必修第一册人教A版第三章单元测试卷

第三章函数的概念与性质单元测试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=x2+1的值域是(A.[0,+∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.(1,+∞)2.已知2≈1.41421,如果对应关系f将n对应到2的小数点后第n位上的数字,则f(2)+f(4)= ()A.5 B.6 C.3 D.23.已知函数f(x)=2x,x>0,x+1,x≤0,若f(a2)+fA.-6 B.-3 C.3 D.64.若函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上的偶函数,则f(x)的最大值为()A.5 B.4 C.3 D.25.如图1是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]内的大致图象,则该函数是()图1A.y=-x3+3xx2+1 B.y=x3-xx26.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+32)=f(12-x),且当0≤x≤1时,f(x)=x3,则f(52)=(A.-278 B.-18 C.18 7.函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递增,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(1)<f(52)<f(72) B.f(72)<f(5C.f(52)<f(1)<f(72) D.f(72)<f(1)<f8.已知函数f(x)=x2,x≥0,-2|x+1|+2,x<0,若存在唯一的整数x,使得(2022f(x)-2021)(x-a)<0A.{-2,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则()A.函数f(x)在定义域内为增函数 B.函数f(x)为偶函数C.当x>1时,f(x)>1 D.当0<x1<x2时,f(x1)+10.函数f(x)=x1+x,x≥0,A.f(x)为奇函数B.f(x)为增函数C.∀x∈R,|f(x)|<1D.∃x0∈R,|f(x0)|>111.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,称y=[x]为高斯函数,如:[1.2]=1,[-1.2]=-2,因而y=[x]又被称为取整函数,在现实生活中有着广泛的应用,诸如停车收费,出租车收费等均按“取整函数”进行计费.以下关于“取整函数”的描述,正确的是()A.∀x∈R,[2x]=2[x]B.∀x∈R,[x]+[x+12]=[2xC.∀x,y∈R,若[x]=[y],则有x-y>-1D.方程x2=3[x]+1的解集为{7,10}三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若函数f(x)=1x-2+-x2+x+2,则13.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2,则f(-3)=,不等式f(1-2x)<f(3)的解集是.(本题第一空2分,第二空3分)

14.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),且当x∈[2,4]时,f(x)=-x2+4x,2≤x≤3,x2+2x,3<x≤4,g(x)=ax+1,若对于任意x1∈[-2,0],存在x2∈[-2,1],使得g四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知f(x)=ax2+23x+b是奇函数(1)求实数a,b的值;(2)判断函数f(x)在(-∞,-1]上的单调性,并加以证明.

16.(15分)在①f(a)=5,②f(12)=4a,③4f(1)-2f(2)=6这三个条件中任选一个,补充到横线中,并解答.已知一次函数y=f(x)满足f(x-1)=2x+a,且(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)若g(x)=xf(x)+λf(x)+x在[0,2]上的最大值为2,求实数λ的值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

17.(15分)因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中,为了治污,根据环保部门的建议,现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放a(1≤a≤4,且a∈R)个单位的药剂,它在水中释放的浓度y(单位:克/升)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y=a·f(x),其中f(x)=168−x-1(0≤x≤4),5−12x(4<x≤10),若多次投放,(1)若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?(2)若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放a个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求a的最小值.(精确到0.1,参考数据:2取1.4)

18.(17分)已知函数f(x)=-x2+mx-m.(1)若函数f(x)的最大值为0,求实数m的值.(2)若函数f(x)在[-1,0]上单调递减,求实数m的取值范围.(3)是否存在实数m,使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]?若存在,求出实数m的值;若不存在,说明理由.

19.(17分)若函数y=f(x)与y=g(x)满足：对任意x1，x2∈D，都有|f(x1)-f(x2)|≥|g(x1)-g(x2)|，则称函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.已知函数y=f(x)是函数y=g(x)在集合D上的“约束函数”.(1)若f(x)=|x|，D=R，判断函数y=g(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(x)=ax2+2x+1，g(x)=x2+ax，其中a>0，D=(0，+∞)，求实数a的取值范围.

第三章函数的概念与性质单元测试卷参考答案1.B由题意知,函数y=x2+1的定义域为R,则x2+1≥1,∴y≥2.C根据题意,对应关系f将n对应到2的小数点后第n位上的数字,则f(2)=1,f(4)=2,则f(2)+f(4)=3,故选C.3.A因为f(1)=2且f(a2)+f(1)=0,所以f(a2)=-2<0,所以f(a2)=1+a2=-2,解得a=-64.A因为函数f(x)=ax2+bx+1是定义在[-1-a,2a]上的偶函数,所以-1-a+2a=0,所以a=1,所以函数f(x)的定义域为[-2,2].因为函数f(x)的图象的对称轴为直线x=0,所以b=0,故f(x)=x2+1,所以当x=±2时函数f(x)取得最大值,最大值为5.5.A由函数图象可知,函数为奇函数,易知C选项中的函数为偶函数,故排除C;对于选项B,当x=1时,y=0,与图象不符,故排除B;对于选项D,当x=3时,y=35>0,与图象不符,故排除D.故选A6.B∵定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+32)=f(12-∴f(x+32)=f(12-x)=-f(x-12),即f(x+2)=-f(x),则f(52)=f(2+12)=-f(12)=-(12)37.D因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(1)=f(3).因为函数y=f(x)在区间(0,2)上单调递增,所以函数y=f(x)在区间(2,4)上单调递减.因为2<52<3<72<4,所以f(72)<f(3)<f(52),即f(72)<f(1)8.B作出函数f(x)的图象,如图D1所示,图D1对于(2022f(x)-2021)(x-a)<0,当2022f(x)-2021<0,即f(x)<20212022时,x-a>0,即x>a,记A={x|x>a对于f(x)<20212022则x2<20212022,x≥0可得f(x)<20212022的整数解集为B={x∈Z|x≤-2或x=0}由题意可得,集合A∩B只有一个元素,即A∩B={0},则-2≤a<0,满足条件的整数a的取值为-2,-1.当2022f(x)-2021>0,即f(x)>20212022时,x-a<0,即x<a,记C={x|x<a对于f(x)>20212022则x2>20212022,x≥0可得f(x)>20212022的整数解集为D={x∈Z|x≥1或x=-由题意可得,集合C∩D只有一个元素,即C∩D={-1},则-1<a≤1,满足条件的整数a的取值为0,1.综上所述,所有满足条件的整数a的取值集合为{-2,-1,0,1}.9.ACD由题意可得,4α=2,解得α=12,所以函数解析式为f(x)=x,易得函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且为非奇非偶函数,故A正确,B错误;因为函数f(x)单调递增,所以当x>1时,f(x)=x>1,故C正确;由函数图象(图略)易得点(x1+x22,f(x1+x22))在点(x110.ABC函数f(x)的定义域为R,f(0)=0,当x>0时,-x<0,则f(-x)=-x1+x=-f(x),当x<0时,-x>0,则f(-x)=-x1−x=-f(x),所以,对任意的x∈R,都有f(-x)=-f(x),即函数f(x)当x≥0时,f(x)=x1+x=1-11+x,则函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,因为函数f(x)为奇函数,则函数f(x)在(-∞,0)上也为增函数,故函数f(x)在R当x≥0时,f(x)=1-11+x∈[0,1),因为函数f(x)为R上的奇函数,则当x<0时,f(x)=-f(-x)∈(-1,0),故f(x)∈(-1,1),所以,∀x∈R,|f(x)|<1,C对,D错.故选11.BCD对于A,取x=12,则[2x]=[1]=1,2[x]=2[12]=0,故A对于B,设[x]=x-a,a∈[0,1),所以[x]+[x+12]=[x]+[[x]+a+12]=2[x]+[a+12],[2x]=[2[x]+2a]=2[x]+[2a],当a∈[0,12)时,a+12∈[12,1),2a∈[0,1),则[a+12]=0,[2a]=0,则[x]+[x+12]=2[x],[2x]=2[x],故当a∈[0,12)时,[x]+[x+12]=[2x]成立;当a∈[12,1)时,a+12∈[1,32),2a∈[1,2),则[a+12]=1,[2a]=1,则[x]+[x+12]=2[x]+1,[2x]=2[x]+1,故当a∈[12,1)时,[x对于C,设[x]=[y]=m,则x=m+t,0≤t<1,y=m+s,0≤s<1,则|x-y|=|(m+t)-(m+s)|=|t-s|<1,因此x-y>-1,故C正确.对于D,由x2=3[x]+1知,x2一定为整数且3[x]+1≥0,所以[x]≥-13,所以[x]≥0,所以x≥0,由[x]2≤x2<([x]+1)2,得[x]2≤3[x]+1<([x]+1)2,由[x]2≤3[x]+1,解得3−132≤[x]≤3+132≈3.3,只能取0≤[x]≤3,由3[x]+1<([x]+1)2,解得[x]>1或[x]<0(舍去),故2≤[x]≤3,所以[x]=2或[x]=3,当[x]=2时,x=7,当[x]=3时,x=10,所以方程x2=3[x]+1的解集为{7,10故选BCD.12.[-1,2)由题意可得x-2≠0,-x2+x+2≥0,解得-1≤13.-3(-1,+∞)由f(x)为奇函数且x≥0时,f(x)=x2,可得f(-3)=-f(3)=-3.因为x≥0时,f(x)=x2单调递增,根据奇函数的对称性可知,f(x)在R上单调递增,故由f(1-2x)<f(3)可得,1-2x<3,解得x>-1,故不等式f(1-2x)<f(3)的解集为(-1,+∞).14.(-∞,-14]∪[18,+∞)当x∈[2,4]时,f(x)=-x2+4x,2≤x≤3,x2+2x,3<x≤4,可知f(x)在[2,3]上单调递减,在(3,4]上单调递增,所以f(x)在[2,3]上的值域为[3,4],在(3,4]上的值域为(113,92],所以f(x)在[2,4]上的值域为[3,92],因为f(x+2)=2f(x),所以f(x)=14当a=0时,g(x)为常函数,值域为{1},不符合题意;当a>0时,得-2a+1≤34,当a<0时,得-2a+1≥98,a综上,a的取值范围是(-∞,-14]∪[18,+∞15.(1)∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即ax2+2-3x+b=又f(2)=53,∴4a+26=53(2)由(1)知f(x)=2x2+23x=2x3+23x,则f(x)在(设x1<x2≤-1,则f(x1)-f(x2)=23(x1-x2)(1-1x∵x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1x2>1,1-1x1x∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在(-∞,-1]上单调递增.16.(1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(x-1)=k(x-1)+b=2x+a,则k=2,a=b-k=b-2,所以f(x)=2x+a+2.若选①f(a)=5,则f(a)=2a+a+2=5,解得a=1,f(x)=2x+3.若选②f(12)=4a,则f(12)=1+a+2=4解得a=1,f(x)=2x+3.若选③4f(1)-2f(2)=6,则4(4+a)-2(6+a)=6,解得a=1,f(x)=2x+3.(2)由(1)得,f(x)=2x+3,则g(x)=xf(x)+λf(x)+x=2x2+3x+2λx+3λ+x=2x2+(4+2λ)x+3λ,g(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=-2+λ当-2+λ2≤1,即λ≥-4时,g(x)max=g(2)=16+7解得λ=-2;当-2+λ2>1,即λ<-4时,g(x)max=g(0)=3解得λ=23(舍)综上,λ=-2.17.(1)因为a=4,所以y=64则当0≤x≤4时,由648−x-4≥4,解得x≥0,所以此时0≤x当4<x≤10时,由20-2x≥4,解得x≤8,所以此时4<x≤8.综上所述,若一次投放4个单位的药剂,有效治污时间可达8天.(2)当6≤x≤10时,y=2×(5-x2)+a[168−(x-6)-1]=10-x+16a14−x-a=(14-x易知14-x∈[4,8],因为1≤a≤4,所以4a∈[4,8],故y≥2(14-x)·16a14−x-a-4=8a-a-4,当且仅当14-x=4a,即x=14-4a时,y取得最小值8令8a-a-4≥4,解得24-162≤a≤4,所以a的最小值为24-162≈1.6.18.(1)f(x)=-(x-m2)2-m+m24,则当x=m2时,f(x)取得最大值-m+m24,则-m+m24=0,即m2-4m=(2)函数f(x)图象的对称轴是直线x=m2,要使f(x)在[-1,0]上单调递减,应满足m2≤-1,解得m≤-2,故实数m的取值范围为(-∞,-(3)①当m2≤2即m≤4时,f(x)在[2,3]上单调递减若存在实数m,使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3],则f(2)=3,f(3)=2,即②当m2≥3即m≥6时,f(x)在[2,3]上单调递增,则f(2)=2,f(3)=3,即-4+2③当2<m2<3即4