必修第一册湘教版第3章单元测试卷

第3章函数的概念与性质单元测试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)x+1A.[-32,1] B.[-32,-1)∪(-1,1] C.[-3,7] D.[-3,-1)∪(2.已知函数f(x)=2x,x>0,x+1,x≤0,若f(a2)+fA.-6 B.-3 C.3 D.63.若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上的偶函数,则该函数的最大值为()A.5 B.4 C.3 D.24.已知函数f(x)为定义在R上的偶函数,且f(3-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=-x2+2x,则f(2023)=()A.1 B.-1 C.0 D.-35.函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递增,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(1)<f(52)<f(72) B.f(72)<f(5C.f(52)<f(1)<f(72) D.f(72)<f(1)<f6.函数f(x)=xx2+a的图象不可能是A B C D7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一,函数f(x)=1,x为有理数,0,x为无理数,称为狄利克雷函数,则关于函数f(x),A.f(x)的定义域为{0,1} B.f(x)的值域为[0,1]C.∃x∈R,f(f(x))=0 D.任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立8.已知函数f(x)=x2,x≥0,-2|x+1|+2,x<0,若存在唯一的整数x,使得(2024f(x)-2023)(x-a)<0A.{-2,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.甲同学家到乙同学家的途中有一个公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图1所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系,下列结论正确的是()图1A.甲同学从家出发到乙同学家走了60minB.甲从家到公园的时间是30minC.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=11510.已知函数f(x)=2x+3x+4,则下列叙述正确的是A.f(x)的值域为(-∞,-4)∪(-4,+∞) B.f(x)在区间(-∞,-4)上单调递增C.f(x)+f(-8-x)=4 D.若x∈{x∈Z|x>-4},则f(x)的最小值为-311.若函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,②对于定义域上的任意x1,x2,当x1<x2时,恒有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)为“理想函数”.下列四个函数中能被称为“理想函数”的有()A.f(x)=1x B.f(x)=-2x C.f(x)=-x2 D.f(x)=三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若函数f(x)=1x-2+-x2+x+2,则13.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2,则f(-3)=,不等式f(1-2x)<f(3)的解集是.(本题第一空2分,第二空3分)

14.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[2,4]时,f(x)=-g(x)=ax+1,若对于任意x1∈[-2,0],存在x2∈[-2,1],使得g(x2)=f(x1),则实数a的取值范围为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(x)=x(1)在图2中画出函数f(x)的大致图象;图2(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间.

16.(15分)在①f(a)=5,②f(12)=4a,③4f(1)-2f(2)=6这三个条件中任选一个,补充到横线中,并解答已知一次函数y=f(x)满足f(x-1)=2x+a,且.

(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)若g(x)=xf(x)+λf(x)+x在[0,2]上的最大值为2,求实数λ的值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

17.(15分)已知f(x)=ax2+23x+b是奇函数(1)求实数a,b的值;(2)判断函数f(x)在(-∞,-1]上的单调性,并加以证明.

18.(17分)已知函数f(x)=-x2+mx-m.(1)若函数f(x)的最大值为0,求实数m的值.(2)若函数f(x)在[-1,0]上单调递减,求实数m的取值范围.(3)是否存在实数m,使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]?若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.

19.(17分)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.(1)若f(x)=x3-3x2,①求此函数图象的对称中心;②求f(-2020)+f(-2021)+f(2022)+f(2023)的值.(2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.

第3章函数的概念与性质单元测试卷参考答案1.B由题意得,-2≤2x+1≤3,x+1≠0,解得-32≤x≤1且x≠-1,所以所求定义域为[-32,-2.A因为f(1)=2且f(a2)+f(1)=0,所以f(a2)=-2<0,所以f(a2)=1+a2=-2,解得a=-63.A因为函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上的偶函数,所以-1-a+2a=0,所以a=1,所以函数f(x)的定义域为[-2,2].因为函数f(x)的图象的对称轴为直线x=0,所以b=0,故f(x)=x2+1,所以当x=±2时函数f(x)取得最大值,最大值为5.4.A因为函数f(x)为定义在R上的偶函数,且f(3-x)=f(x),所以f(3+x)=f(-x)=f(x),即函数的周期T=3,因为当x∈[0,1]时,f(x)=-x2+2x,则f(2023)=f(1)=1.5.D因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(1)=f(3).因为函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递增,所以函数y=f(x)在区间(2,4)上单调递减.因为2<52<3<72<4,所以f(72)<f(3)<f(52),即f(72)<f(1)6.D函数表达式中含有参数a,要对参数进行分类讨论.若a=0,则f(x)=xx2=1x,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),为反比例函数,选项C符合,选项D不符合;若a≠0,f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,且f(x)=0,选项A,B符合.7.D因为函数f(x)=1,所以f(x)的定义域为R,值域为{0,1},故A,B错误;当x为有理数时,f(x)=1,f(f(x))=f(1)=1,当x为无理数时,f(x)=0,f(f(x))=f(0)=1,所以∀x∈R,f(f(x))=1,故C错误;由于非零有理数T,若x是有理数,则x+T是有理数,若x是无理数,则x+T也是无理数,根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立,故D正确.8.B作出函数f(x)的图象,如图D1所示,图D1对于(2024f(x)-2023)(x-a)<0,当2024f(x)-2023<0,即f(x)<20232024时,x-a>0,即x>a记A={x|x>a},对于f(x)<20232024则x2<20232024,x可得f(x)<20232024的整数解集为B={x∈Z|x≤-2或x=0}由题意可得,集合A∩B只有一个元素,即A∩B={0},则-2≤a<0,满足条件的整数a的取值为-2,-1.当2024f(x)-2023>0,即f(x)>20232024时,x-a<0,即x<a记C={x|x<a},对于f(x)>20232024则x2>20232024,x可得f(x)>20232024的整数解集为D={x∈Z|x≥1或x=-由题意可得,集合C∩D只有一个元素,即C∩D={-1},则-1<a≤1,满足条件的整数a的取值为0,1.综上所述,所有满足条件的整数a的取值集合为{-2,-1,0,1}.9.BD在A中,甲在公园休息的时间是10min,所以只走了50min,A错误;由题中图象知,B正确;甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,C错误;当0≤x≤30时,设y=kx(k≠0),则2=30k,解得k=115,D正确.故选BD10.BCD函数f(x)=2x+3x+4=2(xf(x)的值域为(-∞,2)∪(2,+∞),故A错误;f(x)在区间(-∞,-4)上单调递增,故B正确;f(x)+f(-8-x)=2x+3x+4+2x+13因为x∈{x∈Z|x>-4},则f(x)的最小值为f(-3)=-3,故D正确.故选BCD.11.BD对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,则f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数;对于定义域上的任意x1,x2,当x1<x2时,恒有f(x1)>f(x2),则函数f(x)为减函数.图D2即在定义域上满足既是奇函数又是减函数的函数为“理想函数”.对于A,f(x)=1x是奇函数,但在定义域上不单调,故不是“理想函数”对于B,f(x)=-2x是奇函数,在定义域上是减函数,是“理想函数”.对于C,f(x)=-x2是偶函数,故不是“理想函数”.对于D,作出函数f(x)的图象如图D2所示,由图象知函数f(x)既是奇函数又是减函数,故是“理想函数”.故选BD.12.[-1,2)由题意可得x-2≠0,-x2+x+2≥0,解得-1≤13.-3(-1,+∞)由f(x)为奇函数且x≥0时,f(x)=x2,可得f(-3)=-f(3)=-3.因为x≥0时,f(x)=x2单调递增,所以根据奇函数图象的对称性可知,f(x)在R上单调递增,故由f(1-2x)<f(3)可得,1-2x<3,解得x>-1,故不等式f(1-2x)<f(3)的解集为(-1,+∞).14.(-∞,-14]∪[18,+∞)当x∈[2,4]时,f(x)=-x2+4x,2≤x≤3,x2+2x,3<x≤4,可知f(x)在[2,3]上单调递减,在(3,4]上单调递增,所以f(x)在[2,3]上的值域为[3,4],在(3,4]上的值域为(当x∈[-2,0)时,x+4∈[2,4],因为f(x+2)=2f(x),所以f(x)=14f(x+所以f(x)在[-2,0]上的值域为[34,98当a=0时,g(x)为常函数,值域为{1},不符合题意;当a>0时,令-2a+1≤34,当a<0时,令-2a+1≥98,a综上,a的取值范围是(-∞,-14]∪[18,+∞图D315.(1)函数f(x)的大致图象如图D3所示.(2)由函数f(x)的图象得出,f(x)的最大值为2,函数f(x)的单调递减区间为(2,4].16.(1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(x-1)=k(x-1)+b=2x+a,则k=2,a=b-k=b-2,所以f(x)=2x+a+2.若选①f(a)=5,则f(a)=2a+a+2=5,解得a=1,f(x)=2x+3.若选②f(12)=4a,则f(12)=1+a+2=4解得a=1,f(x)=2x+3.若选③4f(1)-2f(2)=6,则4(4+a)-2(6+a)=6,解得a=1,f(x)=2x+3.(2)g(x)=xf(x)+λf(x)+x=2x2+3x+2λx+3λ+x=2x2+(4+2λ)x+3λ,g(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=-2+λ当-2+λ2≤1,即λ≥-4时,g(x)max=g(2)=16+7解得λ=-2;当-2+λ2>1,即λ<-4时,g(x)max=g(0)=3解得λ=23(舍)综上,λ=-2.17.(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即ax2+2-3x+b=又f(2)=53,∴4a+26=5(2)由(1)知f(x)=2x2+23x=2x3+23x,则f(x)在(设x1<x2≤-1,则f(x1)-f(x2)=23(x1-x2)(1-1x∵x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1x2>1,1-1x1∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-∞,-1]上单调递增.18.(1)f(x)=-(x-m2)2-m+m24,则当x=m2时,f(x)取得最大值,最大值为-m+m24,则-m+m24=解得m=0或m=4.(2)函数f(x)图象的对称轴是直线x=m2,要使f(x)在[-1,0]上单调递减,应满足m2≤-1,解得m≤故实数m的取值范围为(-∞,-2].(3)①当m2≤2,即m≤4时,f(x)在[2,3]上单调递减则f(2)=3,f(3)=2,即②当m2≥3,即m≥6时,f(x)在[2