1.3.1等比数列及其通项公式（2知识点6题型强化训练）（原卷版）

1.3.1等比数列及其通项公式课程标准学习目标（1）通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义;（2）能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题。（1）掌握等比数列的概念，会证明某数列是等比数列;（2）掌握等比数列的通项公式，会求某等比数列通项公式.（难点)（3）利用等比数列解决实际生活问题。知识点01等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为q.代数形式：anan-1=q(q是常数，n≥2)或解析(1)公比是每一项与它的前一项的比，常数指的是与n无关;(2)等比数列中an≠0,q≠0(否则数列会出现0,不可能符合等边数列定义(3)anan-1an+1anan+1a【即学即练1】已知an,bA．an+bn B．an⋅知识点02等差数列的通项公式等比数列an的首项为a1，公比为q，则an解析(1)证明由等比数列的定义可得，an所以a2a1=q,a3a把以上n-1个等式累乘可得ana1=当n=1时，a1=故an以上的方法称之为累乘法.(2)通项公式an=a1q(3)等比数列的通项公式可整理为an=a1qn-1=a1q∙qn,当(4)偶数项的正负、奇数项的正负相同(a2na2n-1=【即学即练2】已知等比数列an的前三项和为13，a6-6a5A．81 B．243 C．27 D．729【题型一：由定义判定等比数列】例1．已知数列an是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（

A．a2n BC．an+a变式11．设命题p：数列an是等比数列，命题q：数列a2k-1和a2kk∈N*均为等比数列，则A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式12．等差数列an的前项n和为Sn，且an∈NA．数列2an一定是等比数列 B．数列C．数列Snn一定是等差数列 D．数列【方法技巧与总结】证明某数列an是等比数列，可采取定义法，只需要证明anan-1【题型二：由递推公式证明等比数列】例2．已知数列{an}满足a1=1A．{an+3} B．{an-3}变式21．已知数列an满足an+1=3an+2，则“a1=-1”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件变式22．在数列an中，a1=1．若命题p:an+1+an=A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【方法技巧与总结】要由递推公式证明某数列是等比数列，常见的方法也是采取定义法.【题型三：求等比数列的通项公式】例3．若等比数列an的各项均为正数，且3a5，1A．3 B．6 C．9 D．18变式31．设x,x+10,x-5是等比数列an的前三项，则an=A．-4×-32n-1 B．-4×-3变式32．等比数列an中，a1=1，a5=-8a2A．(-2)n-1 B．-(-2)n-1 C．(-2)变式33．已知数列an满足a1=2，a2=-1，数列3anA．3n-1+(-2)n-1C．2n-1+(-3)【方法技巧与总结】要求等比数列的通项公式，首先要确定数列是等比数列，由通项公式an=a1qn-1【题型四：等比数列通项公式的基本量计算】例4．在各项均为正数的等比数列an中，6a1，12a2，-aA．14 B．28 C．42 D．56变式41．在等比数列an中，a1+a4=8，A．19 B．49 C．1 D变式42．已知an是正项等比数列，若4a1,1A．3 B．4 C．5 D．6变式43．数列an的前n项和Sn满足Sn=12SA．-7 B．-6 C．6 D．7【方法技巧与总结】求等比数列的基本量，往往采取列方程组的方法求出首项a1和公比q便可，后面学了等比数列的性质还有更简便的方法【题型五：实际问题中的等比数列】例5．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列an本身不是等差数列，但从数列an中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列bn，则称数列an为一阶等差数列，或者bn仍旧不是等差数列，但从bn数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列cn，则称数列an为二阶等差数列，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列1，1，2，8，A．210 B．215 C．221变式51．折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（

）A．28 B．18 C．24变式52．分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第3个正方形的边长为（

）

A．4 B．8168 C．6 D【方法技巧与总结】在实际问题中，理解题意是关键，能在题中提炼出等比数列的有效信息，把自然语言化为等比数列的符号语言，把实际问题转化为求等比数列基本量的问题求解.【题型六：等比数列通项公式综合运用】例6．设数列an的前n项和为Sn．已知a1(1)求数列an(2)若bn是公比为4的等比数列，且b1+a1，b2+a2变式61．已知等比数列an满足a1⋅a5=4aA．12 B．13 C．14 D．15变式62．正项数列an中，an+1=kan（k为实数），若aA．3,9 B．3,9 C．3,15 D．3,15变式63．设数列an的前n项和为Sn,a1=1，且2Sn=an+1-1A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4变式64．已知数列an满足a1=2(1)证明：数列an(2)在ak与ak+1之间插入k个数，使得这k+2个数组成公差为3k变式65．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”．如数列1，2第1次“和扩充”后得到数列1，3，2，第2次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2．设数列a，b，c经过第n次“和扩充”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为S(1)求P1(2)若Pn≥2024，求(3)是否存在实数a,b,c，使得数列{Sn}一、单选题1．已知正项等比数列an，a2-a1=1，当A．an=2C．an=22.在递增的等比数列an中，a1，a5是方程x2-34x+64=0A．4 B．12 C．24 D．12或243.在高层建筑中，为了优化建筑结构，减少风荷载影响，设计师可能会将建筑设计成底面楼层高度比较高，随着楼层往上逐步按照等比数列递减的“金字塔”形状，已知某高层建筑共10层，第2层高度为43m，第n层高度记为anm，an是公比为32的等比数列，若第k层高度小于A．6 B．5 C．4 D．34.数列an的前n项和为Sn，若a1=1，Sn+1A．32023-2 BC．32025-2 D5.已知等比数列an是递减数列，且a3+a4A．12,1 B．13,1 C．6.设为Sn等差数列an的前n项和，已知S1、S2、S4成等比数列，S2=2A．6 B．7 C．8 D．97.在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（n∈N*）次得到的数列的所有项之和为Tn，则TA．1095 B．3282 C．6294 D．98438.已知公比为负数的等比数列an的前n项积为Tn，且a2=-16,a6=-1，记Tn的最大值为A．4 B．32 C．16 D．8二、多选题9．已知等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项积为TA．an+bn不可能为等比数列C．Snn是等差数列D．10.在数列an中，已知a1=3．当n∈N*A．a2=3 B．a4-a3=2711.已知数列an，bn满足an=bA．b3=4a1+2 BC．当b1=0时，an是等差数列 D．当b三、填空题12．公差大于零的等差数列an中，a5，7a3，a11成等比数列，若13.已知数列an满足an+2=3an+1-2an，a114.已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为（用数字作答）.四、解答题15．已知等比数列an的公比q>0，且a3+(1)求an(2)若数列bn满足bn=λ⋅3n16.已知数列an的首项a1=3，且满足a(1)求证：数列an(2)记bn=log2an-1，求数列117.已知公比大于1的等比数列an满足a3=8，且a1、(1)求数列an(2)记bm为an在区间0,m（