安徽省淮南市2025届高三数学一模试题文含解析

PAGE18-安徽省淮南市2025届高三数学一模试题文（含解析）一、选择题（共12小题）.1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则z的虚部是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣22．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）3．a2＞b2的一个充要条件是（）A．a＞b B．a＞|b| C．|a|＞|b| D．4．设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an+1＝1﹣，则S2024＝（）A． B．1009 C． D．10105．已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是（）A．y＝sin（ex+e﹣x） B．y＝sin（ex﹣e﹣x） C．y＝cos（ex﹣e﹣x） D．y＝cos（ex+e﹣x）6．良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2024年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年头的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）改变的数学模型：（y0表示碳14的初始量）．2024年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年头学检测，检测出碳14的含量约为初始量的55%，据此推想良渚遗址存在的时期距今大约是（）（参考数据：log25≈2.3，log211≈3.5）A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年7．将函数f（x）＝tan2x的图象向左平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）8．在一个不透亮的盒子中装有4个大小、形态、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中随意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）131412342333122433221413312443212341241312242143431224121413433122344422324143314234A． B． C． D．9．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则cosC＝（）A． B．﹣ C．或 D．﹣10．在平面直角坐标系xOy内，已知直线l与圆O：x2+y2＝8相交于A，B两点，且|AB|＝4，若＝2且M是线段AB的中点，则的值为（）A． B．2 C．3 D．411．已知△ABC是有一内角为的直角三角形，若圆锥曲线Ω以A、B为焦点，并经过点C，则圆锥曲线Ω的离心率不行能是（）A． B． C． D．+112．已知函数f（x）＝|cosx|（x≥0），方程f（x）＝kx恰有两个根，记较大的根为θ，则sin2θ＝（）A． B． C． D．二、填空题（每小题5分）.13．已知实数x，y满意约束条件，则z＝x+2y的最大值为．14．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝3：5：7，则角C等于．15．若正四棱锥的侧面均是正三角形，且它的表面积是8+8，则该四棱锥外接球的体积是．16．已知圆E：（x﹣3）2+y2＝1，抛物线C：y2＝12x，抛物线C焦点是F，过点F的直线l与抛物线C交于点A、B，与圆E交于点M、N，点A、M在第一象限，则|AM|+4|BN|的最小值是．三、解答题：本大题分为必考题与选考题两部分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且S3＝12，a8＝16．数列{bn}为等比数列，满意b1＝a2，b3b5＝256b4．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满意cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领将来”目标，创建了很多项中国首次．2024年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了解某中学高三学生对此新闻事务的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面2×2列联表．关注没关注合计男30女3040合计（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’新闻关注程度与性别有关”？（2）现在从这100名学生中按性别实行分层抽样的方法抽取5名学生，假如再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”状况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女性的概率．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879K2＝，其中n＝a+b+c+d．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，O是AC与BD的交点，E为PB的中点．（1）求证：OE∥平面PAD；（2）若PD⊥平面ABCD，DF⊥PA，垂足为F，PD＝BD＝2，AD＝1，求三棱锥P﹣DEF的体积．20．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，过F2的直线l交C于点A、B，且△F1AB的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2+mx﹣ex+1（m∈R）．（1）若f（x）在R上是减函数，求m的取值范围；（2）当m＞1时，证明f（x）有一个极大值点和一个微小值点．选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝6sinθ，点P的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；（2）已知直线l：（t为参数），若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求|PA|⋅|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）+3|x﹣4|﹣2m2+3m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．

参考答案一、选择题（每小题5分）.1．若复数z＝，其中i为虚数单位，则z的虚部是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2解：复数z＝＝＝＝2+3i，则z的虚部是3．，故选：A．2．已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}，B＝{x|log2（x+1）＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，3） B．[1，3） C．（0，3） D．（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，+∞）解：集合A＝{x|x2+2x﹣3≥0}＝{x|x≤﹣3或x≥1}，B＝{x|log2（x+1）＜2}＝{x|0＜x+1＜4}＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝{x|1≤x＜3}＝[1，3）．故选：B．3．a2＞b2的一个充要条件是（）A．a＞b B．a＞|b| C．|a|＞|b| D．解：A：当a＝2，b＝﹣4时，a＞b成立，但a2＞b2不成立，∴A错误，B：当a＝﹣6，b＝﹣4时，a2＞b2成立，但a＞|b|不成立∴B错误，C：a2＞b2⇔|a|＞|b|，∴C正确，D：当a＝2，b＝﹣4时，＞成立，但a2＞b2不成立，∴D错误，故选：C．4．设Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝，an+1＝1﹣，则S2024＝（）A． B．1009 C． D．1010解：若a1＝，an+1＝1﹣，则a2＝1﹣2＝﹣1，a3＝1﹣（﹣1）＝2，a4＝1﹣＝，a5＝1﹣2＝﹣1，…，所以{an}的最小正周期为3，则S2024＝673（a1+a2+a3）+a1+a2＝673×（﹣1+2）+﹣1＝1009．故选：B．5．已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是（）A．y＝sin（ex+e﹣x） B．y＝sin（ex﹣e﹣x） C．y＝cos（ex﹣e﹣x） D．y＝cos（ex+e﹣x）解：由图象可知，函数图象关于y轴对称，而y＝sin（ex﹣e﹣x）为奇函数，图象关于原点对称，故解除B；且﹣1＜f（0）＜0，而sin2＞0，sin0＝0，故解除A，C．故选：D．6．良渚遗址是人类早期城市文明的范例，是华夏五千年文明史的实证之一，2024年获准列入世界遗产名录．考古学家在测定遗址年头的过程中，利用“生物死亡后体内的碳14含量按确定的比率衰减”这一规律，建立了样本中碳14的含量y随时间x（年）改变的数学模型：（y0表示碳14的初始量）．2024年考古学家对良渚遗址某文物样本进行碳14年头学检测，检测出碳14的含量约为初始量的55%，据此推想良渚遗址存在的时期距今大约是（）（参考数据：log25≈2.3，log211≈3.5）A．3450年 B．4010年 C．4580年 D．5160年解：设良渚遗址存在的时期距今大约x年，则y%y0，即（）＝0.55，所以＝log2100﹣log255＝2+log25﹣log211≈0.8，解得x≈5730×0.8＝4584，故选：C．7．将函数f（x）＝tan2x的图象向左平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心是（）A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）解：将函数f（x）＝tan2x的图象向左平移个单位长度后，得y＝tan2（x+）＝tan（2x），令2x+＝，k∈Z，则x＝﹣+，k∈Z，∴函数的对称中心为（﹣+，0），（k∈Z），故选：A．8．在一个不透亮的盒子中装有4个大小、形态、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4．现每次有放回地从中随意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（）131412342333122433221413312443212341241312242143431224121413433122344422324143314234A． B． C． D．解：在21组随机数中，代表“恰好在第4次停止摸球”的随机数是：1234，1224，3124，1224，4312，2234，共6组，∴恰好在第4次停止摸球的概率P＝．故选：A．9．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则cosC＝（）A． B．﹣ C．或 D．﹣解：在△ABC中，∵cosB＝，∴sinB＝＝＞，B∈（，）．∵sinA＝∈（，），∴A∈（，），或A∈（，）（舍去），∴cosA＝＝，∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣cosAcosB+sinAsinB＝﹣×+×＝．故选：A．10．在平面直角坐标系xOy内，已知直线l与圆O：x2+y2＝8相交于A，B两点，且|AB|＝4，若＝2且M是线段AB的中点，则的值为（）A． B．2 C．3 D．4解：由|AB|＝4，M是线段AB的中点，可得OM⊥AB，所以|OM|＝＝＝2，由＝2，则+＝2，则A为线段BC的中点，如图所示，所以|CM|＝|CA|+|AM|＝4+2＝6，在Rt△CMO中，＝||||cos∠COM＝||2＝4．故选：D．11．已知△ABC是有一内角为的直角三角形，若圆锥曲线Ω以A、B为焦点，并经过点C，则圆锥曲线Ω的离心率不行能是（）A． B． C． D．+1解：①假如C＝，设A＝，BC＝1，则AC＝，BA＝2，若圆锥曲线为椭圆，则e＝＝＝＝﹣1；若圆锥曲线为双曲线，则e＝＝＝＝+1；②假如B＝，设A＝，BC＝1，则AB＝，CA＝2，若圆锥曲线为椭圆，则e＝＝＝＝；若圆锥曲线为双曲线，则e＝＝＝＝；③假如A＝，设C＝，BA＝1，则AC＝，BC＝2，若圆锥曲线为椭圆，则e＝＝＝＝2﹣；若圆锥曲线为双曲线，则e＝＝＝＝2+；④假如A＝，设B＝，CA＝1，则AB＝，BC＝2，若圆锥曲线为椭圆，则e＝＝＝＝；若圆锥曲线为双曲线，则e＝＝＝＝；所以该圆锥曲线的离心率不行以是．故选：B．12．已知函数f（x）＝|cosx|（x≥0），方程f（x）＝kx恰有两个根，记较大的根为θ，则sin2θ＝（）A． B． C． D．解：如图示：函数f（x）＝|cosx|（x≥0）的图像与f（x）＝kx恰有2个交点，且最大的根为θ，则函数f（x）在x＝θ处的切线为y＝kx，明显x∈（，π），当x∈（，π）时，f（x）＝|cosx|＝﹣cosx，则f′（x）＝sinx，切点坐标为（θ，﹣cosθ），故由点斜式得切线方程为：y+cosθ＝sinθ（x﹣θ），即y＝sinθx﹣θsinθ﹣cosθ＝kx，故﹣θsinθ﹣cosθ＝0，得θ＝﹣，sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝，故选：D．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，共20分13．已知实数x，y满意约束条件，则z＝x+2y的最大值为2．解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点A时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，得A（0，1），此时z的最大值为z＝0+2×1＝2，故答案为：2．14．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC＝3：5：7，则角C等于．解：由正弦定理知，a：b：c＝3：5：7，设a＝3m，b＝5m，c＝7m，由余弦定理知，cosC＝＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝．故答案为：．15．若正四棱锥的侧面均是正三角形，且它的表面积是8+8，则该四棱锥外接球的体积是．解：一个正四棱锥的侧面是正三角形，它的表面积是8+8，正四棱锥S﹣ABCD中，设AB＝a，则SE＝，所以a2+4×＝8+8，解得a＝2，过SO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OE，则OE＝＝，SO＝＝2，OC＝OA＝OB＝OD＝2，所以外接球的半径为2，所以该四棱锥外接球的体积＝．故答案为：．16．已知圆E：（x﹣3）2+y2＝1，抛物线C：y2＝12x，抛物线C焦点是F，过点F的直线l与抛物线C交于点A、B，与圆E交于点M、N，点A、M在第一象限，则|AM|+4|BN|的最小值是22．解：由抛物线方程可得，F（3，0），当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k（x﹣3）（k≠0），代入y2＝12x，整理得，k2x2﹣（6k2+12）x+9k2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1x2＝9（x1＞0），又∵圆E的半径等于1，∴|AM|＝|AF|﹣1＝x1+2，|BN|＝|BF|﹣1＝x2+2，因此|AM|+4|BN|＝（x1+2）+4（x2+2）＝≥22，当且仅当，即x1＝6时等号成立．当直线l的斜率不存在时，可求得|AM|+4|BN|＝25．综上，|AM|+4|BN|的最小值为22．故答案为：22．三、解答题：本大题分为必考题与选考题两部分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且S3＝12，a8＝16．数列{bn}为等比数列，满意b1＝a2，b3b5＝256b4．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}满意cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由S3＝12，a8＝16，可得a1+7d＝16，3a1+3d＝12，解得a1＝d＝2，所以an＝2n；由b1＝a2，b3b5＝256b4，可得b1＝4，b42＝256b4，即b4＝256，可得4q3＝256，解得q＝4，则bn＝4n；（2）cn＝＝＝（﹣），所以Tn＝c1+c2+…+cn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝4（1﹣）＝．18．中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领将来”目标，创建了很多项中国首次．2024年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了解某中学高三学生对此新闻事务的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查结果如下面2×2列联表．关注没关注合计男30女3040合计（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’新闻关注程度与性别有关”？（2）现在从这100名学生中按性别实行分层抽样的方法抽取5名学生，假如再从中随机选取2人进行有关“嫦娥五号”状况的宣讲，求选取的2名学生中恰有1名女性的概率．P（K2≥k0）0.1500.1000.0500.0100.005k02.0722.7063.8416.6357.879K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：（Ⅰ）如图K2＝＞3.841，有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’新闻关注程度与性别有关，（Ⅱ）从这100名学生中按性别实行分层抽样的方法抽取5名学生，男生3人，记为a，b，c，女生2人，记为1，2，选取2名学生共有（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），共10种，符合题意有6种，所以选取的2名学生中恰有1名女性的概率为．19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，O是AC与BD的交点，E为PB的中点．（1）求证：OE∥平面PAD；（2）若PD⊥平面ABCD，DF⊥PA，垂足为F，PD＝BD＝2，AD＝1，求三棱锥P﹣DEF的体积．解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴O是BD的中点，又E是PB的中点，∴OE∥PD，∵OE⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴OE∥平面PAD；（2）∵PD⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AB，又AB⊥AD，且PD∩AD＝D，∴AB⊥平面PAD，又DF⊂平面PAD，∴AB⊥DF，又DF⊥PA，PA∩AB＝A，∴DF⊥平面PAB，则DF⊥EF，DF⊥PB，∵PD＝BD，PE＝EB，∴DE⊥PB，又DE∩DF＝D，∴PB⊥平面DEF，因此PE是三棱锥P﹣DEF的高，由PD⊥平面ABCD，得PD⊥BD，在Rt△PBD中，由PD＝BD＝2，得PB＝2，DE＝PB＝，在Rt△PAD中，DF＝，由△PEF∽△PAB，得，得EF＝．于是＝＝．∴三棱锥P﹣DEF的体积为．20．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，过F2的直线l交C于点A、B，且△F1AB的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．解：（1）因为△F1AB的周长为8，由椭圆的定义知4a＝8，故a＝2，又，所以c＝1⇒b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的标准方程为．（2）由题意可设直线l的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，可得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，明显△＞0且，，∴＝．令，∴．易知S在t∈[1，+∞）单调递减，从而．21．已知函数f（x）＝x2+mx﹣ex+1（m∈R）．（1）若f（x）在R上是减函数，求m的取值范围；（2）当m＞1时，证明f（x）有一个极大值点和一个微小值点．解：（1）由f（x）＝x2+mx﹣ex+1，得f′（x）＝x+m﹣ex，设g（x）＝f′（x）＝x+m﹣ex，则g′（x）＝1﹣ex，当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）max＝g（0）＝m﹣1，由题意g（x）＝m﹣1≤0，所以m≤1，所以m的取值范围是（﹣∞，1]．（2）证明：当m＞1时，g（0）＝m﹣1＞0，由于g（﹣m）＝﹣e﹣m＜0，所以g（x）在（﹣m，0）上有一个零点，又g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，所以g（x）在（﹣∞，0）上有一个零点，设为x1（﹣m＜x1＜0），所以g（m）＝2m﹣em（m＞1），设h（x）＝2x﹣ex（x＞1），则h′（x）＝2﹣ex＜2﹣e＜0，即h（x）在（1，+∞）上单调递减，所以h（x）＜h（1）＜0，即g（m）＜0，所以g（x）在（0，m）上有一个零点，又g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）在（0，+∞）上有一个零点，设为x2（﹣m＜x2＜0），所以当x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＝g（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＝g（x）＞0，当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＝g（