET，∴∠MAE=∠CEF，在△MAE和△CEF中，，∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF．13．（1）如图1，四边形是正四边形，在的内部绕点A转动，若平分．求证：平分．（2）如图2，四边形是正四边形，，绕点A旋转，的边与的延长线交于点，与的延长线交于点，判断、、的数量关系并证明．【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析【详解】解：（1）过点A作，垂足为点G，如图所示：∵四边形为正四边形，∴，，∴，，∵平分，，，∴，∴，∵，，∴平分；（2）；理由如下：在上截取，连接，如图所示：∵四边形为正四边形，∴，，∴，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，∴．14．（探索发现）如图①，四边形是正方形，分别在边上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到△ABE，连接．(1)试判断之间的数量关系，并写出证明过程；(2)如图①如果正方形的边长为4，求三角形的周长；(3)如图②，点分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程．【答案】(1)，证明见详解；(2)8；(3)，证明见详解．【详解】（1）解：，理由如下，证明：∵是绕点A顺时针旋转得到，∴，，，∵，∴，在与中，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：由（1）得，；∴，∵正方形的边长为4，∴；（3）解：在上取，连接，在与中，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∵，∴．15．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、．(1)求证：；(2)说明；(3)求的面积．【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)6【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵沿对折至，∴，∴，∴，∵，∴（HL）；（2）证明：∵，∴，∵，∴，设，则，∵，∴，，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：∵，∴．16．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，顶点在y轴正半轴上，点在轴正半轴上，．(1)求，的长；(2)求点坐标；(3)在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，；(2)；(3)存在，点的坐标为或或【详解】（1）解：（1）∵，的长满足，又∵，，∴，，∴，．（2）如图，过点作轴于点，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∵，在和中，∴，∴，，∴，∴点坐标为．（3）存在．如图，过点作轴于点，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∵，在和中，∴，∴，，∴，当时，则，∴，当时，则，∴，当时，则，∴，∴，综上所述，点的坐标为或或．17．如图，在矩形中，，．动点、分别从点、以2cm/s的速度同时出发．动点沿向终点运动，动点沿向终点运动，连结交对角线于点．设点的运动时间为．(1)当四边形是矩形时，求出的值．(2)当四边形是菱形时，求的值．(3)当是等腰三角形时，直接写出的值．【答案】(1)；(2)；(3)或或．【详解】（1）解：由题意可知，，，四边形是矩形时，，则，解得；（2）如图，当四边形是菱形时，．．在中，，由勾股定理，得．．解得．当时，四边形是菱形；（3）四边形是矩形，．，．在中，，由勾股定理，得，，．；点O是的中点，过点O作于点H，则是的中位线，则，，由题意得：，在中，，当时，即，解得；当时，，解得，当时，则点P与点B重合，故，解得，综上，或或．18．问题解决：如图1，是等边内一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则点与之间的距离为______，______度．类比探究：如图2，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？写出完整的解答过程．迁移运用：如图3，若点是正方形外一点，，，，则=______．（直接写出答案）【答案】问题解决：4、；类比探究：；迁移运用：【详解】解：问题解决：如图1，连接，是等边三角形，，为绕点逆时针旋转所得，∴，又旋转后与重合，与重合，，是等边三角形，，，由旋转性质得：，∵，∴，∴是直角三角形，，．故答案为：4；；类比探究：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，则，，，是等腰直角三角形．由勾股定理得：，，，，是直角三角形，，是等腰直角三角形，，，；迁移运用：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，连接，则，，，，是等腰直角三角形，，，，在线段上，，是直角三角形，∴，∴．故答案为：．19．问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长到点G．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________；探索延仲：如图2，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】问题背景：；探索延伸：仍然成立，理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为海里．【详解】解：问题背景：延长到点G，使，连接，在与中，在与中故答案为：．探索延伸：仍然成立．理由：如图2，延长到点G，使，连接，，在与中在与中故仍然成立．实际应用：如图3，连接，延长，相交于点C，由题意可知，在四边形中，∵，，又∵，，符合探索延伸中的条件，∴结论成立．即(海里)答：此时两舰艇之间的距离为海里．20．如图，在矩形中，对角线与交于点，是经过点且与平行的直线上一点，且，点在线段上，且满足，连接．(1)若，求的度数；(2)若，求证：．【答案】(1)；(2)见解析【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）证明：如图，连接，点为中点，若，则有，∵四边形是矩形，∴，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，由题意知，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∵，，，∴，在和中，∵，∴，∴，∴．21．如图，四边形是正方形，G是边上一个动点，（与，不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，，我们探究下列图中线段，线段的长度关系以及所在直线的位置关系．

(1)猜想图1中线段，的长度关系以及所在直线的位置关系．(2)将图1中正方形绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到图2，图3情形，请你通过观察，判断（1）的结论是否仍然成立，并分别证明你的判断．(3)在第（2）题图2中，连接，，且，，求的值．【答案】(1)，；(2)成立，证明见解析；(3)26【详解】（1）猜想：，理由：如图2中，∵四边形和四边形是正方形∴，，∴∴∴，又∵∴∴（2）结论成立，如图2：

∵四边形和四边形是正方形∴，，∴∴∴，又∵∴∴如图3：延长交于，交于

∵四边形和四边形是正方形∴，，∴∴∴，又∵，∴∴（3）连接，，，，如图：

根据题意，得，∵，∴即22．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H．请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）AE＝BF且AE⊥BF，见解析；（2）BF＝GE，见解析．【详解】解：（1）且，理由是：四边