福建省莆田市第六中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题A卷含解析

PAGE16-福建省莆田市第六中学2024-2025学年高一数学上学期期中试题（A卷）（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1.下列函数中，与函数为相同函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别推断函数的定义域和表达式，与函数作比较推断得到答案.【详解】定义域为A.定义域为，不相同；B.，表达式不相同；C.，定义域为，是相同函数；D.定义域为，不相同；故选：【点睛】本题考查了相同函数的推断，确定定义域和表达式是解题的关键.2.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算得到，，再计算得到答案.【详解】；故选：【点睛】本题考查了交集的计算，属于简洁题.3.已知函数是定义域为的偶函数，则的值为（）A.0 B. C.1 D.-1【答案】B【解析】函数是定义域为的偶函数，故函数是偶函数，故奇次项系数为0.即此时．故答案为B．4.三个数，，之间的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：，，所以.考点：比较大小．5.设函数与的图象交点为,则所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据题意可令，即，设，利用零点存在性定理，说明零点所在的区间.【详解】令，即设，，，，，在区间必存在，使,即函数与的图象交点所在的区间.故答案为：A【点睛】本题考查零点所在区间的求法，主要考查基本概念和计算，属于简洁题型.6.函数的图像大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据函数的形式和图象，分和两种状况去肯定值，推断选项.【详解】当时，，当时，只有D满意条件.故选：D【点睛】本题考查含肯定值图象的识别，属于基础题型.一般依据选项推断函数的奇偶性，零点，特别值的正负，以及单调性，极值点等解除选项.7.设，且，则()A. B.10 C.20 D.100【答案】A【解析】【分析】将指数式化为对数值，然后利用对数运算公式化简，由此求得值.【详解】由得，所以，，故选A.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，考查对数运算，属于基础题.8.已知函数,若在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据在上递增列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于在上递增，所以，解得.故选：C.【点睛】本小题主要考查分段函数的单调性，考查一次函数、对数函数的单调性，属于基础题.9.设,若,则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应依据每一段解析式分别求解,但要留意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．10.某商场对顾客实行购物实惠活动规定，一次购物付款总额：（1）假如标价总额不超过200元，则不赐予实惠；（2）假如标价总额超过200元但不超过500元，则按标价总额赐予9折实惠；（3）假如标价总额超过500元，其500元内的按第（2）条赐予实惠，超过500元的部分赐予8折实惠.某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（）A.550元 B.560元 C.570元 D.580元【答案】C【解析】【分析】先推断第一次购物不超过200，其次次不超过500，计算得到共购物650元，再计算得到答案.【详解】若第一次购物超过200，则付款大于，故第一次购物不超过200元；若其次次购物超过500，则付款大于，故其次次购物不超过500元；其次次购物合计付款为故选：【点睛】本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算实力和应用实力.11.设表示三者中较小的一个，若函数，则当时，的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】画出函数的图象如图所示，结合图象可得．由图象可得，当时，的值域是．选C．点睛：用图象表示函数，增加了直观性和形象性，借助函数的图象解决函数的有关问题，体现了数形结合在数学中的应用，同时为问题的解决带来便利．函数图象的应用主要是利用图象研究函数的性质、最值等问题，考查解决方程的根、解不等式、求参数等问题的实力．12.设为大于1的常数，函数若关于的方程恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知方程解得或，若满意方程有3个不同的解，依据图象可得的取值范围.【详解】如图，先画出函数的图象，由已知，解得：或当时，，1个解，当时，需有2个解，如图，.故答案为：A【点睛】本题考查依据方程实根个数求参数取值范围，意在考查数形结合分析问题和解决问题的实力，属于基础题型.二、填空题(共5小题，每小题5分，共20分)13.函数的定义域是________________________．【答案】，【解析】【分析】干脆利用函数定义域的定义得到不等式计算得到答案.【详解】函数的定义域满意：解得故答案为：【点睛】本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算实力.14.已知函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间为__________．【答案】【解析】【分析】首先求函数，再求，利用复合函数单调性的推断方法求函数的单调递增区间.【详解】由题意可知，函数拆分成内外层函数，，外层函数，是单调递减函数，若求函数的单调递增函数，只需满意，解得：，函数的单调递减区间是.故答案为：【点睛】本题考查复合函数单调区间的求法，对于复合函数，首先拆分成内外层函数，再依据“同增异减”的推断方法求单调区间，本题的易错点是简洁遗忘函数的定义域.15.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”．2024年7月6日，第43届世界遗产大会宣布，中国良渚古城遗址胜利申遗，获准列入世界遗产名录．目前中国世界遗产总数已达55处，位居世界第一．今年暑期，某中学的“考古学”爱好小组对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年头学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的54%．利用参考数据：，请你推断上述所提取的草茎遗存物距今大约有_______________________年（精确到1年）．【答案】4966．【解析】【分析】依据题意得到方程，计算得到答案.【详解】设时间为，依据题意知：故答案为：【点睛】本题考查了指数函数的应用，意在考查学生的计算实力和应用实力.16.给出下列结论：①，的值域是；②幂函数图象肯定不过第四象限；③函数的图象过定点；④若，则的取值范围是；⑤若,则.其中正确的序号是_______________.【答案】②④⑤.【解析】【分析】依据函数的性质，逐一推断选项，得到正确答案.①干脆依据二次函数求值域；②依据幂函数的图象特征干脆推断；③利用，求定点；④分和两种状况解不等式；⑤原不等式变形为，，通过构造函数，利用函数的单调性得到结论.【详解】①当函数单调递减，函数单调递增，函数的最小值，函数的最大值，所以函数的值域是，故①不正确；②幂函数肯定不过第四象限，②正确；③因为，所以函数肯定过定点，故③不正确；④当时，不成立，当时，，即，故④正确；⑤原不等式变形为，，设函数，函数在单调递减，由，，变形为，所以，即，故⑤正确.故答案为：②④⑤【点睛】本题考查函数性质的综合推断题型，意在考查分析问题和解决问题的实力，本题推断的难点是第五个选项，通过构造函数，利用函数的单调性推断自变量的大小.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17.（1）计算：；（2）已知（且），若，求的值．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）干脆利用对数的计算法则得到答案.（2）先计算，再得到，计算得到答案.【详解】（1）（2），，又，即，则【点睛】本题考查了对数的计算，函数值的计算，意在考查学生的计算实力.18.已知函数图象过点．（1）求实数的值，并求的定义域和值域；（2）解不等式．【答案】（1），定义域为，的值域为（2）或【解析】【分析】（1）将代入函数解得，再计算得到定义域，最终计算值域得到答案.（2）依据题意得到得到不等式计算得到答案.【详解】（1）由题意得，所以，所以，由得或，则的定义域为，因为，所以的值域为．（2）不等式，所以解得或所以不等式解集为或【点睛】本题考查了对数型函数的定义域，值域，解不等式，意在考查学生的计算实力.19.已知函数是偶函数．(1)求的值；(2)若方程有解，求的取值范围．【答案】(1)；(2)．【解析】试题分析：(1)由函数是偶函数；(2)由.试题解析:(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，即log4＝－4kx，∴log44x＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，对一切x∈R恒成立，∴k＝－．(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x＝log4＝log4(2x＋),∵2x>0,∴2x＋≥2,∴m≥log42＝．故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为[，＋∞)．20.设函数，(1)用定义证明：函数是R上的增函数；(2)证明：对随意的实数t，都有；(3)求值：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）9.5【解析】分析】（1）设，计算，推断，推断函数是单调递增函数；（2），再变形计算求值；（3）依据（2）的结果，计算求值.【详解】解：（1）证明：设随意，则又∴在R上是增函数（2）对随意t,∴对于随意t,（3）∵由（2）得【点睛】本题考查定义法证明函数单调性，以及指数幂的综合运算，意在考查转化与化归和计算实力，属于中档题型.21.某家庭进行理财投资，依据长期收益率市场预料，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样安排资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？【答案】（1），；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元【解析】【分析】（1）由题意，得到，，代入求得的值，即可得到函数的解析式；（2）设债券类产品投资万元，可得股票类产品投资万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）设投资债券类产品的收益与投资额的函数关系式为，投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为，可知，，所以，.（2）设债券类产品投资万元，则股票类产品投资万元，总的理财收益.令，则，，故，所以，当时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中仔细审题，列出函数的解析式，娴熟应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，属于中档试题.22.已知函数，是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）推断函数在上的单调性；（3）若且，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）利用，计算实数的值；（2）由（1）可知，首先推断内层函数的单调性，再探讨，推断函数的单调性；（3）由，确定的范围，然后依据函数是奇函数，不等式变形