第12讲图形的相似(5大考点)(原卷版+解析)2

第12讲图形的相似（5大考点）考点考向考点考向一、图形的相似的概念形状相同的图形叫做相似图形。1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。二、成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以）3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。4）比例的重要性质：基本性质：若，则；反之，也成立。和比性质：若，则；更比性质：若，则；反比性质：若，则；等比性质：若，则。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。eq\o\ac(○,2)把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。三、平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。四、相似多边形的性质与判定（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。考点精讲考点精讲一．比例的性质（共6小题）1．（2021秋•定兴县期末）已知2x＝3y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．2．（2022•鼓楼区二模）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（2022•安庆模拟）若，则的值为（）A． B． C． D．4．（2021秋•昭平县期末）已知a：b：c＝1：2：3，且3a+2b﹣c＝8，求a，b，c的值．5．（2021秋•义乌市期末）已知a：b＝1：4，求的值．6．（2022•大渡口区模拟）计算：（1）已知x：y＝2：3，若x+y＝15，求x，y的值．（2）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．二．比例线段（共11小题）7．（2021秋•威宁县期末）下列四组线段中，是成比例线段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm，5cm C．5cm，15cm，2cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm8．（2022秋•瑞安市月考）如图，用六个全等的直角三角形恰好拼成一大一小两个正六边形，则大正六边形与小正六边形的周长之比为（）A． B． C．2 D．39．（2022•宜昌模拟）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么：的值是（）A．： B．： C．： D．：10．（2022•安庆二模）安庆潜山素有古皖之源、皖国古都、二乔故里、京剧之祖、禅宗之地、黄梅之乡等等众多美名．拥有“潜阳十景”之首美誉的胭脂井，完美融入二乔公园之中，为古皖名城增辉，为百姓休闲生活增色．二乔公园占地面积57622.48m2，其中景观绿化面积约为37000m2，在按比例尺1：300缩小绘制的公园示意图中，景观绿化面积大约相当于（）A．某县体育中心体育馆的面积 B．一张乒乓球台的面积 C．一张《安徽日报》报纸的面积 D．《数学》教科书封面的面积11．（2022•钱塘区一模）已知线段a＝+1，b＝﹣1，则a，b的比例中项线段等于．12．（2022•盐城一模）在比例尺为1：100000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为km．13．（2022•南海区一模）四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，则a的长为．14．（2022•龙岗区一模）四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，则线段d＝cm．15．（2021秋•余姚市期末）已知线段a＝8，b＝2，线段c是线段a，b的比例中项，则c＝．16．（2022•淮安区模拟）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．17．（2022春•利川市校级月考）（1）求x的值：5：（x+1）＝3：x．（2）已知线段a＝2，b＝8，求a，b的比例中项线段c．三．黄金分割（共9小题）18．（2022•西湖区模拟）已知线段AB＝2，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP﹣BP＝．19．（2022•石家庄二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，将△ABC绕点C逆时针方向旋转得到△DEC，当点D落在BC边上时，ED的延长线恰好经过点A，则AD的长为（）A．1 B． C．﹣1 D．20．（2021秋•防城港期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高x米，可列方程为（）A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2﹣2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝021．（2022秋•汉阳区期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为2m，那么它的下部应设计的高度为（）m．A．﹣1 B．+1 C． D．22．（2022秋•金水区期中）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为m．（结果保留根号）23．（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈DE．（精确到0.001）24．（2022•茂南区一模）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．25．（2022春•长沙期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”，若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，则d1的最小值是（）A． B． C． D．26．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG．以下结论正确的是．①△BCG∽△GAD；②AC⊥BE；③CG+DG＝EG；④点F是线段CD的黄金分割点．四．相似图形（共2小题）27．（2022•汝阳县一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（）A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形 C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆28．（2022春•江阴市校级月考）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．五．相似多边形的性质（共7小题）29．（2022秋•门头沟区校级期中）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：130．（2021秋•叙州区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠D的度数为（）A．100o B．110o C．120o D．130o31．（2022春•永丰县期中）已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是．32．（2022•石家庄三模）对于题目：“在边长为6和2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（）A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误33．（2022•尤溪县开学）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为cm2．34．（2022•鼓楼区校级开学）如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为．35．（2022•城厢区模拟）如图，矩形ABCD被分割成4个矩形，其中矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，AE＞AH，AC交HG，EF于点M，Q．现有以下四个判断：①HP2＝AH•HD；②AE2＝EP•EQ；③B，P，D三点共线；④S△APQ＝S矩形BEPG．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·浙江·翠苑中学九年级期中）若，则的值为（）A． B． C． D．12．（2021·四川成都·九年级期中）一个五边形ABCDE各边的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形A1B1C1D1E1最长边为12，则A1B1C1D1E1的最短边长为（）A．8 B．6 C．4 D．23．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）己知线段b是线段a和线段c的比例中项，若a=3，c=4，则b的值是（）A．2 B．5 C． D．4．（2021·浙江·翠苑中学九年级期中）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（）A．任意两个矩形 B．任意两个正五边形C．任意两个平行四边形 D．任意两个等腰三角形5．（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中）如图，四边形四边形，则的度数为（）A． B． C． D．6．（2021·四川成都·九年级期中）若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC的长为（）A． B． C． D．7．（2021·河南·淅川县基础教育教学研究室九年级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB的值为（）A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：78．（2021·重庆·西南大学附中九年级期中）下列说法正确的是（）A．两条对角线相等的平行四边形是正方形B．平分弦的直径必垂直于弦C．相似三角形的周长之比等于相似比的平方D．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形9．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，，直线、分别与三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则的长为（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．810．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，若BP=-1，AB的长为（）A．+1 B．2 C．3+ D．3-11．（2021·浙江浙江·九年级期末）有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（）A． B． C． D．二、填空题12．（2021·湖南·张家界市民族中学九年级期中）在比例尺为的地图上，两城市间的图上距离为2cm，则这两城市间的实际距离为______km．13．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）已知=，则=________．14．（2021·广东大埔·九年级期中）如图，l1l2l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，，DE＝4，则EF的长是___．15．（2021·上海市徐汇中学九年级期中）已知P是线段AB的一个黄金分割点，且AB=20cm，AP>BP，那么AP=______cm．16．（2021·上海市徐汇中学九年级期中）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=12，c=3，那么b=___________．17．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在矩形中，，M、N分别是、的中点，连接，则将矩形分成两个矩形，若矩形与矩形相似，则的长为_________．18．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）如图，已知l1∥l2∥l3，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，，那么____．19．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，D是边AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当直线A′E⊥AB时，A′B＝____．20．（2021·四川师范大学实验外国语学校九年级月考）如图，在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，CM为AB上的中线，CM分别交AE、AD于F、G，则CF：FG：GM＝_______．三、解答题21．（2021·安徽包河·九年级期中）已知实数x、y、z满足，试求的值．22．（2021·安徽·安庆市第四中学九年级期中）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN的长．23．（2021·安徽全椒·九年级期中）线段a、b、c，且（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足，求的值；24．（2021·贵州·玉屏侗族自治县教研室九年级期中）两棵树的高度分别是16.6米，13.6米，两棵树的根部之间的距离AC=7米．小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树的距离等于多少时，小强的眼睛与树、的顶部、恰好在同一条直线上，请说明理由．25．（2021·上海宝山·九年级期中）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且（1）如果AB＝3，BC＝6，DE＝4，求EF的长；（2）如果DE：EF＝2：3，AC＝25，求AB的长．26．（2021·江苏·姜堰区实验初中九年级月考）△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．27．（2021·广东顺德·九年级月考）如图，，直线，交于点，且分别与直线，，交于点，，和点，，，已知，，，，求的长度．28．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）如图，已知ADBECF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8，DE=3，求DF的长．第12讲图形的相似（5大考点）考点考向考点考向一、图形的相似的概念形状相同的图形叫做相似图形。1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。二、成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以）3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。4）比例的重要性质：基本性质：若，则；反之，也成立。和比性质：若，则；更比性质：若，则；反比性质：若，则；等比性质：若，则。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。eq\o\ac(○,2)把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。三、平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。四、相似多边形的性质与判定（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。（3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。考点精讲考点精讲一．比例的性质（共6小题）1．（2021秋•定兴县期末）已知2x＝3y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决．【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有B选项正确．故选：B．【点评】本题考查的是等式的性质：等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等．2．（2022•鼓楼区二模）若4m＝5n（m≠0），则下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据比例的基本性质，把每一个选项中的比例式转化成等积式即可解答．【解答】解：A．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；B．因为＝，所以mn＝20，故此选项不符合题意；C．因为＝，所以5m＝4n，故此选项不符合题意；D．因为＝，所以4m＝5n，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．3．（2022•安庆模拟）若，则的值为（）A． B． C． D．【分析】根据比例的性质进行计算即可解答．【解答】解：∵，∴＝，∴＝+1＝，故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．4．（2021秋•昭平县期末）已知a：b：c＝1：2：3，且3a+2b﹣c＝8，求a，b，c的值．【分析】设a＝k，b＝2k，c＝3k，代入求出k，即可求出答案．【解答】解：由a：b：c＝1：2：3，可设a＝k、b＝2k、c＝3k，∵3a+2b﹣c＝8，∴3k+2×2k﹣3k＝8，∴3k+4k﹣3k＝8，∴4k＝8，∴k＝6，∴a＝k＝6，b＝2k＝12，c＝3k＝18．【点评】本题考查了比例的性质的应用，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来．5．（2021秋•义乌市期末）已知a：b＝1：4，求的值．【分析】根据a：b＝1：4，得出b＝4a，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．【解答】解：∵a：b＝1：4，∴b＝4a，∴＝＝＝﹣3．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．6．（2022•大渡口区模拟）计算：（1）已知x：y＝2：3，若x+y＝15，求x，y的值．（2）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．【分析】（1）设x＝2t，y＝3t，利用x+y＝15得到2t+3t＝15，然后求出t，从而得到x、y的值；（2）先移项得到3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵x：y＝2：3，∴设x＝2t，y＝3t，∵x+y＝15，∴2t+3t＝15，解得t＝3，∴x＝6，y＝9；（2）3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣1）＝0，x﹣2＝0或3x﹣1＝0，∴x1＝2，x2＝．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．也考查了解一元二次方程．二．比例线段（共11小题）7．（2021秋•威宁县期末）下列四组线段中，是成比例线段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm，5cm C．5cm，15cm，2cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、∵2×3≠1×4，∴四条线段不成比例；B、∵3×6≠4×5，∴四条线段不成比例；C、∵6×5＝15×2，∴四条线段成比例；D、∵3×6≠4×5，∴四条线段不成比例；故选：C．【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．8．（2022秋•瑞安市月考）如图，用六个全等的直角三角形恰好拼成一大一小两个正六边形，则大正六边形与小正六边形的周长之比为（）A． B． C．2 D．3【分析】根据全等三角形的性质得到AG＝BH，求得AB＝AG，BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，得到HG＝AG，根据相似多边形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，∵∠ABG＝30°，∴AB＝AG，BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，∴HG＝AG，∵正六边形ABCDEF∽正六边形HMNPQG，∴正六边形ABCDEF的周长：正六边形HMNPQG的周长＝＝．故选：B．【点评】本题考查了正多边形与圆，含30度角的直角三角形的性质，相似多边形的判定和性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．9．（2022•宜昌模拟）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么：的值是（）A．： B．： C．： D．：【分析】直接利用已知条件进而表示出a，b，c，进而代入求出答案．【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，∴设a＝x，b＝2x，c＝3x，∴：＝：＝：．故选：C．【点评】此题主要考查了比例线段，比例的性质，正确将已知变形是解题关键．10．（2022•安庆二模）安庆潜山素有古皖之源、皖国古都、二乔故里、京剧之祖、禅宗之地、黄梅之乡等等众多美名．拥有“潜阳十景”之首美誉的胭脂井，完美融入二乔公园之中，为古皖名城增辉，为百姓休闲生活增色．二乔公园占地面积57622.48m2，其中景观绿化面积约为37000m2，在按比例尺1：300缩小绘制的公园示意图中，景观绿化面积大约相当于（）A．某县体育中心体育馆的面积 B．一张乒乓球台的面积 C．一张《安徽日报》报纸的面积 D．《数学》教科书封面的面积【分析】根据比例的性质列式计算即可．【解答】解：设景观绿化面积的图上面积为xm2，根据题意得，＝（）2，解得x≈0.41，答：景观绿化面积大约相当于一张《安徽日报》报纸的面积．故选：C．【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握比例的性质是解题的关键．11．（2022•钱塘区一模）已知线段a＝+1，b＝﹣1，则a，b的比例中项线段等于2．【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决．【解答】解：设a、b的比例中项为x，∵a＝+1，b＝﹣1，∴x2＝ab＝（+1）（﹣1）＝（）2﹣12＝5﹣1＝4∴x＝＝2（舍去负值），即a、b的比例中项线段等于2，故答案为：2．【点评】该题主要考查了比例中项等基本概念问题和根式的乘法；熟练掌握比例中项的概念和根式的化简方法是解决问题的关键．12．（2022•盐城一模）在比例尺为1：100000的盐都旅游地图上，测得大纵湖东晋水城与杨侍生态园的距离约为31cm，则大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为31km．【分析】图上距离除以比例尺，算出实际距离，进而把厘米换算成千米即可．【解答】解：大纵湖东晋水城与杨侍生态园的实际距离约为31÷＝3100000（cm）＝31（km），故答案为：31．【点评】此题考查有关比例线段的计算；注意厘米换算成千米应缩小100000倍．13．（2022•南海区一模）四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，则a的长为cm．【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得＝，又由b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，即可求得a的值．【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴＝，∵b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，∴＝，解得：a＝．故答案为：cm．【点评】此题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．14．（2022•龙岗区一模）四条线段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，则线段d＝9cm．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝3cm、c＝3cm，∴d＝9，则d＝9cm．故答案为：9．【点评】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．15．（2021秋•余姚市期末）已知线段a＝8，b＝2，线段c是线段a，b的比例中项，则c＝4．【分析】利用比例中项的定义得到c2＝ab＝16，然后求出16的算术平方根即可．【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，∴c2＝ab，而段a＝8，b＝2，∴c2＝8×2＝16，而c＞0，∴c＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了比例线段，掌握比例中项的定义是解决问题的关键．16．（2022•淮安区模拟）已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．【分析】根据比例中项的定义，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，∴c2＝ab，∵a＝4cm，b＝7cm，c＞0，∴c＝2cm．故线段c的长为2cm．【点评】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（2022春•利川市校级月考）（1）求x的值：5：（x+1）＝3：x．（2）已知线段a＝2，b＝8，求a，b的比例中项线段c．【分析】（1）根据比例的基本性质求解即可；（2）根据比例中项的定义得到方程c2＝ab，解之可得答案．【解答】解：（1）5：（x+1）＝3：x，3（x+1）＝5x，3x+3＝5x，x＝1.5；（2）∵c为线段a，b的比例中项，∴c2＝ab，即c2＝16，由于c＞0，故c＝4．【点评】本题主要考查比例线段，熟练掌握线段的比例中项的定义是解题的关键．三．黄金分割（共9小题）18．（2022•西湖区模拟）已知线段AB＝2，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP﹣BP＝2﹣4．【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝，则BP＝2﹣AP＝3﹣，∴AP﹣BP＝（﹣1）﹣（3﹣）＝2﹣4，故答案为：2﹣4．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．19．（2022•石家庄二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，将△ABC绕点C逆时针方向旋转得到△DEC，当点D落在BC边上时，ED的延长线恰好经过点A，则AD的长为（）A．1 B． C．﹣1 D．【分析】利用旋转的性质得CD＝CA＝2，∠B＝∠E，再证明∠B＝∠BAD得到BD＝AD，接着证明△BAD∽△BCA，然后利用相似比可计算出BD的长，从而得到AD的长．【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针方向旋转得到△DEC，∴CD＝CA＝2，∠B＝∠E，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠BAD＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BAD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD，∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD，∵∠ABD＝∠CBA，∠BAD＝∠ACB，∴△BAD∽△BCA，∴＝，即＝，整理得BD2+2BD﹣4＝0，解得BD＝﹣1，∴AD＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了旋转的性质．20．（2021秋•防城港期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，这个比值叫黄金分割数．按此比例，若雕像的高为2米，那么它的下部应设计为多高？设雕像下部高x米，可列方程为（）A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2﹣2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝0【分析】设雕像下部高x米，则雕像上部为（2﹣x）米，根据黄金分割的定义可得＝，然后进行计算即可解答．【解答】解：设雕像下部高x米，则雕像上部为（2﹣x）米，由题意得：＝，∴x2＝2（2﹣x），整理得：x2+2x﹣4＝0，故选：A．【点评】本题考查了黄金分割，由实际问题抽象出一元二次方程，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．21．（2022秋•汉阳区期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为2m，那么它的下部应设计的高度为（）m．A．﹣1 B．+1 C． D．【分析】设雕像的下部应设计的高度为xm，由黄金分割的定义得＝，即可求解．【解答】解：设雕像的下部应设计的高度为xm，∵使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，∴＝，∴x＝﹣1，即雕像的下部应设计的高度为（﹣1）m，故选：A．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比值是解题的关键．22．（2022秋•金水区期中）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，那么主持人站立的位置离A点较近的距离为（30﹣10）m．（结果保留根号）【分析】由黄金分割点的定义求出BC的长，即可解决问题．【解答】解：如图，设主持人站立的位置离A点较近的点为C，则点C是AB的黄金分割点，∴BC＝AB＝×20＝（10﹣10）（m），∴AC＝20﹣（10﹣10）＝（30﹣10）（m），即主持人站立的位置离A点较近的距离为（30﹣10）m，故答案为：（30﹣10）．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义和黄金比值是解题的关键．23．（2022•娄底）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈0.618DE．（精确到0.001）【分析】根据黄金分割的定义可得＝≈0.618，再根据题意可得EG＝AE，即可解答．【解答】解：∵点E是AD的黄金分割点，且DE≈0.618AD，∴＝≈0.618，由题意得：EG＝AE，∴≈0.618，∴EG≈0.618DE，故答案为：0.618．【点评】本题考查了黄金分割，近似数和有效数字，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．24．（2022•茂南区一模）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．【分析】（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；（2）由角平分线的定义得∠ABD＝∠CBD＝36°，再由等腰三角形的性质得∠ABC＝∠C＝72°，然后证证∠BDC＝∠C，则BD＝BC，即可得出结论．【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求；（2）△BDC是黄金三角形，理由如下：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴△BDC是黄金三角形．【点评】本题考查了黄金三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．25．（2022春•长沙期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”，若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，则d1的最小值是（）A． B． C． D．【分析】如图，设直线y＝x+2交y轴于点D，交x轴于点C，则C（﹣6，0），D（0，2），设⊙O交y轴于点A′，在y轴的左侧作等边△A′OB′，过点A′作AA′⊥CD于点A，求出AA′的长，可得结论．【解答】解：如图，设直线y＝x+2交y轴于点D，交x轴于点C，则C（﹣6，0），D（0，2），∴OC＝6，OD＝2，∴tan∠CDO＝＝，∴∠CDO＝60°，设⊙O交y轴于点A′，在y轴的左侧作等边△A′OB′，过点A′作AA′⊥CD于点A，∵DA′＝OD﹣OA′＝2﹣1，∴AA′＝A′D•sin60°＝，∴线段AB到⊙O的“平移距离”d1的最小值＝，故选：B．【点评】本题考查一次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．26．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△FDE，B、F、E三点恰好在同一直线上，AC与BE相交于点G，连接DG．以下结论正确的是②③④．①△BCG∽△GAD；②AC⊥BE；③CG+DG＝EG；④点F是线段CD的黄金分割点．【分析】依据旋转的性质，结合三角形内角和定理，即可得到结论②正确；依据△BGC是直角三角形，而△AGD不是直角三角形，即可发现△BCG与△GAD不相似，进而得出结论①错误；在线段EF上取EG′＝CG并连接DG′，即可判定△DCG≌△DEG′（SAS），再根据△GDG′是等腰直角三角形，即可得出结论③正确；判定Rt△FCB∽Rt△FDE，即可得到＝，即DF2＝FC•DC，进而发现结论④正确．【解答】解：∵△FDE是△ADC绕点D逆时针旋转90°得到的，∴△FDE≌△ADC，∴AD＝DF，DC＝DE，∠DEF＝∠DCA，又∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，即∠DAG+DEF＝90°，∴∠AGE＝90°，即AC⊥BE，故②正确；∵AC⊥BE，∴∠BGC＝90°，即△BGC是直角三角形，而△AGD不是直角三角形，∴△BCG与△GAD不相似，故①错误；在线段EF上取EG′＝CG并连接DG′，如图，∵DC＝DE，∠DEF＝∠DCA，∴∠DEG′＝∠DCG，在△DCG和△DEG′中，，∴△DCG≌△DEG′（SAS），∴DG＝DG′，∠CDG＝∠EDG′，∵∠CDG＝∠GDA＝90°，∠EDG′+∠GAD＝90°，∴∠GDG′＝90°，∴△GDG′是等腰直角三角形，∴GG′＝DG，∵EG′＝CG，∴EG＝EG′+GG′＝CG+DG，故③正确；在Rt△FCB和Rt△FDE中，∵∠BFC＝∠EFC，∴Rt△FCB∽Rt△FDE，∴＝，∵BC＝AD＝DF，DE＝DC，∴＝，即DF2＝FC•DC，∴点F是线段CD的黄金分割点，故④正确；故答案为：②③④．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的定义，全等三角形的判定和性质等综合知识．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．四．相似图形（共2小题）27．（2022•汝阳县一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（）A．关于直线对称的两个图形 B．两个正三角形 C．两个等腰三角形 D．两个半径不等的圆【分析】根据相似图形的概念判断即可．【解答】解：A、关于直线对称的两个图形全等，∴它们是相似图形，本选项不符合题意；B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴它们是相似图形，本选项不符合题意；C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，∴它们不一定是相似图形，本选项符合题意；D、两个半径不等的圆是相似图形，本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．28．（2022春•江阴市校级月考）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于．【分析】利用相似三角形的性质求出BC长，再利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出EF的长即可．【解答】解：如图所示：∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，∴AC2＝BC•AD，∵AC＝，AD＝，∴CB＝2，∵△ABC∽△DAC，∴∠ACB＝∠CAD，∴CB∥AD，∵AB＝AC，F为BC中点，∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，∴∠AFC＝90°，∵CB∥AD，∴∠FAE＝∠AFC＝90°，∵AC＝，在Rt△AFC中AF＝＝，∵AD＝，E为AD中点，∴AE＝，∴EF＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，以及等腰三角形的性质和勾股定理，关键是掌握相似三角形对应边成比例、对应角相等．五．相似多边形的性质（共7小题）29．（2022秋•门头沟区校级期中）若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．【解答】解：相似多边形的相似比是1：2，面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4；故选：A．【点评】本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．30．（2021秋•叙州区期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠D的度数为（）A．100o B．110o C．120o D．130o【分析】直接利用相似多边形的性质得出∠F＝∠B＝70°，再利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠F＝∠B＝70°，∵∠A＝80°，∠C＝90°，∴∠D＝360°﹣70°﹣80°﹣90°＝120°．故选：C．【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角度数是解题关键．31．（2022春•永丰县期中）已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为100，则较小多边形的面积是20．【分析】根据相似多边形的性质可得，两个相似多边形的面积比为1：4，从而设设较小多边形的面积为x，则较大多边形的面积为4x，然后根据它们的面积和为100，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：∵两个相似多边形的周长比为1：2，∴两个相似多边形的面积比为1：4，∴设较小多边形的面积为x，则较大多边形的面积为4x，∵它们的面积和为100，∴x+4x＝100，∴x＝20，∴较小多边形的面积是20，故答案为：20．【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．32．（2022•石家庄三模）对于题目：“在边长为6和2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（）A．甲方案正确，周长和的最大值错误 B．乙方案错误，周长和的最大值正确 C．甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D．甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误【分析】利用相似多边形的性质分别求出甲乙的方案中，的两个矩形的周长，即可判断．【解答】解：如图1中，由题意可以假设两个矩形的长宽分别为x，3x；y，3y，则有3x+3y＝6，∴x+y＝2，∴两个矩形的周长的和为8x+8y＝16，如图2中，由题意可以假设两个矩形的长宽分别为m，3m；n，3n，则有m+n＝2，∴两个矩形的周长的和为8m+8n＝16，如果小矩形的长为2，则宽为，在小矩形的旁边剪下长矩形，则长矩形的最长边为6﹣＝，宽为，则这两个矩形周长和为16+＞16，所以甲乙两个方案均错误故选：D．【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，学会利用参数解决问题吗，属于中考常考题型．33．（2022•尤溪县开学）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为12cm2，则较大多边形的面积为27cm2．【分析】根据相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求出面积比，计算即可．【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，∴两个相似多边形的相似比是2：3，∴两个相似多边形的面积比是4：9，∵较小多边形的面积为12cm2，∴较大多边形的面积为27cm2，故答案为：27．【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．34．（2022•鼓楼区校级开学）如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为．【分析】设AD＝x，根据正方形的性质得AF＝AB＝EF＝1，则FD＝x﹣1，在根据相似多边形的性质，得到DF：AB＝EF：AD，即（x﹣1）：1＝1：x，然后解方程，即可得到AD的长．【解答】解：设AD＝x，∵四边形ABEF为正方形，∴AF＝AB＝EF＝1，∴FD＝x﹣1，∵矩形ECDF与矩形ABCD相似，∴DF：AB＝EF：AD，即（x﹣1）：1＝1：x，整理得x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝（舍去），∴AD的长为．故答案为：．【点评】本题考查了相似多边形的性质以及矩形的性质，解题时注意：相似多边形对应边的比叫做相似比；对应角相等；对应边的比相等；相似多边形面积的比等于相似比的平方．35．（2022•城厢区模拟）如图，矩形ABCD被分割成4个矩形，其中矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，AE＞AH，AC交HG，EF于点M，Q．现有以下四个判断：①HP2＝AH•HD；②AE2＝EP•EQ；③B，P，D三点共线；④S△APQ＝S矩形BEPG．其中正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）．【分析】根据矩形相似从而列出比例式化简即可求得答案，通过添加辅助线，根据比例式可判定两直线平行，从而得出两角对应相等，两个三角形相似，根据对顶角相等可判断三点共线．【解答】解：如图，连接FH，设AH＝PE＝a，AE＝HP＝b，∵矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，∴，，∠EAP＝∠HFP，∠EPB＝∠HFP＝∠DPF，∴HP2＝AH•HD，EB＝，∴HD＝，EB＝，∴CF＝BE＝，∴＝＝，∴FH∥AC，∴∠AQE＝∠HFP，∴∠EAP＝∠AQE，∵∠AEP＝∠AEQ，∴△AEP∽△QEA，∴，∴AE2＝EP•EQ，∴EQ＝，∴PQ＝EQ﹣EP＝﹣a，∴S△APQ＝＝，∵S矩形BEPG＝EP•BE＝a＝，∴S△APQ≠S矩形BEPG，∵∠EPF＝∠DPF，∴B、P、D共线，综上所述：①②③正确，故答案为：①②③．【点评】本题考查了相似图形的性质和判定，解决问题的关键是根据比例线段判定两直线平行巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·浙江·翠苑中学九年级期中）若，则的值为（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据比例的性质：两內项之积等于两外项之积进行解答即可．【详解】解：∵，∴，即，将代入中，得：，故选C．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质．2．（2021·四川成都·九年级期中）一个五边形ABCDE各边的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形A1B1C1D1E1最长边为12，则A1B1C1D1E1的最短边长为（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】设后A1B1C1D1E1的最短边的长为x，根据相似多边形对应边的比相等，可知最长边之比等于最短边之比，列方程求解．【详解】解：两个相似的五边形，一个最长的边是6，另一个最长边长为12，

则相似比是，

根据相似五边形的对应边的比相等，设A1B1C1D1E1的最短边的长为x，

则，

解得：．

即A1B1C1D1E1的最短边的长为4．

故选：C．【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，关键是确定两个多边形最长边之比等于最短边之比．3．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）己知线段b是线段a和线段c的比例中项，若a=3，c=4，则b的值是（）A．2 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或，那么线段b是线段a和c的比例中项”进行解答即可得．【详解】解：∵线段b是线段a和线段c的比例中项，∴即，解得：或（舍），故选C．【点睛】本题考查了比例中项，解题关键是熟记比例中项的定义．4．（2021·浙江·翠苑中学九年级期中）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（）A．任意两个矩形 B．任意两个正五边形C．任意两个平行四边形 D．任意两个等腰三角形【答案】B【分析】根据题意，任意正多边形是相似图形，其余不是，据此分析即可．【详解】A.任意两个矩形，不一定相似，故该选项不正确，不符合题意；B.任意两个正五边形，一定相似，故该选项正确，符合题意；C.任意两个平行四边形，不一定相似，故该选项不正确，不符合题意；D.任意两个等腰三角形，不一定相似，故该选项不正确，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了相似图形的判定，理解任意正多边形是相似图形是解题的关键．5．（2021·河北·石家庄市第四十一中学九年级期中）如图，四边形四边形，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可【详解】四边形四边形，故选D【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．6．（2021·四川成都·九年级期中）若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝2，则AC的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据黄金分割点的定义，当AC是较长线段时，AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．【详解】解：∵AB＝2，点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC时，∴；故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键．7．（2021·河南·淅川县基础教育教学研究室九年级期中）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB的值为（）A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：7【答案】B【分析】由DE∥BC，可得，再结合EF∥AB可求得CF：CB=CE：CA，可求得CF：CB．【详解】解：∵DE∥BC，

∴=3：4，

∴CE：CA=4：7，

∵EF∥AB，

∴CF：CB=CE：CA=4：7，

故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键．8．（2021·重庆·西南大学附中九年级期中）下列说法正确的是（）A．两条对角线相等的平行四边形是正方形B．平分弦的直径必垂直于弦C．相似三角形的周长之比等于相似比的平方D．两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形【答案】D【分析】根据相关几何性质，对选项逐个判断即可．【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，选项错误，不符合题意；B、平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，选项错误，不符合题意；C、相似三角形的周长之比等于相似比，选项错误，不符合题意；D、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项正确，符合题意；故选D【点睛】此题考查了特殊平行四边形，相似三角形以及圆的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．9．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，，直线、分别与三条平行线交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则的长为（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．8【答案】C【分析】首先根据，，求出，然后根据平行线分线段成比例求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，代入得：，解得：．故选：C．【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例．10．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，若BP=-1，AB的长为（）A．+1 B．2 C．3+ D．3-【答案】A【分析】根据黄金分割的定义列出式子，再设出的长，从而将的长表示出来，再将、的长代入列出的等式中即可求出的长．【详解】解：如图所示，∵点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP∴设，∵∴∵∴∴∴∴的长为故选：A【点睛】本题主要考查了黄金分割点的相关知识，熟练掌握黄金分割点的定义是解答此题的关键．11．（2021·浙江浙江·九年级期末）有一种有趣的读数法：如图，在图纸上确定纵轴与横轴，从交点O处开始依次在两轴上画出单位相同的标度，再作两轴交角的角平分线OP，OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,拿一根直尺，使得它的两端分别架在横轴和纵轴上，且OA=a，OB=b，读出直尺与OP的交点C的标度就可以求出OC的长度．当a=4，b=6时，读得点C处的标度为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过分别向横轴和纵轴作辅助线得到等腰三角形，建立线段之间的对应关系，同时利用平行线分线段成比例的推理，建立比例关系式即可求解．【详解】解：如图所示，过C点分别向OA、OB作垂线，垂足分别为点D、点E，因为∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC=45°，∴∠BOC=∠OCE=∠AOC=∠OCD=45°，∴OE=CE=CD=OD,设OE=CE=CD=OD=x,∴BE=6-x，∵CE∥OA，∴,∴，∴，∵OP上的标度与纵轴上的标度在同一水平线上,∴点C处的标度等于CD的长，即为，故选：A．【点睛】本题综合考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是正确理解题意与图形，能在图形中得到对应等量关系，能正确作出辅助线构造相似三角形等，本题蕴含了数形结合等思想方法．二、填空题12．（2021·湖南·张家界市民族中学九年级期中）在比例尺为的地图上，两城市间的图上距离为2cm，则这两城市间的实际距离为______km．【答案】10【分析】由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．【详解】解：设这两城市的实际距离是x厘米，由题意，得1：500000=2：x，解得：x=1000000，1000000厘米=10km．故答案为：10．【点睛】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，注意单位之间的换算．13．（2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中）已知=，则=________．【答案】【分析】根据比例的性质得，即可得．【详解】解：∴．【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．14．（2021·广东大埔·九年级期中）如图，l1l2l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，，DE＝4，则EF的长是___．【答案】6【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【详解】解：∵l1l2l3，∴，∴，∴EF＝6，故答案为：6．【点睛】此题主要考查平行线之间的线段关系，解题的关键是熟知平行线分线段成比例，列出比例式求解．15．（2021·上海市徐汇中学九年级期中）已知P是线段AB的一个黄金分割点，且AB=20cm，AP>BP，那么AP=______cm．【答案】10−10（-1）【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB，若AB＝20，则AP＝20×＝10−10．故答案为10−10．【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键16．（2021·上海市徐汇中学九年级期中）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=12，c=3，那么b=___________．【答案】6【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac，故b的值可求．【详解】解：线段b是线段a、c的比例中项，即a：b＝b：c，∴b2＝ac=36，故线段b的长为6（负值舍去）故答案为：6．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．17．（2021·陕西·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在矩形中，，M、N分别是、的中点，连接，则将矩形分成两个矩形，若矩形与矩形相似，则的长为_________．【答案】【分析】根据矩形的性质得到CD=AB=6，设AD=x（x>0），则DM=x，根据相似的性质得到，得到，由此求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，设AD=x（x>0），则DM=x，∵矩形与矩形相似，∴，∴，解得，即AD=，故答案为：．【点睛】此题考查矩形的性质，相似多边形的性质，熟记相似多边形的性质设AD=x（x>0）是解题的关键．18．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）如图，已知l1∥l2∥l3，直线分别交、、于、、，直线分别交、、于、、，，，，那么____．【答案】【分析】因为l1∥l2∥【详解】解：∵l1∥l2∥l3，，又∵,∴，解得；，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意对应成比例．19．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，D是边AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当直线A′E⊥AB时，A′B＝____．【答案】．【分析】由勾股定理，先求出AB的长度，然后利用平行线分线段成比例，求出，，再证明△ADG≌△，得到，，求得，利用勾股定理即可求出答案【详解】解：由题意，A′E⊥AB，垂足为点F，则，连接A′B，如图：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴，∵D是边AB的中点，∴，