3.2.2 函数的奇偶性（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

3.2.2函数的奇偶性（精讲）考点一奇偶性的判断【例1-1】（2021·湖南）判断下列函数的奇偶性(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)奇函数(2)偶函数(3)既是奇函数又是偶函数(4)非奇非偶函数【解析】(1)，定义域为，有，则函数为奇函数，(2)，定义域为，有，则函数为偶函数，(3)因为，所以，则有，解得，则函数定义域为，且，所以和同时成立，故既是奇函数又是偶函数，(4)，其定义域为，其定义域不关于原点对称，则是非奇非偶函数．【例1-2】（2022·广东·高一期末）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A是偶函数，且在上单调递减故A正确。对于B是奇函数故B错误对于C在上单调递增故C错误对于D是非奇非偶函数故D错误故选：A【例1-3】（2022·全国·高一专题练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【答案】C【解析】A选项：设，，则为偶函数，A错误；B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误；C选项：设，则，则为奇函数，C正确；D选项：设，则，则为偶函数，D错误．故选：C.【一隅三反】1．（2022·湖北）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A是偶函数故A错误对于B在上单调递增故B错误对于C是奇函数且在上单调递减故C正确对于D在上单调递减，在上单调递增故D错误故选：C2（2022·广东珠海·高一期末）若函数是偶函数，函数是奇函数，则（

）A．函数是奇函数 B．函数是偶函数C．函数是偶函数 D．函数是奇函数【答案】C【解析】因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；故选：C3．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)奇函数(4)非奇非偶函数【解析】(1)的定义域为，它关于原点对称.，故为偶函数.(2)的定义域为，它关于原点对称.，故为奇函数.(3)的定义域为，它关于原点对称.，故为奇函数.(4)，故，故为非奇非偶函数.考点二利用奇偶性求解析式【例2-1】（2022·全国·高一）设为奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则，所以，又为奇函数，所以，所以当时，.故选：B.【例2-2】（2022·云南）已知是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，设，则，,故选：B．【例2-3】（2021·浙江）定义在R上的奇函数，满足当时，．当时的表示式是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为是定义在R上的奇函数，故，又当时，，故，故故选：C【一隅三反】1．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）若函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，由奇函数的定义可得.故选：D.2．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知是偶函数，当时，，则当时，_________．【答案】【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，故答案为：3．（2022·河南安阳）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．【答案】【解析】时，，是奇函数，此时故答案为：4．（2022·山西太原）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则函数的解析式为_________．【答案】【解析】设-3<x<0，则3>-x>0，则有，又因为，所以，又，所以故答案为：考点三利用奇偶性求值【例3-1】（2022·广东韶关）函数为上的奇函数，时，，则=（

）A． B． C．2 D．6【答案】B【解析】因为为上的奇函数，且时，，所以，所以；故选：B【例3-2】（2022·贵州·凯里一中）已知函数，且，则（

）A． B．7 C．3 D．【答案】C【解析】由函数，令，则，由可知：奇函数，故，则，所以，故选：C【一隅三反】1．（2022·新疆）已知函数f(x)=-bx+2，若f(2)=5，则f(-2)=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，所以故选：A2．（2022·江苏）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则____.【答案】3【解析】因为函数是定义在上的奇函数，故，，故.故答案为：3.3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，，则的值是_______.【答案】【解析】是奇函数

.故答案为:.4．（2021·福建）已知分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则______【答案】【解析】由题意，，∴，即，∴.故答案为：5．（2020·四川·广安二中高一期中）若函数是偶函数，且，则______．【答案】0【解析】由函数是偶函数可得，又，故.故答案为：0.考点四利用奇偶性求参数【例4-1】（2022·辽宁沈阳·高一期末）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】D【解析】由题设，，可得，则，又为偶函数，则，可得，综上，，故.故选：D.【例4-2】（2022·湖北荆州）已知函数是定义在上的偶函数，则的最大值为___________.【答案】【解析】根据题意，是定义在上的偶函数，可知，则定义域关于原点对称，且二次函数的对称轴，所以，解得：，所以，对应抛物线开口向下，对称轴为，故的最大值为.故答案为：-1.【一隅三反】1．（2022·安徽）已知是定义在上的奇函数，且当时，则的值为（）A．-2 B．-6 C．2 D．6【答案】B【解析】是定义在上的奇函数，则，解得，当时，，所以.故选：B2．（2021·上海）若函数为偶函数，则_______________.【答案】2【解析】因为函数为偶函数，所以m-2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案为：23．（2022·内蒙古）若函数在上是奇函数，则的解析式为______．【答案】【解析】在上是奇函数，，，．又，，即，．考点五利用奇偶性解不等式【例5-1】（2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在x=0处连续又是定义域为的奇函数，故在上单调递增.因为，由，可得，又因为在上单调递增，所以有，解得.故选：D【例5-2】（2022·山西·长治市第四中学校高一期末）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数满足对任意的，有，即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，又，所以，函数的大致图像可如下所示：所以当时，当或时，则不等式等价于或，解得或，即原不等式的解集为；故选：C【例5-3】（2021·全国·高一专题练习）已知函数f(x)＝，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝．(1)求a，b；(2)判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值．【答案】(1)a＝1，b＝0；(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明见解析；(3)．【解析】(1)f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，得b＝0，又，∴a＝1，∴f(x)＝(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下设x2>x1≥1，∴f(x2)－f(x1)＝－＝＝＝．∵x2>x1≥1，∴x1x2－1>0，x1－x2<0，∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数．(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，又x∈[－4，－1]，∴f(x)max＝f(－4)＝，f(x)min＝f(－1)＝．【一隅三反】1．（2022·江苏苏州·高一期末）若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（

）A．（﹣∞，1） B．[0，1） C． D．（1，＋∞）【答案】A【解析】：∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）＝0；又f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，奇函数在对称区间上单调性相同，∴f（x）在R上单调递增；∴由不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0，得f（2x﹣1）＜f（x），∴2x﹣1＜x，解得x＜1，∴不等式f（2x﹣1）﹣f（x）＜0的解集为（﹣∞，1）.故选：A.2．（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）若函数为上的奇函数，且图象连续不断，在上为增函数，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数为上的奇函数，，，的图象连续不断且在上为增函数，.故选：B.3．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为______.【答案】【解析】因为定义域为，且，即为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，则不等式等价为，即，解得，即不等式的解集为.故答案为：4．（2022·四川凉山·高一期末）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)求关于m的不等式式的解集.【答案】(1)；(2).【解析】(1)∵函数是定义在R上的奇函数，∴∴当时，；当时，，则.∴.(2)∵函数为奇函数，∴，因为在上递增，且为奇函数，所以在R单调递增，∴，解得：，故不等式的解集是.5．（2021·湖南师大附中高一阶段练习）已知函数是定义在区间上的奇函数，且.(1)用定义法证明函数在区间上单调递增；(2)设，求证：是偶函数，是奇函数.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)因为是定义在区间上的奇函数，且，所以，（1），所以，，检验，当，时，，，满足题意，设，则，，，，所以，所以，所以在上单调递增；(2)证明：由题意得的定义域，令，则，且的定义域，所以为偶函数，令，则的定义域，且，所以为奇函数.考点六利用奇偶性比较大小【例6】（2022·山西吕梁·高一阶段练习）定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为为偶函数，所以，，又，且在上是减函数，所以.故选：A【一隅三反】1．（2021·广西·高一阶段练习）设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】函数为偶函数，则，当时，是减函数，又，则，则故选：C2．（2022·全国·高一专题练习）若偶函数在上是减函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】为偶函数，；在上是减函数，，即.故选：B.3．（2021·湖南·高一期中）已知定义在R上的偶函数在（0，）上是减函数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，所以，，因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，所以函数在上是增函数，因为∴∴.故选：D.考点七抽象函数的性质【例7】（2022·河南）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.(1)证明：为奇函数；(2)证明：在上是增函数；(3)设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)证明见详解.(2)证明见详解.(3)【解析】(1)因为有，令，得，所以，令可得：，所以，故为奇函数．(2)由（1）可知是定义在，上的奇函数，由题意设，则由题意时，有，是在上为单调递增函数；(3)由（1）（2）可知是上为单调递增函数,所以在上的最大值为所以要使，对所有，恒成立，只要，由，可得解得所以实数的取值范围为【一隅三反】1．（2021·河南焦作·高一期中）已知f(xy)＝f(x)＋f(y).(1)若x，y∈R，求f(1)，f(－1)的值；(2)若x，y∈R，判断y＝f(x)的奇偶性；(3)若函数f(x)在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝1，f(x)＋f(x－6)≤4，求x的取值范围.【答案】(1)f(1)＝0，f(－1)＝0；(2)偶函数；(3)（6，8].【解析】(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.又令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0.(2)因为函数定义域为R，关于原点对称，令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，由(1)知f(－1)＝0，所以f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．(3)因为f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2，所以f(16)=f(4)+f(4)=2+2=4，因为f(x)＋f(x－6)≤4，所以，因为f(x)在(0，+∞)上是增函数，所以，即，所以x的取值范围是(6,8].2．（2022·山西太原·高一开学考试）若定义在上的函数对任意实数，，都有成立，且当时，.(1)求证：为奇函数；(2)判断在上的单调性，并说明理由；(3)若，解不等式.【答案】(1)证明见解析(2)函数在R上单调递增，理由见解析(3)【解析】(1)证明：∵，∴.设，则.令，则，解