广西桂林市广西师范大学附属2025届高三数学上学期第三次月考试题含解析

PAGE22-广西桂林市广西师范高校附属2025届高三数学上学期第三次月考试题（含解析）一､选择题1.已知集合A={x|x>0}，B={x|x2≤4}，则A∪B=（）A.(-∞，-2] B.(-∞，2] C.[2，+∞) D.[-2，+∞)【答案】D【解析】【分析】化简集合，依据集合的并集运算可得结果.【详解】B={x|x2≤4},A∪B=。故选：D【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.2.|(1+2i)(1-i)|=（）A. B.3 C. D.2【答案】A【解析】【分析】依据复数的乘法运算法则求出复数，再依据复数的模长公式可得结果.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，考查了复数的模长公式，属于基础题.3.随着电子商务的快速发展，快递服务已经成为人们日常生活中必不行少的部分.国家邮政局数据显示，我国快递业务量已连续6年居世界榜首，下图是我国2011—2025年的快递业务量(单位：亿件)及增速状况，则以下说法正确的是（）A.2012—2025年我国快递业务量的增速逐年削减B.2013—2014年我国快递业务量增速最大C.2024年我国快递业务量比2015年大约增长300%D.2024年我国快递业务量比2014年增加了495.6亿件【答案】D【解析】【分析】依据折线图可推断AB错误，依据条形图通过简洁计算推断C错误、D正确.【详解】A.，从折线图看，2012—2025年我国快递业务量的增速有增有减，故错误；B.，从折线图看，2012—2013年我国快递业务量的增速最大，故错误；C.，从条形图看，2024年我国快递业务量比2015年大约增长200%，故错误；D，从条形图看，2024年我国快递业务量比2014年增加了635.2139.6=495.6亿件，正确，故选：D.【点睛】本题主要考查折线图与条形图的应用，考查对基础学问的驾驭与应用，考查了数形结合思想以及分析问题解决问题的实力，属于基础题.4.已知等比数列的前n项和为，若，则数列的公比为（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由，得，再利用等比数列的通项公式列方程求解即可【详解】解：设等比数列的公比为，因为，所以，即，所以，因为，所以，即，解得，故选：C【点睛】此题考查等比数列通项的基本量计算，属于基础题5.五铢钱是一种中国古铜币，奠定了中国硬通货铸币圆形方孔的传统，这种钱币外圆内方，象征着天地乾坤.如图是一枚西汉五铢钱币，其直径为2.5厘米.现向该钱币上随机投掷一点，若该点落在方孔内的概率为，则该五铢钱的穿宽(即方孔边长)为（）A.0.8厘米 B.1厘米 C.1.1厘米 D.1.2【答案】B【解析】【分析】设该五铢钱的穿宽为厘米，依据几何概型的概率公式列式可解得结果.【详解】圆的半径为厘米，圆的面积为，设该五铢钱的穿宽为厘米，则方孔面积为厘米，依据几何概型可得，解得厘米.故选：B【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，属于基础题.6.已知a>0，b>0，4a+b+2=2ab，则下列不等式肯定成立的是（A.a+b≥7 B.a+b≤5 C.2a+b≥7 D.2a+【答案】C【解析】【分析】由4a+b+2=2ab，得，，再利用基本不等式求出和的最小值可得答案.【详解】因为4a+b+2=2ab，所以，因为a>0，b>0，所以，所以，当且仅当，时，等号成立，故不正确；，当且仅当时，等号成立，故正确，不正确.故选：C【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.7.已知某锥体的三视图如图所示，其中侧视图为等边三角形，则该锥体的体积为（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积得解.【详解】由题得几何体原图是如图所示的四棱锥，左侧面垂直底面，所以棱锥的高为.所以几何体的体积为.故选：D【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平.8.将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为（）A.－ B.－ C. D.【答案】A【解析】【分析】写出图象变换后的解析式，依据对称性求出，然后由正弦函数性质求得最小值．【详解】将函数f(x)＝(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后对应解析式为，它的图象关于原点对称，则，又，所以，所以，当时，，所以．故选：A．【点睛】本题考查正弦函数图象与性质，考查图象变换以及函数的对称性（奇偶性），驾驭正弦函数的性质是解题关键．9.某集团军接到抗洪吩咐，紧急抽调甲､乙､丙､丁四个专业抗洪小组去A，B，C，D四地参与抗洪抢险，每地仅去1人，其中甲不去A地也不去B地，乙与丙不去A地也不去D地，假如乙不去B地，则去D地的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【分析】依据题意进行推理可得结果.【详解】因为甲、乙、丙都不去地，所以只能是丁去地，又甲、乙不去地，所以只能是丙去地，又乙、丙不去地，所以只能是甲去地，乙去地.故选：A【点睛】本题考查了演绎推理，属于基础题.10.已知函数的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的最大值为（）A.π B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用换元法和三角函数的图像性质即可求解【详解】，令，则令，又因为的值域为，依据二次函数的图像性质，可得，所以，，且令，依据三角函数的图像性质，有，则实数m的最大值为.故选：A【点睛】本题考查了换元法，以及三角函数的图像性质，属于简洁题11.已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，点M，N分别在抛物线C上.若，则点M到y轴的距离为（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】由可得，设，，由，可得.【详解】由可得，设，，由，可得，所以且，所以，解得，所以，所以点M到y轴的距离为1.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面对量共线的坐标表示，属于基础题.12.已知f(x)是定义在R上的连续函数，f′(x)是f(x)的导函数，且f(x)-f(-x)+4x=0.若当x>0时，f′(x)>-2，则不等式f(x-2)-f(x)>4的解集为（）A.(-∞，-1) B.(-∞，1) C.(-1，+∞) D.(1，+∞)【答案】B【解析】【分析】设函数，依据条件得出函数的奇偶性和单调性，再由条件可得，依据单调性和偶函数的性质解出不等式即可.【详解】设函数，由，可得即，所以为偶函数.又，所以在上单调递增.由，可得即，即所以，即，解得故选：B【点睛】本题考查构造函数，利用导数推断出函数的单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.二､填空题13.已知向量，，则的值为__________.【答案】5【解析】【分析】依据向量的坐标表示，求得，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，，可得，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式，精确运算是解答的关键，着重考查运算与求解实力.14.已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，则C的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】由题意，得到双曲线的其中一条渐近线的方程为，进而得到过点与垂直的直线方程为，联立方程组，求得点的坐标，结合，列出方程，进而得到，即可求解.【详解】如图所示，双曲线可得右焦点，其中一条渐近线的方程为，则过点与垂直的直线方程为，联立方程组，解得，即在中，因为，可得，整理得，即，所以，整理得，即，解得或（舍去），故双曲线的离心率为.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只须要依据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．15.已知递增等差数列{an}，其前n项和为Sn，，则当公差d的值为__________时，S13的最小值为__________.【答案】(1).1(2).13【解析】【分析】由，得，化简可得，从而可得，然后利用基本不等式可得答案【详解】解：设等差数列{an}的公差为（）因为，所以，所以，化简得，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以当公差时，有最小值13，故答案为：1，13【点睛】此题等差数列的基本量计算，考查基本不等式的应用，属于中档题16.设m≠-1，函数则使得成立的实数m的个数为__________.【答案】1【解析】【分析】依据函数值，设，，，所以，，然后对分两种状况探讨，每种状况在对进行探讨，数形结合可得答案.【详解】依据题意，设，所以，，所以，，当即时，，，即，令，，即求两个函数图象交点个数，画出图象，只有一个解，只有一个解；当即时，，，即，令，，即求两个函数图象交点个数，画出图象，无交点，即无解；故答案为：1..【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查了数形结合与分类探讨思想.三､解答题17.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求C；（2）若a=6，c=b+4，求△ABC的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角得，再依据三角形内角和定理、两角和的正弦公式变形可得，依据C∈(0，π)，可得结果；（2）依据余弦定理求出，再依据三角形的面积公式可得结果.【详解】（1）由已知及正弦定理得，所以，所以，即，因为sinA≠0，所以，所以.又因为C∈(0，π)，所以.（2）由a=6，c=b+4，以及余弦定理得，即，解得，所以△ABC的面积.【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、余弦定理、三角形的面积公式，属于中档题.18.已知某校共有1000名学生参与体能达标测试，现从中随机抽取100名学生的成果，将他们的测试成果(满分：100分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如下频数分布表.成果/分[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数101520301510（1）求这100名学生的体能测试平均成果(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).（2）在这100名学生中，规定：测试成果不低于80分为“优秀”，成果低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并推断是否有99.9%的把握认为体能测试成果是否优秀与性别有关？优秀非优秀总计男生30女生50总计（3）依据样本数据，可认为该校全体学生的体能测试成果X近似听从正态分布N(μ，14.312)，其中μ近似为样本平均数，则这1000名学生中体能测试成果不低于84.81分的估计有多少人？参考公式及数据：X~N(μ，σ2)，P(μ-σ≤X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X<μ+2σ)≈0.9545；，其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.635787910.828【答案】（1）；（2）列联表答案见解析，有99.9%的把握认为体能测试成果是否优秀与性别有关；（3）159人.【解析】【分析】（1）用各组区间的中点值乘以该组的频率再相加可得结果；（2）依据频数分布表可得完整的2×2列联表，计算出观测值，结合临界值表可得结果；（3）依据P(μ-σ≤X<μ+σ)=P(56.19≤X<84.81)≈0.6827，可求得.【详解】（1）由题意得这100名学生的体能测试平均成果为.（2）在抽取的100名学生中，测试成果优秀的有25人，由此可得完整的2×2列联表：优秀非优秀总计男生203050女生54550总计2575100K2的观测值，故有99.9%的把握认为体能测试成果是否优秀与性别有关.（3）依题意，X听从正态分布N(70.5，14.312)，因为P(μ-σ≤X<μ+σ)=P(56.19≤X<84.81)≈0.6827，所以，所以这1000人中体能测试成果不低于84.81分的人数估计为0.15865×1000≈159人.【点睛】本题考查了依据频数分布表求平均值，考查了完善列联表，考查了独立性检验，考查了正态分布，属于中档题.19.四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABDC，AB⊥AD，DC=AD=1，AB=2，∠PAD=45°，E是PA的中点，F在线段AB上，且满意.（1）求证：DE平面PBC；（2）求二面角F-PC-B的余弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明平面的法向量，再依据位置关系即可证明平面；（2）利用向量方法计算出两个平面法向量夹角的余弦值，再结合立体图形即可求解出二面角的余弦值.【详解】（1）∵由题意可得DA，DC，DP两两相互垂直，∴如图，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，∴A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，，∵设平面PBC的法向量为，∴，，，∴，令y=1，∴，又∵，∴，∴，∵DE不在平面PBC内，∴DE平面PBC；（2）∵设F(1，t，0)，∴，，由，∴，∴，∴，∵设平面FPC的法向量为，由，∴，∴，令x=1，∴，∴，∴，又∵由图可知，该二面角为锐二面角，∴二面角F-PC-D的余弦值为.【点睛】本题考查利用向量方法证明线面平行以及求解二面角的余弦值，主要考查学生的计算实力，难度一般.利用向量方法求解二面角的余弦值时，要留意法向量夹角的余弦值不肯定是二面角的余弦值，要留意结合图形视察二面角是钝角还是锐角.20.已知椭圆C：的左､右顶点分别为A，B，离心率为，P是C上异于A，B的动点.（1）证明：直线AP，BP的斜率之积为定值，并求出该定值.（2）设，直线AP，BP分别交直线l：x=3于M，N两点，O为坐标原点，试问：在x轴上是否存在定点T，使得O，M，N，T四点共圆？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析，定值；（2）存在，定点.【解析】【分析】（1）由题意知，设P(x0，y0)，y0≠0，则，然后利用斜率公式求化简可得结果；（2）由题意先求出椭圆C的方程为，设直线AP的方程为，则直线BP的方程为，直线方程与椭圆方程联立可求出，，假设△MNO的外接圆恒过定点T(t，0)，t≠0，然后求出线段MN的垂直平分线所在直线的方程和线段OT的垂直平分线所在直线的方程，从而可求出圆心，再由|OE|=|ME|，可求出的值，进而得O，M，N，T四点共圆【详解】（1）由题意知，设P(x0，y0)，y0≠0，则，所以直线AP与BP的斜率之积，即直线AP，BP的斜率之积为定值.（2）存在.理由如下：由题意知，得.因为，所以，所以b2=1，所以椭圆C的方程为.设直线AP的方程为，则直线BP的方程为.联立可得，同理可得.假设△MNO的外接圆恒过定点T(t，0)，t≠0，因为线段MN的垂直平分线所在直线的方程为，线段OT的垂直平分线所在直线的方程为，所以圆心.又|OE|=|ME|，所以，解得.所以存在定点，使得O，M，N，T四点共圆.【点睛】此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，考查计算实力，属于中档题21.已知函数.（1）求的单调区间；（2）设，若函数在区间上有一个零点，求的最小值以及此时的值.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）取到最小值，此时.【解析】【分析】（1）对求导，利用可得单调增区间，由可得单调递减区间；（2）对求导，存在，使，即，在区间上有一个零点，分别参数得，，令求导后利用单调性求出最小值，即可求解.【详解】（1）因为，所以.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（2），则，因为，存在，使，即，且在区间上单调递减，在区间上单调递增.因为在区间上有一个零点，所以，解得，，因此.设，则，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，所以当解得：，时，取到最小值，此时.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，最值，以及取值范围，属于中档题.22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，a>0.（1）求l的一般方程和C的直角坐标方程；（2）设点P(0，-2)，l与C交于A，B两点，，求a的值.【答案】（1）直线l