5.4.1二项式定理的推导课件高二上学期数学北师大版选择性

4.1二项式定理的推导第五章计数原理北师大版

数学

选择性必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.能用多项式运算法则及基本计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础落实·必备知识一遍过知识点

二项式定理

二项式定理问题往往利用通项解决

(k+1)名师点睛1.展开式的特点:(1)展开式共有n+1项,各项中a,b的指数和都是n;(2)a按降幂排列,指数由n逐项减1直到0;b按升幂排列,指数由0逐项加1直到n.2.二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.通过对a,b取不同的特殊值,可使某些问题的解决更为方便.二项式定理通常还有如下三种常见变形.4.二项展开式的通项中b的指数和组合数的上标相同,a与b的指数之和为n.5.二项展开式的通项体现了二项展开式的项数、系数、a与b的指数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大项等)及系数等方面有着广泛的应用.思考辨析1.在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.试用分步乘法计数原理解释上述展开过程.提示

从上述过程可以看到,(a+b)2是2个(a+b)相乘,根据多项式乘法法则,每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项.于是,由分步乘法计数原理,在合并同类项之前,(a+b)2的展开式共有2×2=22(项),而且每一项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式.而且a2-kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数

,即a2-kbk的系数是

.2.你能根据上述问题的分析,写出(a+b)3的展开式吗?类比上面的写法,你能写出(a+b)n的展开式吗?自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)(a+b)n的展开式中共有n项.(

)(2)an-kbk是(a+b)n展开式中的第k项.(

)(3)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.(

)(4)(a-b)n与(a+b)n的二项式展开式的二项式系数相同.(

)×××√2.

展开式中的常数项为(

)

A.80 B.-80 C.40 D.-40C3.[苏教版教材例题]利用二项式定理展开下列各式:(1)(a-b)6;重难探究·能力素养速提升探究点一二项式定理的正用、逆用规律方法

1.形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是正确解答与二项式定理有关的问题的前提.2.逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是正负相间,那么是(a-b)n的形式.

★(2)化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.探究点二二项式通项的应用角度1.二项式系数与项的系数(1)二项展开式第4项的二项式系数;(2)二项展开式第4项的系数;(3)二项展开式的第4项.规律方法

1.二项式系数都是组合数

(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.2.第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为

.(1)求n的值;(2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数.角度2.求二项展开式中的特定项求:(1)展开式中第四项;(2)展开式中有理项的系数和.规律方法

求二项展开式的特定项的常用方法

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①若该二项式的展开式中前三项的系数成等差数列,求正整数n的值;②在①的条件下,求展开式中x4项的系数.角度3.多项式展开问题【例4】

(1)[2024河南郑州月考]在(x+y+2)5的展开式中,xy3的系数是(

)A.24 B.32 C.36 D.40D(2)(1+x)6展开式中x2的系数为(

)A.15 B.20 C.30 D.35C变式训练4(1)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(

)A.10 B.20 C.30 D.60CA.5 B.10 C.15 D.20C学以致用·随堂检测促达标123456789101112131415A级必备知识基础练1.[探究点一]二项式(a+b)2n的展开式的项数是(

)A.2n B.2n+1C.2n-1 D.2(n+1)B123456789101112131415A.60 B.-60 C.250

D.-250A1234567891011121314153.[探究点二(角度1)]在(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于(

)A.80 B.40 C.20 D.10B1234567891011121314154.[探究点二(角度3)](x2-x+2)(x-1)4的展开式中x的系数为(

)A.-9 B.-5 C.7 D.8A1234567891011121314155.[探究点二(角度2)](多选题)若

的展开式中含x2项,则n的值可能是(

)A.6 B.9 C.12 D.14BD1234567891011121314151234567891011121314156151234567891011121314151234567891011121314159.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8等于(

)A.180 B.-180 C.45 D.-45AB级关键能力提升练123456789101112131415A.(-1)n-1 B.(-1)nC.3n

D.3n-1A12345678910111213141511.在

的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值为(

)A.4 B.5 C.6 D.7B12345678910111213141512.(多选题)若(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则(

)A.a0=64B.a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1C.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36D.a3是a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6中的最大值ABC解析

∵(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,∴令x=0,有26=a0=64,故选项A正确;令x=1,有(2-1)6=1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,故选项B正确;令x=-1,有(2+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36,故选项C正确;又a3=·23(-1)3<a0,故选项D错误.故选ABC.123456789101112131415123456789101112131415-2012345678910111213141584123