3.2.2 函数的奇偶性（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

3.2.2函数的奇偶性（精练）1奇偶性的判断1．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数【答案】B【解析】奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误．故选：B2．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）下列函数为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确；对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误；对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误；故选：B2．（2022·全国·高一）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减.故选：C.3．（2022·黑龙江）（多选）下列函数中是偶函数的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，函数定义域为R，，故A正确对于B，函数定义域为，故B错误对于C，函数定义域为R，，故C正确对于D，函数定义域为R，，故D正确故选：ACD4．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2(x2＋2)；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝＋.(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)非奇非偶函数；(4)既是偶函数又是奇函数；(5)奇函数(6)偶函数(7)偶函数(8)非奇非偶函数【解析】(1)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数；(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数；(3)f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∵定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；(4)f(x)＝＋的定义域为{－1，1}．∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，∴f(x)既为奇函数，又为偶函数．(5)函数的定义域为R且故函数为奇函数(6)函数的定义域为R且故函数为偶函数(7)函数的定义域为R且故函数为偶函数(8)由于且故函数为非奇非偶函数2利用奇偶性求解析式1．（2022·内蒙古）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是上的奇函数，故，令，故，则，则，故当时，.故选：C.2．（2022·重庆八中高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，故，又是定义在上的奇函数，∴.故选：D.3．（2022·吉林延边·高一期末）已知是奇函数，当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上有，∴，又是奇函数，∴，故.故选：C.4．（2022·吉林油田）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，______．【答案】【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且当时，设，则，．故答案为：5．（2022·山东）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则___________.【答案】【解析】函数是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0；当时，；当x＜0时，−x＞0，，又f（−x）＝−f（x），可得x＜0时，．所以．故答案为：.3利用奇偶性求值1．（2022·山西）设函数（其中为常数，），若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，令，则，即为奇函数，则，又，即，所以，所以；故选：C2．（2022.广西）已知函数，且，则（

）A．-26 B．-18 C．-10 D．10【答案】A【解析】方法一：令，知是上的奇函数，从而又因为，所以，所以，所以所以.方法二：由已知条件，得，两式相加得，又因为，所以.故选：A.3．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数，，则（

）A．2 B．0 C．-5 D．-6【答案】C【解析】由，得，所以，故选：C.4．（2022·广东）（多选）是奇函数，是偶函数，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】因是奇函数，是偶函数，则，，解得，即A，C都正确；而，即B，D都不正确.故选：AC5．（2022·湖南衡阳·高一期末）若是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则________.【答案】【解析】∵是定义在上的奇函数，当时，（为常数），，解得，∴当时，．．故答案为：.6．（2022·四川凉山·高一期末）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.【答案】【解析】因为，所以有，因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以，因此由，故答案为：4利用奇偶性求参数1．（2021·上海市杨浦高级中学高一期末）已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是______________.【答案】【解析】由已知是定义在上的偶函数，故，即，或，且函数图象关于轴对称，又，故，因为关于直线对称，故，，故答案为：.2.（2022云南）定义；函数在闭区间上的最大值与最小值之差称为函数的极差．若定义在区间上的函数是偶函数，则_________，函数的极差为________．【答案】14【解析】因为定义在区间上的函数是偶函数，所以，解得：，又为偶函数，，所以，，下面求在闭区间上的最大值与最小值，开口向下，对称轴为，所以在单调递增，在单调递减，所以，，所以极差为,故答案为：；3．（2023·海南）若是偶函数，且定义域为，则＝_____，＝_____【答案】0【解析】因为是偶函数，且定义域为，所以，解得，且，所以.故.4．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题得.因为在上单调递减，并且，所以，所以或.故选：D5利用奇偶性解不等式1．（2022·全国·高一课时练习）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（

）A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]【答案】D【解析】由函数为奇函数，得，不等式即为，又在单调递减，∴得，即﹒故选：D．2．（2022·福建厦门·高一期末）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】B【解析】因为，则，所以，因为为偶函数，所以，因为在上单调递增，所以，解得或，所以不等式的解集为或，故选：B3．（2022·河南·扶沟县第二高中高一期末）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.【答案】【解析】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，又，所以，所以当时，则不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：4．（2022·云南楚雄·高一期末）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.【答案】【解析】因为函数满足，所以，即，所以是奇函数；，且，不妨取，因为，所以，所以是减函数.因为，可得，即，所以，解得，所以的取值范围是故答案为：5．（2022·安徽·高一期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为_______【答案】【解析】解：因为是偶函数，且，，所以，又在上单调递增，所以，即，解得，故答案为：6．（2022·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】因为定义域为的函数在上单调递增，且，所以函数在R上单调递增，又，所以，又不等式等价于，所以，解得，所以不等式的解集为，故答案为：7．（2021·浙江）已知奇函数是定义在[－1，1]上的增函数，且，则的取值范围为___________.【答案】【解析】因为奇函数在[－1，1]上是增函数，所以有，可化为，要使该不等式成立，有，解得，所以的取值范围为.故答案为：.8．（2021·四川自贡·高一期中）若奇函数在定义域上是减函数，若时，，(1)求的解析式；(2)求满足的实数m的取值范围【答案】(1)(2)【解析】(1)因为是定义域上的奇函数，所以对于任意，则，且.设，则，由已知得，而满足上式，所以.(2)由于在定义域上是减函数，且为奇函数，所以，即，所以有，所以m的取值范围为.9．（2022·广东韶关实验中学高一阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且．(1)确定的解析式；(2)用定义证明在上是增函数；(3)解关于的不等式．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】(1)根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，解得，又由，则有，解得，则，所以，满足条件，所以；(2)由（1）知，证明：设，则，又由，所以、、则，，，，则，则函数在上为增函数；(3)解：根据题意，即，即，即，解得：，即不等式的解集为．6利用奇偶性比较大小1（2022·四川·遂宁中学高一阶段练习）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数是偶函数，所以，因为在上是增函数，且，所以，即故选：D2．（2022·北京）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数，可得，又由当时，函数为单调递减函数，所以，所以.故选：A.3．（2021·全国·高一课前预习）已知偶函数在上单调递减，则和的大小关系为（

）A． B．C． D．和关系不定【答案】A【解析】依题意，偶函数在上单调递减，，所以.故选：A5．（2022·银川）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】是偶函数，，，当时，是增函数，且，，.故选：B.6．（2022·北京）已知偶函数在上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为是偶函数，，，又在上单调递减，，，即.故选：C.7抽象函数的性质1．（2022·新疆）已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；(2)证明函数f(x)在R上的单调性；(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析；(2)函数为R上的减函数，证明见解析；(3)．【解析】(1)因为函数的定义域为R，令，所以，即，令，所以，即，所以函数为奇函数．(2)不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．(3)由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．2．（2022·安徽·高一期中）已知函数满足，当时，成立，且．(1)求，并证明函数的奇偶性；(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，证明见解析；(2).【解析】(1)令，可得，令，则，所以，所以，所以为奇函数；(2)，即，所以，又当时，成立，所以为增函数，所以在上恒成立，令，可得在上恒成立，又，，所以当时，，所以，即.3．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)118【解析】(1)为奇函数，证明：令，则有，所以，故为奇函数；(2)令，则；又，令，则，即，所以，则，，，，所以所求式子的值为.4．（2021·广东·金山中学高一期中）已知函数对一切实数都有成立，且.(1)分别求和的值；(2)判断并证明函数的奇偶性．【答案】(1)，；(2)是奇函数，证明见解析