初中几何导角问题

几何导角基础技巧

常见几何导角模型

1.外角性质（小旗模型）

如图（a）：NBCD=ZA+NB

由ZA+ZB+ZACB=180和ZBCD+ZAC8=180得:

NBCD=NA+NB

2.“飞镖”模型

如图（b）：ZBDC=ZABD+ZA+ZACD

证明思路：

延长BD交AC于点E,在ACDE和\ABE中，

由ZABD+ZA=ZBEC和NBEC+ZACD=ZBDC得:

NBDC=ZABD+NA+ZACD

3.“8”字模型

如图（c）：ZA+ZB=ZC+ZD

证明思路：由NA+N8+NA08=180,

ZC+ZD+ZCOD=180,ZAOB=ZCOD

可得，ZA+ZB=ZC+ZD»

4.“内角平分线”模型

点P是NABC和NACB的角平分线的交点。

如图（d）：ZP=90c+-ZA

2

证明思路：由“飞镖”模型可得：

ZP=ZA+NABP+NACP

再利用角平分线的性质可得:

ZABP+ZACP=-(180°-ZA),进而可得：ZP=90°+-ZA

22

5.“内外平分线”模型

点P是ZABC和外角ZACD的角平分线的交点

如图（e）：ZP=-ZA

2

证明思路：由“小旗”模型可得：

NPCD=NPBC+NP,

2ZPCD=ZABC+ZA=2ZPBC+ZA

即可得出：

ZP=-ZA

2

6.“外角平分线”模型

点P是外角NCBF和外角NBCE的角平分线的交点

如图(f)：NP=90°—工/A

2

证明：NP=18(1—(NP3C+ZPCB)

=180°-1(ZFBC+ZECB)

=180°-1(2ZA+ZABC+ZACB)

=180,—g(NA+180°)

=90」NA

2

技巧与方法

三角形中倒角技巧及角分线重要结论

几何倒角技巧：

1.三角形内角和：三角形的内角和为180°

2.三角形外角定理：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和

3.角平分线：角的角平分线把这个角分为两个完全相等的角

4.直角三角形：直角三角形两锐角互余

5.平行线：平行线的性质

6等腰三角形：三角形等边对等角，底角相等

7.四边形内角和：四边形内角和为360°

8.三角形两大基本模型：“8字”模型和“飞镖”模型的角度关系

9.方程思想：设角度为未知数，利用上述倒角技巧找出等量关系

22

c=a+bc

A

知识点：三角形的高、中线和角平分线

1三角形的高

从AABC的其中一个顶点向它所对的边画垂线，交点作为垂足，

连接顶点到垂足的线段叫做AABC的高.每个三角形都有3条高.

(1)线段垂直(2)角度相等

知识点：三角形的高、中线和角平分线

2三角形的中线

连接AABC其中一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做

△ABC的中线.

知识点：三角形的高、中线和角平分线

3三角形的角平分线

把AABC任意一个内角平分为两个相等的小角的线段叫做

MBC的角平分线。

(1)角度相等

题型：三角形的高、中线和线段的应用

题型典例

1、如图，在aABC中，CE1AB,AD1BC,且AB=3,BC=6,则CE和AD有

怎样的数量关系。

解：根据SAABC=*DXBC=[CEXAB,得:

题型典例

2、康乐村张大爷的两个儿子都长大成人了，准备分家。于是张大爷准

备把如图的•块三角形宅基地平均分给两个儿广，两个儿上要求分成

的两块宅基地仍然是:角形,请你梢助张大爷提出种平分的方案。

BDC

题型：三角形的高、中线和线段的应用

题型典例

3、如图,已知AE是4ABD的角平分线，AF是AACD的角平分线，则下

列结论不正确的是（C）。

A.乙EAF=；UAB

K.4IMF=十""：

B

DFC

C.LDAF^-LEAF

I）.乙£"）二+乙HI。

士维：三角形的角平分现平分三角形的一个内角，运用三

向形的角平分线判断用的关系时会结合图形的A观性A晚宴.

三角形中倒角技巧及角分线重要结论

几何倒角技巧：

1、三角形内角和：三角形的内角和为180。.

2、三角形外角定理：三角形的外角等于与之

不相邻的两个内角之和.

3、角平分线：角的角平分线把这个角分成两

个完全相等的角.

4、直角三角形：直角三角形两锐角互余.

5、平行线：平行线的性质.

■

6、等腰三角形：三角形等边对等角，底角

=90°-；顶角，顶角=180。-2底角.

7、四边形内角和：四边形内角和360。.

8、三角形两大基本模型：”8字”模型和“飞镖”

模型的角度关系.

9,方程思想：设角度为未知数，利用上述倒

角技巧找出等量关系.

10、三角形常见倒角构图：

题型一：三角形中角的关系问题及角分线性质

【例I】⑴已知，如图，在△/1"，中，

^C=ZABC=2ZA,BDLAC,

则NDBC=

D

BC

⑵等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角

为3。，则顶角的度数为

⑶如图，在△T5C中,点/)是5c上一点

NB4O=80。，AB=AD=DC,则

ZC=______度.

1)

(4)如图，〃处在.4处的南偏西57的方向，C

处在A处的南偏东15°方向，C

■处在/，处的北偏东82方向.求NC的度数.

1

⑸如图，把AzlH纸片沿/）£折叠，当点.4落

在四边形。（。£内部时，则44与N1+N2

之间有一种数量关系始终保持不变，你发

现的规律是（

BEA.ZL4=Z1+Z2

B.2Z4=Z1+Z2

C.3zi4=2Zl+Z2

DD.3乙1=2（NI+N2）

【例2】如下图，△48(.是等边三角形，

Z.CBF：Z/1CO:NBAE=1：2：2,

NDEF-NDFE=38°.求出△D£T的每个

内角度数.

A

⑵若点M在射线8r上运动（不与点。重

合），其它条件不变，NOME的大小是

否随点M的位置变化而变化？清画出图

形，给出你的结论，并说明理由.

:-

【例4】如图，点£在C4延长线上OE、.48交于厂,

ZBDE=Z.AEF.ZB=ZC.

⑴说明.18与CD的位置关系，并予以证明:

⑵NE4尸与N3O尸的平分线交于点G,若

的补角比NF"的余角小10。，

求NG的度数

।蕤簿修薮一薮I

⑶在⑵的条件下，若M为线段。尸上一点,

户为线段OC上一动点，0为射线PC上

一点，且满足NWQP=N0MP,MN为

NFMP的平分线，当尸点在线段(7)上运

动时，求NN31。的度数.

【例5】(2)如图，△48C中,N48c的角平分线与外

角乙1(7)的角平分线交于4.

①请推导出N4与乙之间的数量关系，

并分别计算出当N.4分别为70。，8()。时乙4

的度数：

②NJ0C的角平分线与41。的角平分线

交于4,乙1/C与乙I?。)的平分线交于.

如此收续木去可得,4..........A,,谓直接

写出乙1“与乙d的数量关系.

【例5】③如图，对于任意若£为84延长线

上一动点，连£（144£C与N4CE的角平

分线交于Q,当£滑动时请说明+