北京市海淀区学校2024-2025学年高三上学期入学测试数学试题(无答案)

精华学校2024-2025学年高三年级入学测试数学2024.08本试卷共7页，共150分。考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，则（）A．B．C．D．3．在的展开式中，的系数为（）A．2B．8C．16D．244．若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数的部分图象如图所示，则其解析式为（）A．B．C．D．7．已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为，当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时，就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（）个月就需要更换纯硫酸．（参考数据，）（）A．11B．12C．13D．148．如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，满足，则该三棱柱体积的最大值为（）A．B．3C．D．49．已知函数，下列结论错误的是（）A．的图象有对称轴B．当时，C．有最小值D．方程在上无解10．设函数，则点集所构成图形的面积是（）A．B．C．D．前三个答案都不对第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．一组数据如下：13，7，9，10，8，15，21，12，该组数据的中位数是________．12．抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是________．13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则________．14．若函数的一个零点是，则函数的最大值为________．15．设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得．给出下列四个结论：①公差d可以为1；②公差d可以不为1；③符合题意的公差d有有限个；④符合题意的公差d有无限多个．其中所有正确结论的序号是________．（将你认为正确的结论序号都填上）三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16．（本小题13分）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．已知，．（1）求B；（2）请从条件①②③中选出一个作为已知，使VABC存在且唯一确定，并求出AC边上的中线长．①；②周长为；③面积为．17．（本小题14分）如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，E，F分别为PD，PB的中点．（1）证明：；（2）若点M是线段PC上的点，且，判断点M是否在平面AEF内，并证明你的结论；（3）求直线PB与平面AEF所成角的正弦值．18．（本小题13分）某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了A、B、C、D、E、F共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：车站上车站ABCDEF合计A///5642724B12///20137860C57///38124D1399///1638E410162///335F25543///19合计363656262125200（1）在试运营期间，从在B站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在C站下车的概率；（2）以频率估计概率，在试运营期间，从在A站上车的所有乘客和在B站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在C站下车的人数为X，求随机变量X的分布列以及数学期望；（3）为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在B站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，“”表示下车．相应地，用，分别表示在C站，D站上、下车情况，直接写出方差，，的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的方程和短轴长；（2）设直线与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明：．20．（本小题15分）已知函数．（1）若，，求的单调区间；（2）当时，若存在唯一的零点，且，其中，求n．（参考数据：，）21．（本小题15分）在数字1，2，…，的任意一个排列中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列A中逆序对的个数为．如时，在排列中，逆序对有，，，，则．（1）设排列，写出两组具体的