专题02整式乘除法的五种求值题型全攻略(原卷版+解析)

专题02整式乘除法的五种求值题型全攻略【知识点梳理】整式乘法1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。整式除法1、单项式除单项式：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。2、多项式除单项式：多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。类型一、“不含某一项”求参例、已知将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）乘开的结果不含x2项，并且x3的系数为2．则m+n＝_____．【变式训练1】若多项式x2＋2mx﹣1与x2﹣2x＋n的乘积中不含x2和x3项，则m2﹣mn＋n2＝_____．【变式训练2】若的积中不含项与项．(1)求、的值；(2)求代数式的值．【变式训练3】若（x2＋3mx﹣）（x2﹣3x＋n）的积中不含x和x3项，（1）求m2﹣mn＋n2的值；（2）求代数式（﹣18m2n）2＋（9mn）﹣2＋（3m）2014n2016的值．【变式训练4】已知将展开的结果不含和项，（m、n为常数）（1）求m、n的值；（2）在（1）的条件下，求的值．（先化简，再求值）类型二、特殊值法求值例1、已知，则（）A．1 B．－1 C．2 D．0【变式训练1】（1）已知：则的值是_____（2）如果记那么_____（3）若则x=_____（4）若则_____【变式训练2】小东在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结，他发现：一次项系数就是：，即一次项为．请你认真领会小东解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题，(1)计算所得多项式的一次项系数为___________；(2)若计算所得多项式不含一次项，求a的值；(3)若，则___________．【变式训练3】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：，它只有一项，系数为；，它有两项，系数分别为，，系数和为；，它有三项，系数分别为，，，系数和为；根据以上规律，解答下列问题：(1)展开式共有______项，系数和为______．(2)求的展开式；(3)利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）；(4)设，则的值为______．类型三、整体代入法求值例1、若a+b＝﹣3，ab＝1，则（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝_____．【变式训练1】计算的结果是（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【变式训练2】（1）已知2x2＋6x＝3，求代数式x（x＋1）（x＋2）（x＋3）的值；（2）如果多项式4x2＋kx－7被4x＋3除后余2，求k的值．【变式训练3】已知2a2+a-6=0，求代数式(3a+2)(3a-2)-(5a3-2a2)÷a的值．类型四、规律性问题例1、我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：11＝a+b121＝1331＝14641＝请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（

）A．2021 B．4042 C．2043231 D．2019【变式训练1】大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ）,它可以解释二项式和的乘方规律，观察下列等式（Ⅱ）根据前面各式规律，则的展开式是_________．【变式训练2】请同学观察、计算、思考完成下列问题：计算：（1）______；（2）______；（3）______；猜想并验证：（4）______；思考：（5）求的值．【变式训练3】观察下列各式：(1)根据以上规律，则___________．(2)你能否由此归纳出一般规律___________．(3)根据以上规律求的值．类型五、整式乘除与几何综合问题例、阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题：(1)用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：方法一：____________；方法二：____________．(2)写出图2中所表示的数学等式：____________．(3)利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知求的值．【变式训练1】阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如，由图1可以得到．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(3)图3中给出了若干个边长为和边长为的小正方形纸片及若干个边长分别为，的长方形纸片．请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到关于的数学等式.【变式训练2】在数学中，根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：可以用图（1）表示．(1)根据图（2），写出一个与多项式乘法有关的等式_________________________________；(2)有足够多的两种正方形卡片（①号、②号）和一种长方形卡片（③号），如图（3），现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个图形的草图，并写出计算它的面积能得到的数学等式．【变式训练3】数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图可得．则：(1)由图可以解释的等式是____________；(2)用张边长为的正方形纸片，张长为、宽为的长方形纸片，张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；(3)用张长为，宽为的长方形纸片按照图方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分的面积设为、，的长设为．①请用含的代数式表示：；②若无论取任何实数时，①的结果始终保持不变，请直接写出与满足的数量关系．【变式训练4】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则．(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m值；(2)已知，；且的值与x无关，求y的值；(3)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．专题02整式乘除法的五种求值题型全攻略【知识点梳理】整式乘法1、单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2、单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。3、多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。整式除法1、单项式除单项式：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。2、多项式除单项式：多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。类型一、“不含某一项”求参例、已知将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）乘开的结果不含x2项，并且x3的系数为2．则m+n＝_____．【答案】-8【详解】（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（﹣3m+n）x2+(4m﹣3n)x+4n，∵结果不含x2项，并且x3的系数为2，∴﹣3m+n＝0，4+m＝2，∴m＝﹣2，n＝﹣6，∴m+n＝﹣2﹣6＝﹣8，故答案为：﹣8【变式训练1】若多项式x2＋2mx﹣1与x2﹣2x＋n的乘积中不含x2和x3项，则m2﹣mn＋n2＝_____．【答案】【详解】解：（x2＋2mx﹣1）（x2﹣2x＋n）＝x4﹣2x3＋nx2＋2mx3﹣4mx2＋2mnx﹣x2＋2x﹣n＝x4＋（﹣2＋2m）x3＋（n﹣4m﹣1）x2＋（2mn＋2）x﹣n，∵多项式x2＋2mx﹣1与x2﹣2x＋n的乘积中不含x2和x3项，∴﹣2＋2m＝0，n﹣4m﹣1＝0，解得：m＝1，n＝5，∴m2﹣mn＋n2＝12﹣1×5＋×52＝，故答案为：．【变式训练2】若的积中不含项与项．(1)求、的值；(2)求代数式的值．【答案】(1)，；(2)【详解】（1）解：的积中不含项与项，解得，；（2）解：，，，．【变式训练3】若（x2＋3mx﹣）（x2﹣3x＋n）的积中不含x和x3项，（1）求m2﹣mn＋n2的值；（2）求代数式（﹣18m2n）2＋（9mn）﹣2＋（3m）2014n2016的值．【答案】（1）；（2）36【详解】（x2＋3mx﹣）（x2﹣3x＋n）＝x4＋nx2＋（3m﹣3）x3﹣9mx2＋（3mn＋1）x﹣x2﹣n，由积中不含x和x3项，得到3m﹣3＝0，3mn＋1＝0，解得：m＝1，n＝﹣，（1）原式＝（m﹣n）2＝（）2＝；（2）原式＝324m4n2＋＋（3mn）2014•n2＝324×14×（-）2++[3×1×（-）]2014•（-）2=36＋＋＝36．【变式训练4】已知将展开的结果不含和项，（m、n为常数）（1）求m、n的值；（2）在（1）的条件下，求的值．（先化简，再求值）【答案】（1）；（2），-1792【详解】解：（1），，由题意得：，解得：；（2），当，时，原式类型二、特殊值法求值例1、已知，则（）A．1 B．－1 C．2 D．0【答案】B【解析】将代入得：，∴．故选：B．【变式训练1】（1）已知：则的值是_____（2）如果记那么_____（3）若则x=_____（4）若则_____【答案】（1）2001（2）（3）（4）﹣120【解析】（1）由题意得：；∴======2001设，则；∴，即∴原式=（3）=∙==192∴∴∴（4）当x=1时，1=……①当x=﹣1时，=……②当x=0时，1=①＋②==即=∴=＋1=﹣120【变式训练2】小东在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结，他发现：一次项系数就是：，即一次项为．请你认真领会小东解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题，(1)计算所得多项式的一次项系数为___________；(2)若计算所得多项式不含一次项，求a的值；(3)若，则___________．【答案】(1)；(2)；(3)2023【详解】（1）解：，∴所得多项式的一次项系数为，故答案为：（2）解：由题意得，的一次项系数为：，∵计算所得多项式不含一次项，∴，∴；（3）解：∵表示2023个相乘，几个多项式乘积的一次项系数为多项式中的一次项系数与其他多项式的常数项的积的和，∴的结果的一次项系数为2023个（一共2023个1），∴的结果的一次项系数为2023，∴，故答案为：2023．【变式训练3】我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：，它只有一项，系数为；，它有两项，系数分别为，，系数和为；，它有三项，系数分别为，，，系数和为；根据以上规律，解答下列问题：(1)展开式共有______项，系数和为______．(2)求的展开式；(3)利用表中规律计算：（不用表中规律计算不给分）；(4)设，则的值为______．【答案】(1)，(2)(3)(4)【详解】（1）解：根据图表中的规律，可得：展开式共有项，系数和为，故答案为：，；（2）；（3）根据图表中数据的规律可以发现：，；（4），当时，，当时，，，的值为．故答案为：．类型三、整体代入法求值例1、若a+b＝﹣3，ab＝1，则（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝_____．【答案】-5【详解】解：∵a+b=-3，ab=1，∴（a+1）（b+1）（a-1）（b-1）=[（a+1）（b+1）][（a-1）（b-1）]=（ab+a+b+1）（ab-a-b+1）=（1-3+1）×（1+3+1）=-1×5=-5．故答案为：-5．【变式训练1】计算的结果是（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】A【详解】解：设，，则，，．故选：A．【变式训练2】（1）已知2x2＋6x＝3，求代数式x（x＋1）（x＋2）（x＋3）的值；（2）如果多项式4x2＋kx－7被4x＋3除后余2，求k的值．【答案】（1）；（2）-9【详解】（1）由2x2＋6x＝3，得∴x（x＋1）（x＋2）（x＋3）=；（2）∵多项式4x2＋kx－7是二次多项式，除式4x+3是一次多项式∴多项式4x2＋kx－7被4x＋3除，则商应为一次多项式∵多项式4x2＋kx－7的二次项系数为4∴商的一次项系数为1∵多项式4x2＋kx－7的常数项为-7，余数为2∴商的常数项为-3∴商为∴4x2＋kx－7=，∴k=-9【变式训练3】已知2a2+a-6=0，求代数式(3a+2)(3a-2)-(5a3-2a2)÷a的值．【答案】8【详解】解：，，；∵，∴，∴．类型四、规律性问题例1、我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（n＝1，2，3，4，…）的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：11＝a+b121＝1331＝14641＝请根据上述规律，写出的展开式中含项的系数是（

）A．2021 B．4042 C．2043231 D．2019【答案】B【详解】解：展开式中含项的系数，由：＝…，可知，展开式中第二项为，∴的展开式中含项的系数是4042．故选：B．【变式训练1】大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ）,它可以解释二项式和的乘方规律，观察下列等式（Ⅱ）根据前面各式规律，则的展开式是_________．【答案】【详解】解：，故答案为：．【变式训练2】请同学观察、计算、思考完成下列问题：计算：（1）______；（2）______；（3）______；猜想并验证：（4）______；思考：（5）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【详解】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3），故答案为：；（4），故答案为：；（5）．【变式训练3】观察下列各式：(1)根据以上规律，则___________．(2)你能否由此归纳出一般规律___________．(3)根据以上规律求的值．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）∵，，，∴；故答案是：．（2）根据题意得：；故答案是：；（3）∵，∴．类型五、整式乘除与几何综合问题例、阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．请解答下列问题：(1)用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：方法一：____________；方法二：____________．(2)写出图2中所表示的数学等式：____________．(3)利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知求的值．【答案】(1)；(2)=(3)【详解】（1）方法一：故答案为：方法二：

故答案为：（2）因为方法一和方法二表示同一个长方形的面积，因此可=故答案为：=（3）根据（2）中所的结论=得=把代入得

解得【变式训练1】阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如，由图1可以得到．请解答下列问题：(1)写出图2中所表示的数学等式；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(3)图3中给出了若干个边长为和边长为的小正方形纸片及若干个边长分别为，的长方形纸片．请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到关于的数学等式.【答案】(1)(2)(3)见解析【详解】（1）根据题意，大矩形的面积为：，各小矩形部分的面积之和，∴等式为，故答案为：．（2）∵∵，∴．（3）∵如图所示：【变式训练2】在数学中，根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法．例如：可以用图（1）表示．(1)根据图（2），写出一个与多项式乘法有关的等式_________________________________；(2)有足够多的两种正方形卡片（①号、②号）和一种长方形卡片（③号），如图（3），现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个图形的草图，并写出计算它的面积能得到的数学等式．【答案】(1)(2)图见解析，【详解】（1）根据图（1）的面积可以表示为或，∴，故答案为：（2）解：依题意，如图，现选取①号、②号、③号卡片分别为1张、2张、3张，拼成一个长方形∴．【变式训练3】数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形