2025届新高考数学热点冲刺复习空间向量及其应用

2025届新高考数学热点冲刺复习

空间向量及其应用课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.向量共线与向量共面定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使________．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使__________．2．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得____________．a＝λbp＝xa＋ybp＝xa＋yb＋zc

∠AOB|a||b|cos〈a，b〉4．空间向量的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

向量表示坐标表示数量积a·b_______________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)____________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__________________模夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

6．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)l1∥l2u1∥u2⇔∃λ∈R，使得____________l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔____________直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)l∥α(l⊄α)u⊥n⇔u·n＝0⇔______________l⊥αu∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn⇔________n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)分别是平面α，β的法向量α∥βn1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2⇔________α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝0⇔____________(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)a1a2＋b1b2＋c1c2＝0

√××√2．(教材改编)若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是(

)A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}答案：C

3．(教材改编)已知a＝(2，－1，2)，b＝(－4，2，x)，且a∥b，则x＝________．答案：－4

4．(易错)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(

)A．9 B．－9C．－3 D．3答案：B

课堂互动探究案1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．3．理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．问题思考·夯实技能【问题1】“空间中任何两个向量都是共面向量”，这个结论是否正确？提示：正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．【问题2】类比平面向量基本定理写出空间向量基本定理．提示：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.

答案：A

题后师说用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

答案：A

题型二

空间向量基本定理的应用例2(1)[2024·江西萍乡模拟]若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是(

)A．a＋b，a－b－c，3a－cB．a－2b，a＋c，－3b－cC．2a＋b，a－c，3a＋b－cD．a－2b，b＋c，3a－3b＋c答案：C

答案：A

答案：A

题型三

空间向量数量积及其应用例3[2024·河北邯郸模拟]如图，在棱长为2的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°.(1)求线段AC1的长度；(2)求直线AC1与直线C1D的夹角的余弦值．

题后师说空间向量的数量积运算有两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．

题后师说(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．巩固训练4如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：BC⊥平面BDE.

答案：C

答案：A

3．[2024·江苏南通模拟]设向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，当m与n满足下列哪种关系时，向量ma＋nb与x轴垂直(

)A．3m＝2n B．3m＝nC．m＝2n D．m＝n答案：A解析：∵a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，∴ma＋nb＝(3m－2n，5m＋n，2m＋3n)，取x