4.4 对数函数（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

4.4对数函数（精讲）考点一对数函数辨析【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数(且)为对数函数，所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.【例1-2】（2022西藏）若函数为对数函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知：函数为对数函数所以或，又且所以故选：B【一隅三反】1．（2022哈尔滨）下列函数中，是对数函数的是（

）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1C．D．y＝log5x【答案】D【解析】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．故选：D.2．（2021·全国·高一课时练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）函数是对数函数，则___________.【答案】3【解析】由对数函数的概念可知，解得，所以，则.故答案为:3.考点二对数函数的三要素【例2-1】（2022·湖北省）函数定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，解得且，所以函数的定义域为；故选：C【例2-2】（2022·陕西）函数的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．【答案】B【解析】设，则，因为，所以，所以的最小值为1，选：B【例2-3】（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，函数的值域为，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意得，因为，所以所以，由可得，则．故选：D．【一隅三反】1．（2021·云南省）已知，则函数的定义域为______.【答案】【解析】由题意可知，要使有意义，则，解得，即.所以函数的定义域为.故答案为：.2．（2022·贵州·）函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为（

）A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】C【解析】令，又因为在上递增，所以，所以y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为[4，＋∞)，故选：C3（2022·全国·高一单元测试）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，则在上单调递减，则，不符合题意；若，则在上单调递增，则，又因为的值域为，所以，解得．故选：A．考点三对数函数的单调性【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，令，则，在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为，故选：A【例3-2】（2022·四川）已知是上的减函数，那么a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当，是减函数，所以，即……①；当，也是减函数，故……②；在衔接点x=1，必须要有成立，才能保证在上是减函数，即……③，∴由①②③取交集，得：；故选：C.【一隅三反】1．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得：，即定义域为；令，则在上单调递增，在上单调递减；又在上单调递减，的单调递减区间为.故选：B.2．（2022·山东）已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数a的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知函数在区间R上为增函数，则，解可得.故选：D.3．（2021·云南）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由可得，解得，函数是由和复合而成，又对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，在上单调递减，因为为减函数，所以的单调增区间为，因为在区间内单调递增，所以，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：．考点四对数函数单调性的运用【例4】（2022·福建福州·高一期中）已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对数函数都是上的增函数，，于是得，，而，而，于是得：，所以有.故选：C【一隅三反】1．（2022·江苏高一开学考试）已知，，，则，，的大小关系为A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，故选A.2．（2021·河北沧州市一中高一开学考试）已知，，，则的大小关系为A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，故，所以．故选A．3．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知，，，则有（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，，是单调递增，，，，，是单调递增，，，，，是单调递增，，，，，是单调递增，，，综上所述，.故选：D考点五对数函数的定点【例5】（2022·广西）若且，则函数的图像恒过定点（

）A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）【答案】D【解析】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点.故选：D.【一隅三反】1．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数的图象过定点，则在上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象过定点，所以，，由于，所以，所以.故选：B2．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象恒过定点，则M为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数，令，解得，此时，所以函数恒过定点；故选：A3．（2022·浙江丽水·高一开学考试）已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为（且），令，解得，所以，即函数过定点，所以，故A错误；因为、，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号.故选：D考点六反函数【例6】（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）若函数的反函数的图象过点，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】依题意，函数的反函数是，即函数的图象过点，则，，于是得，所以.故选：B【一隅三反】1．（2021·江苏·高一专题练习）与函数的图象关于直线对称的函数是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数与（且）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线对称，因此，与函数的图象关于直线对称的函数是.故选：C.2．（2022湖南）函数的反函数的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，令得，所以函数的反函数的表达式为，故选：B3．（2022湖南）函数（，且）的反函数的图象过点，则a的值为（

）A．2 B． C．2或 D．3【答案】B【解析】法一：函数（，且）的反函数为（，且），故的图象过点，则．法二：∵函数（，且）的反函数的图象过点，∴函数（，且）的图象过点，∴，即．故选：B考点七对数函数的图像【例7】（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.故选：A.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.故选：C.2．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）函数与的大致图像是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在定义域上单调递减，又，所以在定义域上单调递减，故符合条件的只有A；故选：A3．（2022·重庆市）若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】由于是上的奇函数，所以，所以为减函数，所以，所以，为上的减函数，，所以BCD选项错误，A选项正确.故选：A考点八对数函数的综合运用【例8】（2021·全国·高一课时练习）已知函数．(1)若，求函数的定义域．(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）由题设，，则或，所以函数定义域为.（2）由函数的值域为R，则是值域的子集，所以，即.（3）由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，所以在上递增，在上递减，又在上是增函数，故，可得.【一隅三反】1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数的定义域为，且的图象经过点．(1)求函数的解析式；(2)求函数的最大值；(3)求函数的值域．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】(1)∵的图象经过点，∴，∴，∴，∴．(2)∵，定义域为，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴函数在上单调递减，∴函数的最大值为．(3)，∵函数的定义域为，∴，解得，∴函数的定义域为，∵对勾函数在上单调递增，而函数是增函数，∴函数在上单调递增，∴