专题11完全平方式与平方差公式(热考题型)-原卷版+解析

专题11完全平方式与平方差公式【思维导图】◎考点题型1运用平方差公式进行计算平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.【注意】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如例．（2022秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）下列各式不能用乘法公式进行计算的是（）A． B．C． D．变式1．（2023春·七年级课时练习）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．变式2．（2022春·广东佛山·七年级校考期中）计算结果为的是（

）A． B．C． D．变式3．（2023春·全国·七年级专题练习），括号内应填（

）A． B． C． D．◎考点题型2平方差公式与几何图形例．（2023春·七年级课时练习）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（）．把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A． B．C． D．变式1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（

）A． B．C． D．变式2．（2022秋·河南洛阳·八年级统考阶段练习）如图，有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形和正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，图，图中正方形纸片均无重叠部分则图阴影部分面积为（

）A． B． C． D．变式3．（2022春·湖南娄底·七年级校考期中）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③④◎考点题型3运用完全平方式进行计算1、完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.【注意】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。以下是常见的变形：2、补充公式；；；.例．（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）若，则的结果是（

）A．23 B．25 C．27 D．29变式1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）已知实数a，b，c满足：，，则（

）A． B．C． D．变式2．（2022秋·八年级单元测试）若，，则的值为（）A．14 B．7 C．6 D．3变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为(

)A．0 B．1 C．2 D．3◎考点题型4通过完全平方式变形求值例．（2023秋·海南海口·八年级校联考期末）已知，，则的值为（

）A．5 B．7 C．11 D．13变式1．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）若代数式可化为，则的值是（）A．5 B． C．11 D．变式2．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）已知，则的值为（

）A．10 B．17 C．26 D．33变式3．（2021·浙江·九年级自主招生）已知，则（

）A． B．3 C． D．9◎考点题型5求完全平方式中的字母系数例．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）若是完全平方式，则n的值为（

）A．6 B．或6 C．1 D．变式1．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）如果是完全平方式，那么m的值是（

）A．8 B．4 C． D．变式2．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（

）．A． B． C．或 D．或变式3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知是完全平方式，则n的值为（

）A．4 B． C． D．◎考点题型6完全平方式在几何图形中的应用例．（2021秋·江西宜春·八年级统考期末）图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（

）A．B．C． D．变式1．（2020秋·山东聊城·八年级统考期中）如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为6，则长方形ABCD的面积为（）A．4 B．3 C．5 D．6变式2．（2020春·浙江湖州·八年级统考期末）我国古代数学家研究过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造图（如图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．则在下面构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0的构图是（

）A．B．C． D．变式3．（2019秋·山西晋城·八年级统考期末）如图，将甲图中的阴影部分无重叠、无缝隙得拼成乙图，根据两个图形中阴影部面积关系得到的等式是（

）A．a2+b2=(a+b)(a-b) B．a2+2ab+b2=(a+b)2C．a2-2ab+b2=(a-b)2 D．(a+b)2-(a-b)2=4ab◎考点题型7整式的混合运算例．（2023春·七年级课时练习）（1）计算：（2）化简：变式1．（2022春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知，(1)求；(2)若变量y满足，用b表示变量y，并求出时y的值．变式2．（2023春·全国·七年级专题练习）先化简再求值：(1)，其中．(2)已知m，n满足，求的值．变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）先化简，再求值．，其中．专题11完全平方式与平方差公式【思维导图】◎考点题型1运用平方差公式进行计算平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.【注意】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如（3）指数变化：如（4）符号变化：如（5）增项变化：如（6）增因式变化：如例．（2022秋·广西钦州·八年级校考阶段练习）下列各式不能用乘法公式进行计算的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可．【详解】解：A、中与互为相反数，与相等，故能进行平方差公式计算，故此选项不符合题意；B、中与互为相反数，与相等，故能进行平方差公式计算，故此选项不符合题意；C、中与互为相反数，与互为相反数，故不能进行平方差公式计算，但是可以变形为，这样就可以运用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；D、中与不是相反数，与不相等，故不能用乘法公式计算，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了平方差公式和完全平方公式的运用．解题的关键是熟记平方差公式，根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数．变式1．（2023春·七年级课时练习）下列各式计算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据乘法公式、多项式乘多项式法则逐项判断即可得．【详解】解：A．，则此项错误，不符合题意；B．，则此项错误，不符合题意；C．，则此项错误，不符合题意；D．，则此项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了乘法公式、多项式乘多项式，熟练掌握乘法公式和多项式的乘法法则是解题关键．变式2．（2022春·广东佛山·七年级校考期中）计算结果为的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据多项式的乘法以及平方差公式、完全平方公式进行计算即可求解．【详解】解：A．，故该选项不符合题意；

B．，故该选项不符合题意；C．，故该选项不符合题意；D．，故该选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查了多项式的乘法以及平方差公式、完全平方公式，正确的计算是解题的关键．变式3．（2023春·全国·七年级专题练习），括号内应填（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平方差公式即可求得．【详解】解：，括号内应填，故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握和运用平方差公式是解决本题的关键．◎考点题型2平方差公式与几何图形例．（2023春·七年级课时练习）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（）．把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）．通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积=长×宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；拼成的长方形的面积：，所以得出：，故选：A．【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．变式1．（2022秋·八年级课时练习）如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果．【详解】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为，由右图可表示阴影部分的面积为，∴，故选：D．【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据不同图形列式表示阴影部分的面积．变式2．（2022秋·河南洛阳·八年级统考阶段练习）如图，有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形和正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，图，图中正方形纸片均无重叠部分则图阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由图可知，阴影部分面积，图可知，阴影部分面积，进而得到，由图可知，阴影部分面积，即可得出答案．【详解】解：由图可知，阴影部分面积，图可知，阴影部分面积，所以，由图可知，阴影部分面积．故选：．【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景以及整式的加减，利用公式是解决问题的关键．变式3．（2022春·湖南娄底·七年级校考期中）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．③④【答案】C【分析】根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可．【详解】解：图1可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b），因此图1可以验证乘法公式；图2可以验证的等式为：a2＝（a﹣b）2＋b2＋2b（a﹣b），因此图2不能验证乘法公式；图3可以验证的等式为：a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b），因此图3可以验证乘法公式；图4可以验证的等式为：（a＋b）2＝（a﹣b）2＋4ab，因此图4不能验证乘法公式；所以能够验证乘法公式的是：图1，图3，故选：C．【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决问题的关键．◎考点题型3运用完全平方式进行计算1、完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.【注意】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍。以下是常见的变形：2、补充公式；；；.例．（2023秋·云南曲靖·八年级统考期末）若，则的结果是（

）A．23 B．25 C．27 D．29【答案】C【分析】将左右两边进行平方运算，然后化简求值即可．【详解】解：∵，∴，即，∴，故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练掌握完全平方公式是解题的关键．变式1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）已知实数a，b，c满足：，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将整理得到，则，把代入即可进行解答．【详解】解：∵，∴，∴，解得：，∵，∴，∴，∵，∴，综上：，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，等式的性质以及完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．变式2．（2022秋·八年级单元测试）若，，则的值为（）A．14 B．7 C．6 D．3【答案】D【分析】利用完全平方公式即可得到答案．【详解】解：，，，，，故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握是解题关键．变式3．（2023春·全国·七年级专题练习）若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为(

)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由已知分别计算的值，然后逆用完全平方公式：，将所求式子化成含、、的形式，再代入计算即可．【详解】a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，，又==，==3．故选D．【点睛】此题考查了代数式的求值，熟练逆用完全平方公式将所求代数式化成三个完全平方式的和是解此题的关键．◎考点题型4通过完全平方式变形求值例．（2023秋·海南海口·八年级校联考期末）已知，，则的值为（

）A．5 B．7 C．11 D．13【答案】D【分析】将两边平方，利用完全平方式化简后，把的值代入即可求解．【详解】将两边平方得，将代入得：，所以，故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．变式1．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）若代数式可化为，则的值是（）A．5 B． C．11 D．【答案】A【分析】由题意可得，然后运用完全平方公式展开，再通过对比求出a、b的值，最后作差即可．【详解】解：∵，∴，，即，，故．故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和代数式求值，正确应用完全平方公式对原式进行变形成为解答本题的关键．变式2．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）已知，则的值为（

）A．10 B．17 C．26 D．33【答案】B【分析】根据完全平方公式变形计算即可．【详解】∵，，∴．故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式变形计算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．变式3．（2021·浙江·九年级自主招生）已知，则（

）A． B．3 C． D．9【答案】C【分析】根据，可得，从而得到，再由完全平方公式，即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，∴．故选：C【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．◎考点题型5求完全平方式中的字母系数例．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）若是完全平方式，则n的值为（

）A．6 B．或6 C．1 D．【答案】B【分析】由完全平方式的特点可得或再解方程即可．【详解】解：是完全平方式，∴或解得：或，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查的是完全平方式的特点，掌握“利用完全平方式的特点建立方程求解”是解本题的关键．变式1．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）如果是完全平方式，那么m的值是（

）A．8 B．4 C． D．【答案】C【分析】根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的两倍放中央，求解即可．【详解】解：，∵是完全平方式，∴或，∴；故选C．【点睛】本题考查完全平方式．熟练掌握完全平方式的特点，是解题的关键．变式2．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（

）．A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】∵是一个完全平方式，∴，解得：或．故选：C．【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．变式3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知是完全平方式，则n的值为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．◎考点题型6完全平方式在几何图形中的应用例．（2021秋·江西宜春·八年级统考期末）图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】先求出图形的面积，根据图形面积的关系，写出等式即可．【详解】解：大正方形的边长为：,空白正方形边长：，图形面积：大正方形面积，空白正方形面积，四个小长方形面积为：，∴=+．故选择：B．【点睛】本题考查利用面得到的等式问题，掌握面积的大小关系，抓住大正方形面积=空白小正方形面积+四个小正方形面积是解题关键．变式1．（2020秋·山东聊城·八年级统考期中）如图，将长方形ABCD的各边向外作正方形，若四个正方形周长之和为24，面积之和为6，则长方形ABCD的面积为（）A．4 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】设，，由题中周长和面积的关系，得关于x和y的二元二次方程组，根据完全平方公式及方程之间的关系，可得答案．【详解】解：解：设，，由题意得：化简得：将①两边平方再减去②得：，，故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式在几何问题中的应用，根据题意正确列方程组并运用完全平方公式化简是解题的关键．变式2．（2020春·浙江湖州·八年级统考期末）我国古代数学家研究过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程x2+5x﹣14＝0，即x（x+5）＝14为例说明，《方图注》中记载的方法是：构造图（如图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，因此x＝2．则在下面构图中，能正确说明方程x2﹣3x﹣10＝0的构图是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，画出方程x2﹣3x﹣10＝0，即x（x﹣3）＝10的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．【详解】解：方程x2﹣3x﹣10＝0，即x（x﹣3）＝10的拼图如图所示；中间小正方形的边长为x﹣（x﹣3）＝3，其面积为9，大正方形的面积：（x+x﹣3）2＝4x（x﹣3）+9＝4×10+9＝49，其边长为7，因此，D选项所表示的图形符合题意，故选：D．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．变式3．（2019秋·山西晋城·八年级统考期末）如图，将甲图中的阴影部分无重叠、无缝隙得拼成乙图，根据两个图形中阴影部面积关系得到的等式是（

）A．a2+b2=(a+b)(a-b) B．a2+2ab+b2=(a+b)2C．a2-2ab+b2=(a-b)2 D．(a+b)2-(a-b)2=4ab【答案】C【分析】由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为a－b的正方形，从而可知其面积为(a-b)2，从而得出结论．【详