2025届新高考数学热点冲刺复习利用导数研究不等式恒能成立问题

2025届新高考数学热点冲刺复习

利用导数研究不等式恒(能)成立问题掌握利用导数解决不等式恒(能)成立问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．关键能力·题型剖析题型一分离参数法求参数范围例1[2024·河南郑州模拟]已知函数f(x)＝x3(lnx－a)(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)＋ax3＋1≥ax，求实数a的取值范围．

题后师说1.分离参数法基本步骤为：第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式．第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解．第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论．2．a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.巩固训练1已知f(x)＝2xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)的最小值；

(2)若存在x∈(0，＋∞)，使f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．

题型二等价转化法求参数范围例2[2024·辽宁沈阳模拟]已知函数f(x)＝ex(x2＋2x＋1)，x∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；

解析：因为f′(x)＝ex(x2＋2x＋1＋2x＋2)＝ex(x2＋4x＋3)＝ex(x＋3)(x＋1)，令f′(x)>0，解得x<－3或x>－1，令f′(x)<0，解得－3<x<－1，所以f(x)在(－∞，－3)上单调递增，在(－3，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增．(2)当x>0时，f(x)>ax2＋ax＋1，求a的取值范围．解析：设g(x)＝f(x)－(ax2＋ax＋1)，注意到g(0)＝0.有g′(x)＝ex(x2＋4x＋3)－(2ax＋a)，注意到g′(0)＝3－a.设h(x)＝g′(x)＝ex(x2＋4x＋3)－(2ax＋a)，有h′(x)＝ex(x2＋6x＋7)－2a.①当a≤3时，对于x>0，有h′(x)>h′(0)＝7－2a>0，所以g′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以对于x>0，有g′(x)>g′(0)≥0，从而g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故对于x>0，有g(x)>g(0)＝0.符合题意．②当a>3时，因为g′(0)＝3－a<0，所以存在x0>0，使得对于x∈(0，x0)，有g′(x)<0.从而g(x)在区间(0，x0)上单调递减，故对于x∈(0，x0)，有g(x)<g(0)＝0.不符合题意．综上a的取值范围是(－∞，3].题后师说“等价转化法”解决不等式恒成立问题在不等式恒成立问题中，如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求，可以把含参不等式整理成f(x，a)＞0或f(x，a)≥0的形式，然后从研究函数的性质入手，通过讨论函数的单调性和极值，直接用参数表达函数的最值，然后根据题意，建立关于参数的不等式，解不等式即得参数的取值范围．(1)如果f(x，a)有最小值g(a)，则f(x，a)＞0恒成立⇔g(a)＞0，f(x，a)≥0恒成立⇔g(a)≥0.(2)如果f(x，a)有最大值g(a)，则f(x，a)＜0恒成立⇔g(a)＜0，f(x，a)≤0恒成立⇔g(a)≤0.巩固训练2[2024·山东临沂模拟]已知函数f(x)＝x－alnx，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；

巩固训练3

[2024·河北石家庄模拟]设a为实数，函数f(x)＝2x3－3x2＋a，g(x)＝x2(2lnx－3)．(1)若函数f(x)与x轴有三个不同交点，求实数a的取值范围；

(2)对于∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)，试求实数a的取值范围．解析：对于∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)，则f(x1)min≥g(x2)min，由(1)知函数f(x)在[－1，0)上单调递增，在(0，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，又f(－1)＝a－5，f(1)＝a－1，故当x∈[－1，2]时f(x)min＝f(－1)＝a－5，因为g(x)＝x2(2lnx－3)，且x∈[1，e]，则g′(x)＝4x(lnx－1)≤4