二项式系数的性质导学案-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

4.2二项式系数的性质【学习目标】1.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用.2.理解和初步掌握赋值法及其应用.3.通过学习,培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养.◆知识点一二项式系数表1.从第一项起至中间项,二项式系数逐渐,随后又逐渐.

2.表中每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之.

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)二项式系数表中第r行共有r+1项. ()(2)第m行斜列中(从右上到左下)前k个数的和等于第m+1行斜列中第k个数. ()◆知识点二二项式系数的性质1.对称性在(a+b)n的展开式中,与的两个二项式系数相等,即Cn0=Cnn,Cn1=C2.增减性与最大值当k<n+12时,Cnk随k的增大而;由对称性知,二项式系数的后半部分,Cnk随k的增大而.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项3.各二项式系数的和①Cn0+Cn1+Cn2+②Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+C【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)二项展开式的二项式系数的和为Cn1+Cn2+…+Cn(2)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项一定相同. ()(3)在(1+2x)9的展开式中二项式系数最大的项是第5项和第6项. ()(4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项. ()◆探究点一杨辉三角例1如图所示,在由二项式系数构成的杨辉三角中,第m(m>15)行中从左至右第14个数与第15个数的比为2∶3,则m= ()A.40 B.50 C.34 D.32变式我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的杨辉三角,如图,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是 ()A.由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想:CnmB.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想:Cn+1r=C.由“第n行所有数之和为2n”猜想:Cn0+Cn1+Cn2+D.由“111=11,112=121,113=1331”猜想:115=15101051[素养小结]研究杨辉三角的性质,实质上是研究二项展开式的二项式系数(即组合数)的性质,求解这类题一般要观察、猜想、归纳杨辉三角横向、竖向、斜向的各个数之间的关系.◆探究点二二项式系数和、各项系数和例2设(1-2x)2022=a0+a1x+a2x2+…+a2022x2022(x∈R).(1)求a0+a1+a2+…+a2022的值;(2)求a1+a3+a5+…+a2021的值;(3)求a2+a4+a6+…+a2022的值;(4)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2022|的值.变式(1)已知(1+2x)n的展开式中二项式系数之和为32,则各项系数之和为.

(2)(多选题)若x5=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a5(x-1)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则 ()A.a0=1B.a2=a3C.a1+a2+…+a5=31D.a1-a2+a3-a4+a5=-1[素养小结]赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2,偶数项系数之和为a1◆探究点三二项式的最值问题例3在x-(1)求二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项是第几项?变式已知(2x-1)n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等,求x-(1)所有二项式系数之和;(2)系数绝对值最大的项.[素养小结](1)根据二项式系数的性质可知,当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的.求展开式中系数最大的项,一般采用列不等式(组),解不等式(组)的方法求解.一般地,如果第r+1项的系数最大,则与之相邻的两项(第r项、第r+2项)的系数均不大于第r+1项的系数,由此列不等式组可确定r的范围,再依据r∈N*来确定r的值,即可求出系数最大的项.4.2二项式系数的性质【课前预习】知识点一1.增大减小2.和诊断分析(1)√(2)√知识点二1.首末两端“等距离”2.增大减小Cnn23.①2n②2n-1诊断分析(1)×(2)×(3)√(4)×【课中探究】例1C[解析]∵次数为m的二项式的展开式中第r+1项的二项式系数为Cmr,∴所给杨辉三角形中第m行的第14个数和第15个数分别为Cm13与Cm14,∴Cm13Cm变式D[解析]对于A,由组合数的性质可得Cnm=Cnn-m,故A中猜想正确;对于B,由组合数的性质可得Cnr-1+Cnr=Cn+1r,故B中猜想正确;对于C,由二项式系数和的性质可得Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n,故C中猜想正确;对于D,115=(10+1)5=105+例2解:令x=1,得a0+a1+a2+…+a2022=(-1)2022=1①.令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2021+a2022=32022②.(1)a0+a1+a2+…+a2022=1.(2)由①-②得2(a1+a3+a5+…+a2021)=1-32022,∴a1+a3+a5+…+a2021=1-(3)由①+②得2(a0+a2+…+a2022)=32022+1,∴a0+a2+…+a2022=32022令x=0,得a0=1,∴a2+a4+a6+…+a2022=32022(4)∵(1-2x)2022的展开式的通项为Tr+1=C2022r(-2x)r=(-1)r·C2022r·(2x)r∴a2k+1<0,a2k>0(k∈N,k<1011),且a2022>0.∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2022|=a0-a1+a2-a3+…-a2021+a2022=32022.变式(1)243(2)ABC[解析](1)∵(1+2x)n的展开式中二项式系数之和为32,∴2n=32,解得n=5.令x=1,代入可得各项系数之和为(1+2)5=243.(2)设t=x-1,则原式转化为(1+t)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5,令t=0,得a0=1,故A正确;(1+t)5展开式的通项为Tr+1=C5rtr,r=0,1,2,3,4,5,则a2=C52=10,a3=C53=10,即a2=a3,故B正确;令t=1,得a0+a1+a2+…+a5=25=32,所以a1+a2+…+a5=31,故C正确;令t=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=0,则a1-a2+a3-a4+a例3解:x-2x28的展开式的通项为Tk+1=C8k(x)8-k-2x2k(1)易知展开式中共9项,则二项式系数最大的项为中间项,即为第5项,该项为T5=(-1)4×24×C84x4-5(2)设第k+1(k∈N*)项系数的绝对值最大,则C8k·2于是k=5或k=6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.变式解:(1)因为(2x-1)n的展开式中第3