第16章《二次根式》知识讲练(学生版+解析)

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.易错点拨：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.易错点拨：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.易错点拨：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.易错点拨：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点02：二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：易错点拨：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.易错点拨：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）下列各式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2分）（2016秋•闵行区期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．3．（2分）（2021秋•嘉定区期末）下列根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．4．（2分）（2022秋•宝山区期末）如果y＝，则x+y的值为（）A． B．1 C． D．05．（2分）（2021秋•金山区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．6．（2分）（2021秋•宝山区期末）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A．和 B．和 C．和 D．和7．（2分）（2022秋•静安区校级期中）下列运算正确的是（）（1）＝1.5﹣0.5＝1（2）（3）（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2分）（2022秋•杨浦区期末）下列二次根式中，与属同类二次根式的是（）A． B． C． D．9．（2分）（2022秋•黄浦区月考）下列各式运算正确的是（）A． B． C． D．10．（2分）（2022秋•奉贤区校级期中）在式子、、、中，是最简二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•徐汇区期末）计算：＝．12．（2分）（2022秋•宝山区期末）要使式子有意义，x的取值范围是．13．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）如果＝2﹣a，那么a的取值范围是．14．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）的一个有理化因式是．15．（2分）不等式x﹣3x＜6的解集是．16．（2分）（2022春•闵行区校级期中）已知0＜a＜1，且a+＝7，则﹣的值为．17．（2分）（2022秋•嘉定区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝．18．（2分）（2022秋•奉贤区校级期中）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则a＝．19．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）不等式的解集是．20．（2分）（2022秋•嘉定区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（4分）（2022秋•宝山区期末）计算：．22．（4分）（2022秋•青浦区校级期末）计算：．23．（6分）（2021秋•宝山区校级月考）三角形的周长为（5+2）cm，面积为（10+4）cm2，已知两边的长分别为cm和cm，求：（1）第三边的长；（2）第三边上的高．24．（8分）（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+（10分）（2022秋•闵行区期中）（1）计算：；计算：（其中x＞0）．（8分）（2022秋•静安区校级期中）（1）计算：；计算：．27．（10分）（2022秋•浦东新区期中）观察下列运算：（1）由，得﹣1（2）由，得……问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；（2）利用（1）中发现的规律计算：．28．（10分）（2021秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值：[﹣﹣]÷（﹣）•（+），其中x＝3，y＝2．

2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：二次根式的相关概念和性质1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.易错点拨：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.2.二次根式的性质（1）；

（2）；

（3）.易错点拨：（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）与的异同不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；=，=（）.相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.3.最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.易错点拨：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.易错点拨：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.知识点02：二次根式的运算1.乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法积的算术平方根化简公式：二次根式的除法商的算术平方根化简公式：易错点拨：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.易错点拨：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）下列各式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．解：A、与不是同类二次根式；B、与是同类二次根式；C、与不是同类二次根式；D、与不是同类二次根式；故选：B．2．（2分）（2016秋•闵行区期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．解：A、原式＝2；B、原式＝；C、原式＝；D、原式＝3．故选：A．3．（2分）（2021秋•嘉定区期末）下列根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．解：因为：A、＝；B、＝2；D、＝|b|；所以这三项都可化简，不是最简二次根式．故选：C．4．（2分）（2022秋•宝山区期末）如果y＝，则x+y的值为（）A． B．1 C． D．0解：∵3﹣2x≥0，2x﹣3≥0，则x≥，x≤，解得：x＝，故y＝0，则x+y＝+0＝．故选：A．5．（2分）（2021秋•金山区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．解：A、＝3，不符合题意；B、＝a，不符合题意；C、＝，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意．故选：D．6．（2分）（2021秋•宝山区期末）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A．和 B．和 C．和 D．和解：A、＝，故与是同类二次根式，故A符合题意．B、＝，故与不是同类二次根式，故B不符合题意．C、＝2，故与不是同类二次根式，故C不符合题意．D、与不是同类二次根式，故D不符合题意．故选：A．7．（2分）（2022秋•静安区校级期中）下列运算正确的是（）（1）＝1.5﹣0.5＝1（2）（3）（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：（1）＝＝，故此选项不合题意；（2）2＝＝，故此选项不合题意；（3）＝|x﹣5|，故此选项不合题意；（4）﹣x＝﹣，故此选项符合题意；故选：A．8．（2分）（2022秋•杨浦区期末）下列二次根式中，与属同类二次根式的是（）A． B． C． D．解：A、原式＝3，不符合题意；B、原式＝3|a|，不符合题意；C、原式＝3|b|，不符合题意；D、原式＝3|b|，符合题意．故选：D．9．（2分）（2022秋•黄浦区月考）下列各式运算正确的是（）A． B． C． D．解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、（）＝2﹣1，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．10．（2分）（2022秋•奉贤区校级期中）在式子、、、中，是最简二次根式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：是最简二次根式，＝0.5，不是最简二次根式，＝＝|x+1|，不是最简二次根式，是最简二次根式，∴最简二次根式有2个．故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•徐汇区期末）计算：＝．解：＝＝．故答案为：．12．（2分）（2022秋•宝山区期末）要使式子有意义，x的取值范围是x≥5．解：要使式子有意义，则x﹣5≥0，解得：x≥5．故答案为：x≥5．13．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）如果＝2﹣a，那么a的取值范围是a≤2．解：∵＝2﹣a，∴2﹣a≥0，解得：a≤2．故答案为：a≤2．14．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）的一个有理化因式是﹣1．解：∵（﹣1）（+1）＝﹣1＝x﹣1，∴+1的一个有理化因式为﹣1．故答案为：﹣1．15．（2分）不等式x﹣3x＜6的解集是．解：，即∵，∴，∴．故答案为：．16．（2分）（2022春•闵行区校级期中）已知0＜a＜1，且a+＝7，则﹣的值为﹣．解：∵0＜a＜1，∴＜，∴﹣＜0，∵a+＝7，∴（﹣）2＝a﹣2+＝5，∴﹣＝﹣，故答案为：﹣．17．（2分）（2022秋•嘉定区校级月考）最简二次根式与是同类二次根式，则a+b＝2．解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴，解得：，则a+b＝2．故答案为：2．18．（2分）（2022秋•奉贤区校级期中）若两个最简二次根式与是同类二次根式，则a＝2．解：∵3a﹣1＝11﹣3a，∴6a＝12，∴a＝2．故答案为：2．19．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）不等式的解集是x＜﹣﹣．解：，x﹣x＜﹣1，x＜﹣，x＜﹣﹣．故答案为：x＜﹣﹣．20．（2分）（2022秋•嘉定区期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为5．解：∵＝＝2，且是整数；∴2是整数，即5n是完全平方数；∴n的最小正整数值为5．故答案为：5．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（4分）（2022秋•宝山区期末）计算：．解：原式＝（4）2﹣72++＝48﹣49++＝﹣1++．22．（4分）（2022秋•青浦区校级期末）计算：．解：＝﹣﹣2（2+）+1＝2﹣﹣4﹣2+1＝﹣．23．（6分）（2021秋•宝山区校级月考）三角形的周长为（5+2）cm，面积为（10+4）cm2，已知两边的长分别为cm和cm，求：（1）第三边的长；（2）第三边上的高．解：（1）∵三角形周长为cm，两边长分别为cm和cm，∴第三边的长是：cm；（2）∵面积为（10+4）cm2，∴第三边上的高为＝（2+4）cm．24．（8分）（2021秋•普陀区校级月考）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+解：由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣c+a﹣b+c＝﹣b25．（10分）（2022秋•闵行区期中）（1）计算：；（2）计算：（其中x＞0）．解：（1）原式＝﹣2×+＝﹣+2﹣2+1＝3﹣2；（2）原式＝3＝．26．（8分）（2022秋•静安区校级期中）（1）计算：；（2）计算：．解：（1）原式＝3﹣2+1﹣2（+1）﹣（3﹣1）＝3