2024-2025学年天津市蓟州一中高三（上）第一次学情调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市蓟州一中高三（上）第一次学情调研数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M=﹛x|−3<x≤5﹜，N=﹛x|x<−5或x>5﹜，则M∪N=(

)A.﹛x|x<−5或x>−3﹜ B.﹛x|−5<x<5﹜

C.﹛x|−3<x<5﹜ D.﹛x|x<−3或x>5﹜2.设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是(

)A.a⊥α，b//β，α⊥β B.a⊥α，b⊥β，α//β

C.a⊂α，b⊥β，α//β D.a⊂α，b//β，α⊥β3.下列结论错误的是(

)A.若随机变量ξ，η满足η=2ξ+1，则D(η)=4D(ξ)

B.数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9

C.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是151

D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.712.依据α=0.05的独立性检验(x0.054.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数f(x)=x(e−x+A. B.

C. D.5.在正方体ABCD−A1B1C1D1A.43π B.6π 6.已知函数f(x)=ln(x2+1)，且a=f(0.20.2)，b=f(log3A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a7.已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB=2，A.8π B.9π C.10π D.11π8.下列命题正确的个数为(

)

①长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，则异面直线AD1与BD所成角的余弦值为105；

②对于命题：∃x0∈R，x02+x0+1<0，则命题p的否定：∀x∈R，x02+A.0 B.1 C.2 D.39.设an表示集合{1,2,3,…,n}的子集个数，bn=log2an，fk(x)=i=1kcos(bix)ai，其中k∈N∗.给出下列命题：

①当k=1时，(7π8,0)是函数f1(2x−π4)A.①③ B.②④ C.①③④ D.②③④二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知a∈R，且复数a+2i1+i是纯虚数，则a=

．11.二项式(2x−1x12.假设某市场供应的灯泡中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为80%，在该市场中购买甲厂的两个灯泡，则恰有一个是合格品的概率为______；若在该市场中随机购买一个灯泡，则这个灯泡是合格品的概率为______．13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，其图像向左平移π6个单位长度后所得图像关于y14.若4x>y>0，则y4x−y+x15.已知a∈R，函数f(x)=x2+2x+a−2,x≤0−x2+2x−2a,x>0.若对任意x∈[−3,+∞)，三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA+32a=c．

(1)求B的大小；

(2)若c=3,a+b=2，求△ABC的面积．

(3)已知sin17.(本小题15分)

如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．

(1)求证：EF//平面CPM；

(2)求平面QPM与平面CPM夹角的正弦值；

(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为π6，求N到平面CPM的距离．18.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是等边三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

(2)求平面EFG与平面ABCD的夹角的大小；

(3)线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为π6，若存在，求线段PM的长；若不存在，说明理由．19.(本小题15分)

已知常数a>0，函数f(x)=ln(1+ax)−2xx+2．

(Ⅰ)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；

(Ⅱ)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且20.(本小题16分)

已知函数f(x)=aex−sinx−a.(注：e=2.718281…是自然对数的底数)．

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)当a>0时，函数f(x)在区间(0,π2)内有唯一的极值点x1．

(ⅰ)求实数a的取值范围；

(ⅱ)求证：f(x)在区间(0,π)内有唯一的零点参考答案1.A

2.C

3.C

4.C

5.B

6.D

7.A

8.D

9.C

10.−2

11.60

12.0.18

0.86

13.sin(2x+14.5415.[116.解：(1)∵bcosA+32a=c，

∴由正弦定理可得sinBcosA+32sinA=sinC，

又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

∴32sinA=sinAcosB，

∵sinA≠0，∴cosB=32，

∵B∈(0,π)，∴B=π6；

(2)∵B=π6,c=3，

∴由余弦定理可得cosB=a2+3−b22×a×3=32，17.解：(1)证明：连接EM，因为AB/​/CD，PQ/​/CD，所以AB/​/PQ，

又因为AB=PQ，所以四边形PABQ为平行四边形，

因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以EM/​/AB且EM=AB，

因为AB/​/CD，CD=2AB，F为CD的中点，所以CF/​/AB且CF=AB，

可得EM//CF且EM=CF，即四边形EFCM为平行四边形，

所以EF/​/MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，

所以EF/​/平面MPC．

(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，

故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

依题意可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，

P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，

PM=(1,1,−1),PQ=(0,1,0),CM=(1,−1,1),PC=(0,2,−2)，

设n=(x,y,z)为平面PQM的法向量，

则n⋅PM=0n⋅PQ=0，即x+y−z=0y=0，取n=(1,0,1)，

设m=(a,b,c)为平面PMC的法向量，

则m⋅PC=0m⋅CM=0，即2b−2c=0a−b+c=0，取m=(0,1,1)，

所以cos<m,n>=m⋅n|m|⋅|n|=12，

设平面PQM与平面PMC夹角为θ，

所以sinθ=1−(12)2=32，

即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为32．

(3)设QN=λQC(0≤λ≤1)，即QN=λQC=(0,λ,−2λ)，

则N(0,λ+1,2−2λ)．

从而DN=(0,λ+1,2−2λ)．

18.解：(1)证明：∵△PAD是等边三角形，O是AD的中点，

∴PO⊥AD，

又CD⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，

∴CD⊥PO，

又AD∩CD=D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD；

(2)由(1)得PO⊥平面ABCD，连接OG，建立以O为原点，以AD，OG，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系O−xyz，如图所示：

底面ABCD是边长为4的正方形，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(−2,4,0)，D(−2,0,0)，G(0,4,0)，P(0,0,23)，E(−1,2,3)，F(−1,0,3)，

则FE=(0,2,0)，EG=(1,2,−3)，

设平面EFG的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅FE=2y=0n⋅EG=x+2y−3z=0，取x=3，则y=0，z=1，

∴平面EFG的法向量为n=(3,0,1)，

又平面ABCD的法向量为OP=(0,0,23)，

∴|cos<OP，n>|=|OP⋅n||OP|⋅|n|=232×23=12，

又平面EFG与平面ABCD的夹角为锐角，

∴平面EFG与平面ABCD的夹角为π3；

(3)假设线段PA上存在点M，使得直线19.解：(Ⅰ)∵f(x)=ln(1+ax)−2xx+2．

∴f′(x)=a1+ax−4(x+2)2=ax2−4(1−a)(1+ax)(x+2)2，

∵(1+ax)(x+2)2>0，

∴当1−a≤0时，即a≥1时，f′(x)>0恒成立，则函数f(x)在(0,+∞)单调递增，

当0<a<1时，由f′(x)=0得x=±2a(1−a)a，

若f′x<0得，0<x<2a1−aa，

若f′x>0得，x>2a1−aa，

则函数f(x)在(0,2a(1−a)a)单调递减，在(2a(1−a)a,+∞)单调递增．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a≥1时，f′(x)>0，此时f(x)不存在极值点．

因此要使f(x)存在两个极值点x1，x2，则必有0<a<1，

又f(x)的极值点可能是x1=2a(1−a)a，x2=−2a(1−a)a，

由f(x)的定义域可知x>−1a且x≠−2，

∴−2a(1−a)a>−1a且−2a(1−a)a≠−2，解得a≠12，

则x1，x2分别为函数20.解：(1)f(x)=2ex−sinx−2，

f′(x)=2ex−cosx，

切线的斜率k=f′(0)=2−1=1，又f(0)=0，

∴切线方程为y=x．

(2)(ⅰ)f′(x)=aex−cosx，

①当a≥1时，当x∈(0,π2)时，aex>1，cosx∈(0,1)，

∴f′(x)>0，

∴y=f(x)在(0,π2)上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；

②当0<a<1时，

f′′(x)=aex+sinx>0，∴f′(x)在(0,π2)上递增，

又f′(0)=a−1<0，f′(π2)=aeπ2>0，

∴f′(x)在(0,π2)上有唯一零点x1，

当x∈(0,x1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(x1,π2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

∴函数y=f(x)在区间(0,π2)内有唯