人人获得良好的数学教育20130815

人人获得良好的数学教育

——《义务教育数学课程标准（2011版）》介绍北京顺义教育研究考试中心张秋爽课程改革应是一个良性循环的过程

决策过程评价与反馈实施过程设计过程

“人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”，改为“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。核心理念良好的数学教育：有“后劲”的良好的数学教育对于学生来说是适宜的、满足发展需求的教育良好的数学教育是全面实现育人目标的教育良好的数学教育是促进公平、注重质量的教育良好的数学教育是促进学生可持续发展的教育小调查

写出你阅读《标准》的目的是什么？请写出3条，并排序。阅读《标准》的可能目的课程内容的变化，什么增了，什么减了……课程内容和要求。课程的主线和核心概念。义务教育阶段到底要实现什么目标。

思考数学教育的基本问题：数学的本质、数学教育的目的、学习活动的本质…………一、修改后的基本框架二、课程目标——总目标三、核心概念与内容主线四、具体内容的变化一、修改后的基本框架

前言：数学和数学教育的价值、课程性质、基本理念、设计思路（含核心概念）。课程目标：总目标、学段目标课程内容：分学段按照数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践分别阐述实施建议附录：有关行为动词的解释、案例基本理念课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。教学活动（1）

将“数学学习”和“数学教学”两条合并成一条“教学活动”，整体上阐述数学教学活动的特征。表述为：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”教学活动（2）

数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。教学活动（3）学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教学活动（4）

教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。二、课程目标在目标的结构上仍按：总体目标总体表述知识技能数学思考问题解决情感态度学段目标第一学段第二学段第三学段

1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。

二、课程目标——总目标《新标准（2011版）》的重大进展1：基础知识基本技能“双基”基础知识基本技能基本思想基本活动经验“四基”四基体现了“全面知识观”“显性”基础知识基本技能基本思想基本活动经验“四基”“隐性”分析问题能力解决问题能力“两能”发现问题能力提出问题能力分析问题能力解决问题能力“四能”《标准（修订稿）》的重大进展2：数学的基本思想。

数学产生与发展所依赖的思想学习数学以后具有的思维能力抽象：把与数学有关的知识引入数学内部推理：促进数学内部的发展模型：沟通数学与外部世界的桥梁抽象三个层次：

抓住事物特征、语言表达；抓住事物本质、符号表达；抓住事物关联、模型表达。数学思想处于“数学的基本思想”下一层次的数学思想，还有很多。数形结合、函数、方程、分类、转化等数学活动经验

史宁中指出：“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验”。活动经验包括什么（张奠宙等）

直接数学活动经验:直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验间接数学活动经验:创设实际情景构建数学模型所获得的数学经验专门设计的数学活动经验:由纯粹的数学活动所获得的经验

活动经验包括什么（张奠宙等）

意境联结性数学活动经验:通过实际情景意境的沟通,借助想象体验数学概念和数学思想的本质

这类数学活动经验,不是直接产生于某种实际活动,而是将抽象的数学概念和法则,借助举例、比喻、联想等方法,寻求某种具体的形象化的支撑,获得具体的意象固着点,获得某种相对现实的数学经验.

活动经验包括什么（徐斌艳）

基本的数学操作经验；基本的数学思维活动经验；发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验”。

对数学活动经验的理解（张丹）

第一，基本活动经验是在学生的生活经验基础上，在特定的数学活动中积累的。情境的作用——原型（元角分、温度计）探究过程、思考过程、反思过程

数学活动经验的理解（张丹）

第二，基本活动经验是一种组合体，包括了数学活动中的主观体验、以及获得的客观认识；包括数学活动的结果，更包括活动的过程。

第三，数学活动经验的类型目前还没有统一，但其核心应该是如何思考的经验，促进学生学会运用数学的思维方式进行思考。

对数学活动经验的理解（张丹）

第四，数学活动经验最终可以帮助学生建立自己的数学现实和数学学习的直觉，这种直觉一旦生成，在后续学习和问题解决中将起到重要作用。由此可见，数学活动经验既是数学学习的产物，也是学生进一步认识和实践的基础。第五，基本活动经验的积累，大致需要经过“经历、内化、概括、迁移”的过程。

通过活动积累对平面图形特征的经验学生方法1：把圆的四边去掉变成正方形，但我们不知道这4个部分怎样求？……

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。学生方法2：可以在圆上画方块，如果不足一个方块可以用其他地方的方块来补，但我们不知道怎样补最合适？

数学活动经验的理解（张丹）

对于广大教师而言，一个当务之急的研究就是寻找基本活动经验的“证据”，即在具体的数学活动中，学生的经验体现在什么地方？他们为什么会存在这样的经验……

积累和设计好的活动……

我对数学活动经验的理解

首先，让学生经历操作的过程：从小事情、小发现中积累数学活动经验。

其次，让学生经历思考的过程：在反思中积累思考的经验。

再次，让学生经历概括的过程，积累数学表达的经验。

最后，让学生经历应用的过程积累应用的经验，感受数学的价值性。发现和提出、分析和解决问题这也体现了“从头到尾”思考问题的理念。启发学生思考的最好的办法是教师与学生一起思考，一起发现和提出问题，一起分析和解决问题。教师要能暴露自己的思考路径，教学中为什么要提出这些问题供大家思考，遇到情境可以从哪些方面提出问题，遇到这些问题后应该从哪些角度来分析，解决了这个问题又可以提出哪些新的问题。

综合与实践“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。提倡把这种教学形式体现在日常教学活动中。综合与实践选题：发现并选择可以研究的问题，并清晰地加以表述。开题（或称为“析题”）：通过分析、讨论，进一步明确需要解决的问题，设计合理可行的解决问题的方案和步骤。做题：通过自主探究、合作交流等实际操作环节，实施解决问题的方案，得到解决问题的成果。结题：总结、反思并交流解决问题的成果、解决问题的过程、收获或体会、进一步研究的问题等，并开展自评、互评和他评。三、核心概念与内容主线

提出了10个核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。提出核心概念的意义学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养；核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键；核心概念本质上体现的是数学的基本思想；这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。

与《实验稿》相比，在这10个核心概念中：

有一些是新增加的：运算能力、模型思想、几何直观、创新意识；

有一些是名称或内涵发生较大变化的：数感、符号意识、数据分析观念；

有一些是保持了原有名称，基本保持了原有内涵：空间观念、推理能力、应用意识。这10个核心概念可以分成三层。第一层，主要体现在某一内容领域的核心概念。数感、符号意识、运算能力主要体现在数与代数领域，空间观念主要体现在图形与几何领域，数据分析观念主要体现在统计与概率领域；第二层，体现在不同内容领域的核心概念，包括几何直观、推理能力和模型思想；第三层，超越课程内容，整个小学数学课程都应特别注重培养学生的应用意识和创新意识。1.数感数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。数与数量的感悟

实际上就是建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，这既包括从数量到数的抽象过程中，对于数量之间共性的感悟；也包括在实际背景中提到一个数时，能将其与现实背景中的数量联系起来，并判断其是否合理。如小学生看100本书，在7000平方米中有两只东北虎。数星星

刘翔7秒66？我自己跑50米，9秒；刘翔110米栏，12秒91

2.13-0.27-0.23篮球价钱运货10000粒大米，如何带走？A.书包B.麻袋C.汽车D.大碗汽车62.5%

向课前延伸，向课后延伸数100粒豆子、100粒花生；10000个人；10000张纸；10000个跳绳；10000个字例31200张纸大约有多厚？你的1200步大约有多长？1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地？

通过对1200在不同情境中的意义的了解，感受数与生活实际的关系。视频：张伟《万以内数的认识》例4说出与日常生活密切相关的数及其表达的事情。[说明]对小学生来讲，日常生活中用数来表示的例子很多，如，学号、班级人数、身高、物价、重量、距离等。教学中要引导学生自己去发现，相互交流，从而体会数的意义和作用。数量关系的感悟量与量之间关系（大小、函数——线性函数的增长率）的感觉。比如，出租车对时间和路程之间关系的感悟。从家到学校的时间：步行、骑车、坐汽车等大约用的时间，去商场买东西估算价值是否够？运算结果的感悟（估计）比如：乘一个真分数的结果小于原来的数。例279.9×6.9比70小吗？

估算的要求能结合具体情境，选择恰当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”（一学段）在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（二学段）估算的例子

例6：学校组织987名学生去公园游玩。如果公园的门票每张8元，带8000元钱够不够？估算的例子本例的目的是希望学生了解在什么样的情境中需要估算，能结合具体情境，选择适当的单位是第一学段估算的核心。比如，在此例中适当的方法是把987人看成1000人，所以适当的单位是“1000人”。一般来说，估计教室的长度时，通常以“米”为单位；估计书本的长度时，通常以“厘米”为单位。也可以用身边熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等。350名同学要外出参观，有7辆车，每辆车56个座位，估一估够不够坐？①7×56≈350（个）350个=350个

看作50②7×56≈420（个）420个>350个看作60小估合适车重986千克，这辆车可以过桥吗？共6箱限重3吨每箱重285千克3t大估合适2.符号意识符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。“数的认识”的学习中唤醒符号意识（1）足球比赛，中国国家队上半场进了2个球，下半场丢了2个球。（2）学校四年级共转来25名新同学，五年级转走了10名同学。（3）张阿姨做生意，三月份赚了6000元，四月份亏了2000元。“数的运算”的学习中建构数学符号

二（1）班有男生24人，女生16人，要同时乘船过河。每条船限乘8人，至少需要几条船？生1:24＋16=40（人）40÷8=5（条）生2:24＋16÷8=5（条）生3:（24＋16）÷8=5（条）生4:24÷8＋16÷8=5（条）3种3种2种2种2种字母表示数正反比例方程一般性表示和运算等量关系变化规律模型在“式与方程”的学习中感受符号的简洁性在“正比例、反比例”的学习中感受符号表达的多样化在“探索规律”的学习中凸显符号推理的一般性3.空间观念空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。空间想象力主要体现在诸如一维、二维、三维空间中方向、方位、形状、大小等空间概念的理解水平及其几何特征的内化水平上，体现在对简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转以及分割和叠合）上，以及对抽象的数学式子（算式或代数式）给予具体几何意义的想象解释或表象能力上。图形与几何“图形的认识”“测量”“图形的运动”“图形与位置”(1)根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体长方形正方形三角形圆面在体上，面来源于体从实物中抽象出几何图形，从图形想到实物从正面看从上面看从左面看

青

根据下图中的数据，填出展开图中每条边的长度。（单位：厘米）由体想象面下图中不能折成正方体的是（

）。由面想象体4.534由框架想到面

认识图形过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验，发展学生空间观念教学中应当予以充分的重视。2.想象出物体的方位和相互之间的位置关系眼观六路，耳听八方？会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。给定东、南、西、北四个方向中的一个方向，能辨认其余三个方向，知道东北、西北、东南、西南四个方向，会用这些词语描绘物体所在的方向

第一、二学段“图形与位置”的内容是按两条线索展开的：一是确定物体的相对位置；二是辨认方向和使用路线图。

五种小动物分别住在哪？填在图中。

小猫在小狗的北面；小猫在小猪的南面；小猴在小猫的东面；①小狗在小猪的()面；②小兔在小猫的()面。

第二列第三列第四列第六列

第五列第一列0(3,2)第七行第六行第五行第四行第三行第二行第一行

目前，教材中有两种确定位置的方法，它们实际上分别对应了中学要学习的平面直角坐标系和极坐标系，它们都是平面上确定位置的方法。（3）描述图形的运动和变化平移、旋转、翻转、图形的放缩（实物、图片—图形；形式上和方向上）对称（轴对称、中心对称）图形的运动合同运动相似运动形状和大小不变，仅仅位置发生变化形状不变而大小变化图形的运动有哪些主要方式？合同运动（全等变换、保距变换）平移旋转轴对称图形的运动有哪些主要方式？如上图，如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。图形的运动有哪些主要方式？

如上图，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要两个要素：旋转中心、旋转角(有方向)。图形的运动有哪些主要方式？图形的运动有哪些主要方式？反射变换（轴对称）的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。例15图4中哪些图形通过平移可以互相重合?第一学段，侧重于对这三种运动的直观认识。第二学段，对于这三种运动，借助在方格纸上画图去定量刻画图形的运动，并通过丰富的活动体会三种运动的特征。案例：方格图中的图1向右平移（）个格得到图2．在方格纸中，涂（

）号与（

）号小方格可以使阴影部分对称。

A.1，3B.3，6C.3，5D.5，6活动角锐角——直角——钝角——平角图形对折；运动——角的变化角之间的关系从运动变换的角度认识图形运动：面动成体光盘摞起来就是圆柱从运动变换的角度理解度量（4）依据语言的描述画出图形等。根据特征画出图形（平面、立体的）这里要求的想象空间是开放的，可以是具体的图形，也可以是具有某种大小或位置关系的图形等等。图形之间的关系：帮助学生在图形测量活动中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养空间观念。变换是图形自身的一种属性，变换是日常生活中常见的一种现象，变换是今后数学课程发展的重要趋势，国际课程比较中，都把变换作为课程内容的重要组成部分。学习图形的变化的意义在长方形中，整齐地排列着一些小正方形（如图），假设每个小正方形的边长都是1厘米求这个长方形的周长和面积。空间观念的课程载体二维图形和三维图形的转换——展开与折叠、截一个几何体、视图与投影；图形变换——轴对称、中心对称、平移、旋转、放缩；空间观念的核心要素——想象113在图形与几何领域的教学中提四点建议：1.现实情境和学生经验是发展空间观念的基础2.把握好空间观念、几何直观、推理能力、应用意识等核心概念；转变观念，关注过程，淡化结论；3.通过开展观察、操作、想象等活动使学生经历学习过程，感悟数学思想，积累数学活动经验。从而发展学生的空间观念。图形与几何——多角度刻画图形

性质到证明

大小到度量

运动到变换

位置到坐标魂平面图形立体图形---联系不同角度观察展开、折叠旋转切割刻画图形与几何——多角度刻画图形

性质到证明

大小到度量

运动到变换

位置到坐标4.几何直观几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。几何直观能利用图形描述问题，能利用图形发现解决问题的思路，能借助图形理解和记忆我们所得到的结果。空间观念从本质上是一种感觉；而几何直观是建立在概念及其关系上的直觉。运用图来分析问题和解决问题；运用图直观表示正反比例关系；利用统计图来直观地描述数据等。3个5个2个5个王笑晖对三年级学生学习分数后的测试猴弟弟摘了4只桃，猴哥哥比它多摘3只，两个共摘了多少只？学生的图线段图44

3第一天：第二天：65辆51黄色部分表示多少？一个长方形表示120，120÷4＝30黄色部分表示多少？一个三角形表示90，90×6＝540黄色部分表示多少？红色部分表示180，整个图形表示480，黄色部分表示多少？红色黄色整个图总数180份数353008480180÷3×5＝60×5＝300480÷8×5＝60×5＝300★根据图表中的信息，提出问题并解答。总数63份数7学习提示：①解答；②填表；③小组交流；问题：表示36的图形怎么画？★表示36的图形。问题：表示36的图形怎么画？问题：表示45的图形怎么画？例54小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了10分报纸后，用15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系？哪一个图形是表示母亲的行走过程？周长一定的长方形和正方形，面积谁大谁小？尝试的方法：周长是20厘米；

长是9，宽是1；

长是8，宽是2；

长是7，宽是3；……1928195一九得九二八十六三七二十一四六二十四五五二十五

5×5=254×6=243×7=212×8=16

1×9=9

两者都建立在图的基础上，重视基本图形。实物到图形，图形到实物，是两者重要的载体。图形的运动。空间不仅限于几何的范围，是数学上非常重要的内容。几何直观能够把难的数学问题变得容易一些。如何从数学上理解空间观念和几何直观图形可以帮助我们刻画描述数学问题，图形可以帮助我们找到解决数学问题的思路，图形能帮助我们理解和记忆我们所得到的数学结果。

——希尔伯特如何培养几何直观？在教学中使学生逐步养成画图习惯重视变换——让图形动起来学会从“数”与“形”的两个角度认识数学掌握运用一些基本图形解决问题5.数据分析观念了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律，数据分析是统计的核心。

数据分析观念

数据意识（思维方式）数据是蕴涵信息的（数据处理的过程和方法）根据背景选择合适的方法数据的随机性数据是蕴含信息的，信息是可以提取的，信息是为人们服务的数据的随机性

数据的随机主要有两层涵义：一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的；另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。两个案例：摸球、上学时间

设计问题情境使学生体会需要收集数据。分析数据能帮助我们做什么。

列举和积累统计应用的例子。开展一些实践活动。发展学生数据分析观念的教学策略

收集学生感兴趣的问题收集媒体中的数据注意生活中的摸奖游戏调查学生感兴趣的活动（五一小学）与学生和其他老师合作设计了8个统计实际活动的例子：1.统计爸爸一周开车次数；2.统计保安敬礼次数；3.统计每天写作业时间；4.统计作业本小印章数量；5.统计家里一周扔几个塑料袋；6.统计放学后户外活动时间；7.统计一年级同学掉牙情况；8.统计最爱收看的电视节目。

（大家猜猜排名前三位）一年级五个班、二年级四个班共计360人：1.统计最爱收看的电视节目。（感兴趣人数215人）2.统计生字作业里“书写好”小印章的数量，评比“书写小标兵”。（80人）3.统计爸爸一周开车次数。（74人）

[说明]本活动适合于本学段的各个年级，可以在要求上有所区分。按颜色分：蓝色和黄色；按数量分：2个孔；4个孔；按形状分：圆的、方的——一种维度颜色+数量：2个孔蓝色的、4个孔蓝色的、2个孔黄色的、4个孔蓝色的形状+数量：圆的2个孔、方的2个孔、

圆的4个孔、方的4个孔颜色+形状：蓝色的圆形、蓝色的方形、

黄色的圆形、蓝色的方形；颜色+数量+形状：2个蓝色的圆、2个黄色的圆2个蓝色的方、2个黄色的方4个蓝色的圆、4个黄色的圆4个蓝色的方、4个黄色的方

同一标准下，分类结果的唯一性；不同标准下，分类结果的多元性；

总数相等韩国小学数学“分类”内容的设计特点及启示

崔英梅孔凡哲

“分类”是统计学的基础。在我国小学数学课程中，“分类”隶属于“统计与概率”领域。韩国小学数学课程的“统计与概率”领域中也有“分类”内容，并且也是从一年级以“分类”为内容开始渗透统计的思想方法。我国小学数学教科书主要以“分一分”的方式，重在分类标准的选择。而韩国小学数学教科书以“按一个标准调查”“和按一个标准调查后数一数”两个课程内容，重在数据的调查和按一个标准统计的过程。请讲一讲我们班小朋友喜欢吃的水果都有哪些。韩国小学数学教科书“分类”内容的设计特点就韩国小学数学教科“书分类数一数”单元的设计而言，其课程设计主要有如下一些突出特点：1.按一个标准调查。活动1：请调查一下我们班小朋友喜欢吃的夏季的水果。活动2：请调查一下我们班小朋友喜欢的游戏。足球跳皮筋呼啦圈跳绳跑步足球跑步呼啦圈足球跑步篮球捡石子请讲一讲我们班小朋友喜欢的游戏有哪些。2.按一个标准调查后数一数。活动1：请调查一下我们班学生想送给朋友的生日礼物有哪几种。饼干头卡子橡皮玩具文具盒便签贴笔记本橡皮饼干笔记本请按礼物的种类数一数人数。活动3：趣味游戏。（1）请调查一下我们小组小朋友最喜欢的科目。（2）请按喜欢的科目类别数一数人数。活动4：解决问题。经调查，英姬班级的小朋友想钉的纽扣有以下几种：

(1)请按颜色数一数个数。（2）请按纽扣眼儿数数一数个数。活动5：生活应用。喜欢读书的小朋友的照片如下图。（

1）数一数有几名戴眼镜的男生。（2）数一数有几名没有戴眼镜的男生。（3）数一数有几名戴眼镜的女生。（4）数一数有几名没有戴眼镜的女生。

韩国小学数学教科书呈现了“分类”“和数一数”的过程，先让学生学习“按一个标准调查”，即按一个标准分类，再学习“按一个标准调查后数一数”。这样的设计方式降低了学生学习分类的难度，而且又让学生轻松地掌握了分类的基本原则。

韩国小学数学教科书的这种编排方式，立足于让学生了解数据是通过调查而来的，而调查来的数据是需要统计的。统计的前提是分类，即按一个标准分类。而我国小学数学教科书主要立足于让学生发现分类需要按一个标准。相比之下，韩国的处理方式符“合中小学统计课程设计、教学设计的主线应该体现从收集数据到统计推断的全过程，建立统计直观”，更利于学生建立统计观念。统计在义务教育阶段处理的数据主要是用数来表达的，当然这些数都是有实际背景的。脱离实际问题的单纯地数的研究是数与代数的内容，不是统计的内容。但是，这些年随着信息的迅速增长，我们需要扩大对数据的认识。事实上，现在的数据不仅仅是数，图是数据、语句也是数据。只要蕴含着一定信息，无论是什么表现形式，就是数据，统计能帮助人们从这些数据中提取出大量的信息。（史宁中）

《标准》在三个阶段都提出了相应的要求，这也成为了统计内容的首要主线。在第一学段中，提出“经历简单的数据收集和整理过程”；在第二学段中，提出“经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程（可使用计算器）”。数据分析过程收集数据：方法；好的数据整理数据：统计图表的格式和绘制规则是必不可少的，选择什么样的方式呈现数据描述：集中趋势的描述和离中趋势的描述数据分析：“读图时代”；得出结论：判断、推断、决策

有这么一件事，小明的奶奶有一天来到学校，反映作业负担太重。说孩子前一天写作业整整用了90分钟。校长听后请奶奶先回去，并跟奶奶说，明天我会给您一个满意的答复。同学们，你要是校长，接下来你会做些什么呢？生1：我要是校长，我会去问老师是否昨天留的作业太多了。生2：你问了老师肯定说不多，我想应该让老师把昨天的作业做一遍，看看是不是要很长时间。生3：那不行，你想啊，老师是大人，而小明是学生，大人知识那么多，做题肯定比小孩熟练，时间一定短呀，不能这样比！生2：哎——你说的对呀，那我们就找一个学生来做。生4：那万一你找的这个学生也很慢呢，或者他是班里作业最快的学生，怎么比呀？生2：那——我们多找几个人不就行啦？生4：这还差不多！师：看来大家的最终意见是要把小明的作业时间和别的同学比较一下，对吗？我这里就有一张全班同学作业时间的记载表，来看看。师：校长拿着这个表格就想了：这么多数，奶奶的眼睛不都看花了，需要整理一下。你觉得该以多长时间为一段进行统计呢？生1：我看按照时间长短进行排列就能看出来全班作业时间的情况，不用分时间段。师：这方法可以，但是为了奶奶看得更清楚，我们是不是可以分段来统计呢？生2：对，我看30分钟一段就行。生3：10分钟一段也行吧。生4：15分钟一段也行！师：大家说的都可以，一般在时间间隔比较短的时候我们采用15分或30分一段。投影出示：方法1：按时间段统计；方法2：分学号1-10号；方法3：1人读数据，3人记录那么现在你作为校长拿着这个统计结果要对奶奶说些什么呢？生1：（姓王）我要对奶奶说，您看表格能看出来，您家孙子做作业的时间最长，60分以上就他一个，别人都在60分以下，说明是他自己可能边做边玩不用心，您应该教育教育他。师：嗯，王校长是这么看的，其他校长呢？生2：我会对奶奶说，您看表格就知道，全班那么多人都在30分之内做完作业，只有很少的人时间比较长，而您孙子时间最长，说明问题不在老师身上，在您孙子自己不会抓紧时间。师：说的也有道理！那能否结合统计的具体数据来说服奶奶呢？生3：我会这样对奶奶说，您看，15分（手指第一个表格统计结果）以内1人，人很少；15-30分有34人，这个时间段人最多；31-45分有7人，人数第二多，但比起15-30分人就少多了；46-60分有2人，60分以上的有1人，这些人数都不多。这个结果就说明老师留的作业是比较适合大多数学生的作业时间的，奶奶应该考虑是自己孙子的问题了。师：大家刚才说的都挺有道理。可是，我倒觉得小明也许就是个好孩子呢？你们说有没有这种可能？生：（有的学生皱起眉头，有的学生忽然兴奋起来，脱口而出）有可能的！生1：有这种可能，也许小明是为了把字写漂亮些，就慢了点。生2：还有可能是他做题过程中发现了自己不会做的题，没问别人自己想，终于用了很长时间想出来了。这可是很认真的学习态度，还值得我们学习呢！生3：还有可能小明特别善于思考，做完了一道题，又回头去想有没有其他解法。是个能一题多解的好孩子。师：说得真好，看来我们不能只看到时间很长，关键是得看他在这段时间里干了些什么，对吧？我们通过统计进行分析（板书：分析），能把事情处理得更好！你看，整理后的表格比原始数据更能说明问题吧？看来，统计的作用还真大呀！关于统计，最基础的知识是比较、排列和分类。有研究表明，学生对活动对象的熟悉程度将影响到学生比较、排列和分类的进行。这节课石老师就为学生进行比较、排列和分类提供了亲切熟悉的统计对象，让学生经历了对学习生活中作业时间统计的全过程。在这个过程中，学生的统计分析显出了精彩。

重视统计过程的体验是课程标准中重要的指导思想，也是新标准与原大纲较大的区别所在。“小明奶奶”一题，让学生分时间段整理同学们的作业时间是教学的难点。时间段怎么划分，答案自是多样。教师让全班学生自主选择15分段或者30分段统计，学生从而体验统计结果在统一标准下的一致性，不同标准下的多样化。

数据统计的全过程有数据收集、数据整理、统计制表、分析数据。得出结论五个环节，其中分析数据是重要环节，也是课程标准强调的内容。在“小明奶奶”一题中，教师引导学生尝试分析，小明为什么做作业的时间那么长？”学生的分析是推己及人、丰富多彩的，并且符合孩子的心理，当教师提出另一视角，培养孩子辩证思维时，孩子分析也很有见地。设计这样的分析，我们认为是统计教学中必不可少的环节，是培养学生的数据意识的平台；通过数据分析后再下结论，也是理性精神培育的良好载体。6.运算能力运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。一是指运算；一是指运算能力。运算能力不仅仅会算和算正确，还包括对于运算的本身要有理解，比如运算对象、运算的意义、算理等。“数的运算”运算的意义（运算的实际背景）算理和法则估算意识和策略解决实际问题

·运算意义的教学。

我们要重视对运算意义的教学。加、减、乘、除运算的意义是核心概念，要让学生积累原型，在什么时候用加、减、乘、除运算。

运算的多种“原型”加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型；乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型；除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。整数乘法搭配倍相同加数和数量关系面积分数乘法一个数的几分之几几个几分之几数量关系面积乘法的现实背景有哪些？这个纸条的面积有多大？45厘米10厘米1厘米10厘米教材中的乘法现实模型——等量组的聚——映射模型——倍数问题——配对问题——矩形模型——矩形模型新世纪版——矩形模型新世纪版国外教材中模型的使用实物模型面积模型度量模型数线模型方块模型骰子：10以内的乘法（三年级）瑞典教材瑞典教材瑞典教材方格图：10以内数的乘法（四年级）瑞典教材学习六的乘法口诀日本教材实物组成的矩阵（小木块）日本教材学习乘法：7×4实物组成的矩阵(点子图)日本教材数线模型新加坡教材数线模型新加坡教材数线模型什么是乘法？根据吉尔徳、格里尔等人的研究，乘除法主要有如下现实模型：等量组的聚集：若干具有相同个数元素的小组的组合（连加）。“每……共……”结构倍数问题：我的苹果是你的3倍，你有4个，我有几个？映射问题:一只青蛙有4条腿,6只青蛙几条腿?配对问题：3男5女，一男一女做游戏，有多少种搭配？矩形模型：长×宽其他几种现实模型：单价——数量模型；工时——工效模型；速度——时间等等每个集合中物体的数量集合的数量总数等量组的聚集——重复集合倍数问题——多一对应矩形模型——多行多列——交叉对应映射问题配对问题

要会乘，儿童必须理解一一对应关系或两个以上甚至更多个集合的等价关系。乘法是集合之间的多重等价或对应。…儿童懂得了两个或多个集合的元素之间的一一对应后，他就迟早会认识到显然存在着一种适当的运算，它能算出所涉及的各个集合的总数。这种运算叫乘法。——R·W柯兰普这个纸条的面积有多大？45厘米10厘米1厘米10厘米史冬梅：《两位数乘两位数》方法一：12×7+12×7方法二：12×6+12×8方法三：12×4+12×10方法四：14×7+14×5方法六：12×10+12×4方法五：6×7×4先分后合208位值的概念表内乘法两三位数乘一位数两位数乘两位数三位数乘两位数乘法的意义数的分解与组合

鼓励学生自己探索方法，必要时使用直观模型、生活例子

将学生的方法与法则进行联系——想办法说明为什么可以这样做——在法则中找到“影子”——借助原型、直观模型等说明——体现竖式的“压缩”过程

合理利用学生的“错误”

适当体现法则的价值在后续的练习中也应重视

“理法”平衡的策略

7.推理能力推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。推理能力推理一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。（见《我的生平》）

推理能力8.模型思想模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。模型思想模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。1.函数是个模型；2.方程是个模型；3.乘法分配律是个模型；（1）函数是刻划变量与变量之间依赖关系的模型（2）多种表示形式：解析式、表格、图像、自然语言（3）函数刻画现实世界的一个重要数学模型（4）函数是联结两类对象的桥梁——对应关系

函数思想比和比例单元

三个概念

三种计算四种应用比例的意义和基本性质正、反比例的意义图形的放大与缩小比例尺求比值化简比按比分配用比例解决问题比的意义和基本性质解比例教材分析

第一阶段第二阶段比的意义比的基本性质比的应用比例的意义和基本性质正比例和反比例的意义用比例解决问题教材分析同类量的比不同类量的比比的意义求比值比的各部分名称

教材分析份比倍分数④④④④结构化的整体认识变化的量——变量之间有关系——变化情况不同——一类变化情况——模型三种表达方式的作用：我先画图看看趋势，然后通过表格数据来仔细看变化的趋势。

你能用“4×3+6×3”说一道实际问题例77看图说故事

设计两个不同问题情境，使情境中出现的一对变量满足图示的函数关系。结合图形，讲出这对变量的变化过程的实际意义。

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511152【说明】通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例，以加深对函数的理解，学生可以设计多种情境。

生1：小王以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地。生2：有一个容积为2升的开口空瓶子，小王以0.4升/秒的速度匀速向这个瓶子注水，注5秒后停止，等6秒后，再以0.5升/秒的速度匀速倒空瓶中的水。2—5年级的最后一道题拿100元，买一个香肠20元，买一盒饼干20元，买一支笔20元，还剩多少元？有100个苹果，有3箱梨，每箱20个，苹果比梨多多少个？某鸭场有100只鸡，第一天卖出20只，第二天卖出20只，第三天卖出20只，还剩多少只？【小测试】请你根据100－20×3这个算式编一道实际问题。小红一家去郊游，要行100千米，爸爸开车行了3小时，每小时行20千米，还剩多少千米没行？张老师带了100元，花了20元，剩下的是花了的3倍，还剩多少元？某鸭场有100只，上午卖掉20只，下午卖的是上午的3倍，还剩多少只鸭子？如何修改？9.应用意识应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。

智慧不能像知识那样直接传授，它需要在获取知识、积累经验的过程中由教师以自身的智慧不断唤醒、点化、丰富、开启。有效地创设和利用课程资源，引导学生在观察、实验、猜测、验证、推理与交流的数学活动中，真正经历“数学化”的过程，获得必需的数学思想和方法。数学需要生活去激活生活需要数学去概括数学问题生活问题在“数学问题”与“生活问题”之间的桥梁上不断往复，才能逐步发展应用数学的意识。10.创新意识创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。创新能力的形成知识积累经验积累思维训练演绎训练归纳训练知识与技能 知识积累已知A，求证B思想与经验 经验积累由条件推断结果由结果探究成因创新意识创新机遇在教学过程中，学生会问许多问题，尽管我们有时把握不准，尽管学生的问题有时不着边际，也应该让学生提，培养他们的质疑能力，教师所要做的工作就是倾听、筛选。最重要的是教师要和学生一起思考问题，从习以为常的经验中会反思和追问。（1）树立质疑意识，和学生一起思考【案例1】圆锥的体积为什么和等底等高的圆柱有关？在学习圆锥的体积时，老师让学生往等底等高的圆柱里倒水、倒沙子，为什么不往其它的立体图形里倒呢？【案例2】它有名字吗？燃烧一根蜡烛：（2）解疑课解惑：和学生一起思考有经验的老师会在一个月或一个固定的时间内反馈学生的问题。如一个月内可以利用活动课时间专门来让学生一起交流问题，其它同学解答。在讨论交流中，随着知识的学习，有一些问题可以随之解决，有的问题解决不了，老师不忙于给学生答案。既可以接着研讨，还可以让学生查阅资料等。【案例1】我的竖式简单，为什么不用我的这种方法？

数学的学习就是学生不断感悟、逐步开窍的过程，就是学生不断生疑—解疑—生疑的过程，这样的过程引领着学生不断思考，体会着思考的快乐与幸福。【案例2】正比例、反比例名称的由来六年级学生学习了正比例和反比例，开始疑惑为什么像比值一定的就叫正比例，而积一定的却叫反比例呢？（3）教师暴露自己的思考过程：和学生一起分享

想事情、做题时，老师也需要引导学生，和学生一起分享不同的思考方法比如，在学习完成正比例的量、成反比例的量之后，学生对“有一本书，已经看了10也，还剩90页；已经看了20页，还剩80也没看完”既不是正比例也不是反比例这个问题产生了兴趣。问老师：“它是什么？它有没有名字？”这里体现的就是学生发现问题、提出问题的能力。其实，看过的页数+没看过的页数=100页，这是一元一次函数。再如，学生在五年级学习了三角形的内角和是180°，接着要学习三角形三边关系。让学生猜测三角形三条边之间的关系，三条边是定值吗？经过思考否定后进一步想：两条边的长短与第三条边有关系吗？小学生矿泉水瓶最佳周长

调查报告六年级五班第二小组组长：王天时组员：谢雨欣、蒋子重、贲迪、林宏睿、臧玉冰、林一衡背景分析研究内容研究方法研究步骤研究结论研究反思研究日志研究分析调查背景小组分工调查方法调查问卷数据统计结果分析调查结论楼梯的设计——综合实践报告组长：王天石组员：吴雨柠孙艺郡范靖琪林宜家韦仁杰综合实践报告六·九第六组组长：王见大组员：鲍文轩谢其源徐鑫蕊倪舒羽朱智博——小小笔芯史宁中校长

“创新能力的基础创新能力依赖于三方面:知识的掌握、思维的训练、经验的积累,三方面同等重要.关于“知识的掌握”,我国的中小学数学教育是没有问题的;关于“经验的积累”,大概还差得很多;关于“思维的训练”,我们做得也不够,只能打五十分.那么为了创新型国家的建立我们现在的教育只做了一半的工作.我们没有更多地在基础教育阶段教孩子如何去创新,帮他们从小的事情、小的发现开始积累经验,没有这样的意识。”知识技能●经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。●经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。●经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能。●参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。总目标从以下四个方面来描述：问题解决●初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。●获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。●学会与他人合作交流。●初步形成评价与反思的意识。数学思考●建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。●体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。●在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。●学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。情感态度●积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。●在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。●体会数学的特点，了解数学的价值。●养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。

在教学过程中教师要重视从双基到四基的变化，落实从双能到四能，帮助学生积累数学活动经验，从头到尾想问题，培养他们发现问题、提出问题的意识，增强他们分析问题和解决问题的能力。在教学中体现过程，抓住联系，凸显思考，注意层次。总之，核心概念本质上体现的是数学的基本思想。数学的基本思想指对数学及其对象、数学概念和数学结构及数学方法的本质性认识。数学基本思想集中反映为数学抽象、数学推理和数学模