2.2空间向量及其运算（第1课时）课件高二下学期数学选择性

2.2

空间向量及其运算第1课时空间向量的概念及其运算第2章空间向量与立体几何湘教版

数学

选择性必修第二册课标要求1.理解空间向量的有关概念.2.掌握数乘向量的运算意义及运算法则.3.理解向量共线定理,并能够解决实际问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1空间向量的基本概念1.空间向量的定义:在空间中,把既有

又有

的量称为空间向量.空间向量a的

称为a的模,记为

.

2.空间向量及其模的表示方法:大小

方向大小(或长度)|a|3.几类特殊的向量:零向量长度为0的向量,表示位移的

与

重合(即保持起点不动),记作0.规定0的方向可以是任意的

相等向量方向

,长度

相反向量方向

,长度

的向量

单位向量长度为

的向量

起点

终点相同相等相反相等1过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)空间向量就是空间中的一条有向线段.(

)(2)任意两个空间向量可以比较大小.(

)(3)只有零向量的模等于0.(

)2.空间向量的定义及表示方法,与平面向量的定义及表示方法有区别吗?××√提示

空间向量与平面向量没有本质区别,定义及表示方法都一样.知识点2空间向量的加减法1.空间向量的加减法:2.空间向量加法的运算律.(1)交换律:a+b=

.

(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).b+a名师点睛1.两个向量相加的平行四边形法则和三角形法则在空间中仍成立.求始点相同的两个向量之和时,可考虑用平行四边形法则,求首尾相接的两个向量之和时,可考虑用三角形法则.2.空间向量加法运算的交换律和结合律:结合图(a)可以证明交换律,结合图(b)可以证明结合律.(a)(b)如结合律证明:3.根据向量加法的三角形法则,首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.求空间若干向量之和时,可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)两个相反向量的和为零向量.(

)(2)平行四边形法则和三角形法则对任何向量都适用.(

)(3)三个不共面向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量.(

)2.空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法相同吗?√×√提示

因为空间中任意两个向量均可平移到同一平面内,所以空间向量与平面向量均可用三角形或平行四边形法则,是相同的.知识点3向量与实数相乘1.向量a与λa(λ∈R)的关系:λ的范围方向关系模的关系λ>0方向相同|λa|=|λ||a|λ=0λa=0,其方向是任意的λ<0方向相反这里是涉及同向共线的,还可以有反方向共线的

3.向量共线定理:对于空间任意两个向量a,b(a≠0),若b=λa(λ∈R),则b与a

,记作b∥a.

λ是唯一的

共线(或平行)4.空间向量与实数的乘法运算律:(1)λ(a+b)=

(对向量加法的分配律).

(2)(λ1+λ2)a=

(对实数加法的分配律).

名师点睛当两向量a,b不共线,且λa+μb=0时,则λ=μ=0.λa+λbλ1a+λ2a过关自诊1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若b=λa(a≠0),则λ=.(

)(2)若a与b共线,则存在唯一实数λ,使b=λa成立.(

)(3)若a,b,c为空间的三个向量,且a∥b,b∥c,则a∥c.(

)×××2.向量共线定理b=λa中为什么规定a≠0?提示

若a=0,则b=0时λ不唯一,b≠0时,λ不存在.重难探究·能力素养全提升探究点一空间向量及相关概念的理解②③

解析

①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;②正确,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;规律方法

空间向量的有关概念应注意的问题(1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可;(2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1;(3)两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件;(4)空间向量可以根据需要进行平移.变式训练1(多选题)下列说法正确的是(

)A.两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=bD.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=pCD解析

当两个空间向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等,不一定起点相同、终点也相同,故A错误;易知B错误;C,D显然正确.变式训练2如图所示,在以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中:探究点二空间向量的线性运算变式探究3本例中若O是B1D1的中点,其他条件不变,如何用a,b,c表示?规律方法

1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.(2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.2.化简空间向量的常用思路(1)分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.(2)多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.(3)走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).探究点三空间向量共线定理及其应用角度1.证明三点共线【例3】

(1)[北师大版教材习题]写出A,B,C三点共线的一个充分条件.

规律方法

证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.角度2.利用向量共线定理求参数

规律方法

根据两向量共线求参数的方法

变式训练4若e1,e2是空间两个不共线的向量,则使ke1+e2与e1+ke2共线的k的值为

.

1或-1解析

若ke1+e2与e1+ke2共线,则有ke1+e2=λ(e1+ke2).所以k的值为1或-1.本节要点归纳1.知识清单:(1)空间向量的基本概念;(2)空间向量的加减法;(3)向量与实数相乘.2.方法归纳:利用向量的概念求解有关问题;利用平行四边形及三角形法则求解几何图形中的向量运算;利用向量共线定理求解向量共线问题.3.特别提示:向量可以根据需要进行平移;涉及向量共线问题,应注意向量是否为非零向量;数乘向量的结果仍然是向量;向量共线定理中b=λa要求a≠0.成果验收·课堂达标检测123451.(多选题)下列说法正确的是(

)B.零向量没有长度,所以它不是空间向量C.同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量D.空间中任意两个单位向量必相等6AC解析

选项A中的两个向量互为相反向量,所以它们长度相等;空间向量并不是一个立体图形,只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量,所以B错误;C是相等向量定义的另外一个说法;我们研究的向量是自由向量,只要向量相等都可以移动到同一起点,空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向