爱提分中考复习 18三轮-最值问题-第02讲 最值问题（二）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱最值问题（二）知识精讲一．将军饮马问题如图所示，将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河边饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？如图所示，从出发向河岸引垂线，垂足为，在的延长线上，取关于河岸的对称点，连结，与河岸线相交于点，则点就是饮马的地方，将军只要从出发，沿直线走到，饮马之后，再由沿直线走到营地，所走的路程就是最短的．二．将军饮马问题模型1.如图，直线和的异侧两点、，在直线上求作一点，使最小．2.如图，直线和的同侧两点、，在直线上求作一点，使最小．3．如图，直线和同侧两点、，在直线上求作一点，使最大．4．如图，直线和异侧两点、，在直线上求作一点，使最大．5．如图，点是内的一点，分别在，上作点，，使的周长最小．6．如图，点，为内的两点，分别在，上作点，，使四边形的周长最小．7．如图，点是外的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小．8．如图，点是内的一点，在射线上作点，使与点到射线的距离之和最小．三．造桥选址问题如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处才能使从到的路径最短？（假设河两岸、平行,桥与河岸垂直）四．利用三边关系关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边．一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用两点之间线段最短或者三角形两边之和大于第三边来加以证明，另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质．（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等．）三点剖析一．考点：1．将军饮马问题；2．造桥选址问题．二．重难点：1．将军饮马问题的8大模型；2．造桥选址问题模型及其变式．三．易错点：

1．无论是将军饮马问题还是造桥选址问题给定的都是两个定点，很多学生可以直接套模型，但是如果两个点中只有一个定点，另外一个点是动点就要结合其它与最值有关的知识点，比如最常见的就是“垂线段最短”．2．很多学生在利用将军饮马和造桥选址模型求解最短路径问题时，往往自己做对称点，其实很多时候图形都是很特殊的，都自带对称图形，这样就直接在已有的线段上找对称点，然后再求解，这样会简单很多．轴对称与最值问题例题例题1、如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=1，连接DA，点P是射线DA上的动点．（1）求证DA是⊙O的切线；（2）DP的长度为多少时，∠BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由．（3）P运动的过程中，（PB+PC）的值能否达到最小，若能，求出这个最小值，若不能，说明理由．【答案】（1）见解析（2）点P运动到A处时，即DP=DA=时，∠BPC的度数达到最大，为90°（3）（PB+PC）的值能达到最小，（BP+PC）的最小值为【解析】（1）证明：如图，连接AO，∵∠C=30°，∴∠AOB=2∠C=60°∴△ABO是等边三角形，AB=BD=1，∴∠ADC=∠DAB=∠ABO=30°，∵∠AOC=60°，∴∠DAO=90°，∴DA是⊙O的切线；（2）如图1，当点P运动到A处时，即DP=DA=时，∠BPC的度数达到最大，为90°．理由如下：若点P不在A处时，不妨设点P在DA的延长线上的时，连接BP，与⊙O交于一点，记为点E，连接CE，则∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°．（3）如图2，作点C关于射线DA的对称点C′，则BP+PC=BP+PC′，当点C′，P，B三点共线时，（BP+PC′）的值达到最小，最小值为BC′．过点C′作DC的垂线，垂足记为点H，连接DC′，在Rt△DCP中，∠PDC=30°，∴△DCC′为等边三角形，故H为DC的中点，∴BH=DH﹣DB=CD﹣DB=﹣1=，C'H=DH=在Rt△BC'H中，根据勾股定理得，BC'==．∴（BP+PC）的最小值为．例题2、我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得最小．我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，．因此，求最小就相当于求最小，显然当A、P、B′在一条直线上时最小，因此连接AB＇，与直线l的交点，就是要求的点P．有很多问题都可用类似的方法去思考解决．探究：（1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连结EP，CP，则EP+CP的最小值是_______；（2）如图4，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小；（不写作法，保留作图痕迹）（3）如图5，平面直角坐标系中有两点、，在y轴上找一点C，在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点C的坐标应该是_______，点D的坐标应该_______．【答案】（1）（2）见解析（3）；【解析】该题考查的是对称的性质．（1）做点E关于线段BD的对称点F，连接CF，即为最短距离，此时，………………1分FF（2）分别作点A关于OM，ON的对称点D，E，连接DE，分别交OM，ON于点B，C，点B，C即为所求作的点；………………3分（点D，E作出各得1分，连接DE得1分，写出结论得1分）（3）作B关于y轴的对称点E和A关于x轴的对称点F，连接EF，分别于x，y轴交于C，D，点C，D即所求的点，设函数图像为，代入，得方程组，解得，分别代入，，得到交点坐标C，D．………………5分EEFCD例题3、如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标．【答案】（1）y=x2﹣3x﹣4（2）（，）【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于两点A（4，0），B（﹣1，0），∴，解得，∴此抛物线的解析式为：y=x2﹣3x﹣4；（2）如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4，∴D（0，﹣4），∵直线y=﹣x+4交抛物线于点C，∴解得，或，∴C（﹣2，6），∵A（4，0），∵直线AC解析式为y=﹣x+4，直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），∴直线BF解析式为y=x+1，设点F（m，m+1），∴G（，），∵点G在直线AC上，∴﹣+4=，∴m=4，∴F（4，5），∵D（0，﹣4），∴直线DF解析式为y=x﹣4，解得∴直线DF和直线AC的交点E（，）．例题4、定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P(1，2)，Q(4，2)．①在点A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）A、B（2）见解析（3）Q（，）或Q（，）【解析】解:（1）A、B……………2分（2）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接P′Q，P′Q与x轴的交点即为“等高点”M，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q的长.………3分∵P(1，2)，∴P′(1，－2).设直线P′Q的表达式为，根据题意，有，解得.∴直线P′Q的表达式为.……………4分当时，解得.即.………………………5分根据题意，可知PP′＝4，PQ＝3，PQ⊥PP′，∴.∴“等高距离”最小值为5.…………………6分（3）Q（，）或Q（，）.………………8分随练随练1、如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线y=a（x﹣2）2+k经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P，（1）求a，k的值；（2）在图中求一点Q，A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出相应的点Q的坐标；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM的周长最小？若存在，求△ABM的周长；若不存在，请说明理由；（4）抛物线的对称轴是上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣1（2）Q点的坐标为（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）（3）△ABM的周长的最小值为3+（4）存在满足条件的N点，其坐标为（2，1）或（2，2）．【解析】（1）在y=﹣3x+3中，令y=0，可求得x=1，令x=0，可求得y=3，∴A（1，0），B（0，3），分别代入y=a（x﹣2）2+k，可得，解得，即a为1，k为﹣1；（2）由（1）可知抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣1，令y=0，可求得x=1或x=3，∴C（3，0），∴AC=3﹣1=2，AB=，过B作平行x轴的直线，在B点两侧分别截取线段BQ1=BQ2=AC=2，如图1，∵B（0，3），∴Q1（﹣2，3），Q2（2，3）；过C作AB的平行线，在C点分别两侧截取CQ3=CQ4=AB=，如图2，∵B（0，3），∴Q3、Q4到x轴的距离都等于B点到x轴的距离也为3，且到直线x=3的距离为1，∴Q3（2，3）、Q4（4，﹣3）；综上可知满足条件的Q点的坐标为（﹣2，3）或（2，3）或（4，﹣3）；（3）由条件可知对称轴方程为x=2，连接BC交对称轴于点M，连接MA，如图3，∵A、C两点关于对称轴对称，∴AM=MC，∴BM+AM最小，∴△ABM周长最小，∵B（0，3），C（3，0），∴可设直线BC解析式为y=mx+3，把C点坐标代入可求得m=﹣1，∴直线BC解析式为y=﹣x+3，当x=2时，可得y=1，∴M（2，1）；∴存在满足条件的M点，此时BC=3，且AB=，∴△ABM的周长的最小值为3+；（4）由条件可设N点坐标为（2，n），则NB2=22+（n﹣3）2=n2﹣6n+13，NA2=（2﹣1）2+n2=1+n2，且AB2=10，当△ABN为以AB为斜边的直角三角形时，由勾股定理可得NB2+NA2=AB2，∴n2﹣6n+13+1+n2=10，解得n=1或n=2，即N点坐标为（2，1）或（2，2），综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（2，1）或（2，2）．随练2、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）【答案】（1）5（2）（3）【解析】（1）∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP=；（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴∠CEP=∠MEP，而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，在Rt△ENM中，MN=，∴NM′=11，∵AF∥NE，∴△AFM′∽△NEM′，∴，即，解得AF=，即AF=时，△MEF的周长最小；（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R=，∵ME=5，GQ=2，∴四边形MEQG的最小周长值是．随练3、如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线的解析式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E．当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，已知在对称轴上存在一点P，使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，点M从O点出发，在线段OB上以每秒2个OD长度的速度向B点运动，同时点Q从O点出发，在线段OD上以每秒1个单位长度的速度向D点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，求运动多少秒使△PMN的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x+4（2）C和点D都在所求抛物线上，理由见解析（3）P点坐标为（，）（4）运动时间为1秒时，△PMN面积为最大，最大值=【解析】（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过B（0，4），∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，解得b=﹣，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+4；（2）点C和点D在该抛物线上．理由如下：在Rt△ABO中，∵OA=3，OB=4，∴AB==5，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C（5，4），D（2，0），当x=5时，y=x2﹣x+4=×52﹣×5+4=4，当x=2时，y=x2﹣x+4=×22﹣×2+4=0，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）如图1，∵BC∥x轴，∴点B与点C为抛物线上的对称点，连结CD，CD交对称轴交于点P，则PB+PD=PC+PD=CD，则此时PB+PD最小，所以△PBD的周长最小，设直线CD的解析式为y=kx+p，把C（5，4），D（2，0）代入得，解得，∴直线CD的解析式为y=x﹣，当x=时，y=x﹣=×﹣=，∴P点坐标为（，）；（4）设对称轴交x轴于点F，运动时间为t秒，则OM=4t．ON=t，S△PMN=S梯形OMPF﹣S△OMN﹣S△PFN=×（+4t）×﹣×4t×t﹣×（﹣t）×=﹣2t2+t二次函数的对称轴为直线t=﹣=，而0≤t≤1，∴当t=1时，S最大，最大值=﹣2+=．三角形三边关系与最值问题例题例题1、如图1，点为正方形的中心．（1）将线段绕点逆时针方向旋转，点的对应点为点，连结，，，请依题意补全图1；（2）根据图1中补全的图形，猜想并证明与的关系；（3）如图2，点是中点，△是等腰直角三角形，是的中点，，，，△绕点逆时针方向旋转角度，请直接写出旋转过程中的最大值．图图1图2【答案】（1）见解析（2）⊥（3）【解析】（1）正确画出图形；………………1分（2）延长交于点，交于点…2分∵为正方形的中心，∴，∠＝90°……3分∵绕点逆时针旋转90°角得到∴∴∠＝∠＝90°∴∠＝∠……4分在△和△中，，，∠＝∠，∴△≌△∴.……5分∴∠＝∠∵∠+∠∴∠+∠=90°∴⊥……6分（3）的最大值为……8分例题2、如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②如果BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直接写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．【答案】（1）①②3（2）见解析，【解析】（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=AD，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，CE=；（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，连接BN．由旋转可得，△AMN≌△ABP，∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，∴△PAM、△ABN都是等边三角形，∴PA=PM，∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，当AC=BC=4时，AB=4，当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，∴AQ=AB=2=CQ，NQ=AQ=2，∴此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=．例题3、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM．（1）当M点在何处时，AM＋CM的值最小；（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．EEBDCAM【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】该题考查的是四边形综合．（1）当M点落在BD的中点时，的值最小．……………1分（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时的值最小．……………2分理由如下：∵M是正方形ABCD对角线上一点∴又，∴△ABM≌△CBM∴……………3分又∴∴在EC上取一点N使得，连结BN又∵∴△BNE≌△ABM……3分∴，又∵∴即∴△BMN是等边三角形．∴……………4分∴．根据“两点之间线段最短”，得最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，的值最小，即等于EC的长．……………5分（3）过E点作交CB的延长线于F∴设正方形的边长为x，则，……………6分在Rt△EFC中，∵，∴．解得（舍去负值）．∴正方形的边长为．……………7分例题4、几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是____；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．【答案】（1）；（2）2；（3）10【解析】（1）由题意知：连接ED交AC于点P，此时PB+PE最小，最小值为ED，∵点E是AB的中点，∴AE=1，由勾股定理可知：ED2=AE2+AD2=5，∴ED=，∴PB+PE的最小值为；（2）延长AO交⊙O于点D，连接DC，AC，∴AD=4，∵∠AOC=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OA=2，∵AD是⊙O直径，∴∠ACD=90°，∴由勾股定理可求得：CD=2，∴PA+PC的最小值为2；（3）作点C，使得点P与点C关于OB对称，作点D，使得点P与点D关于OA对称，连接OC、OD、CD，CD交OA、OB于点Q、R，此时PR+RQ+PQ最小，最小值为CD的长，∵点P与点C关于OB对称，∴∠BOP=∠COB，OP=OC=10，同理，∠DOA=∠POA，OP=OD=10，∵∠BOP+∠POA=45°，∴∠COD=2（∠BOP+∠POA）=90°，由勾股定理可知：CD=10，∴△PQR周长的最小值为10．例题5、在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且，点M为线段AB的中点．（1）如图1，线段OM的长度为________________；（2）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ACB，当点C在第一象限时，求直线OC所对应的函数的解析式；（3）如图3，设点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上，且，以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，请求出线段MG长度的最大值，并直接写出此时直线MG所对应的函数的解析式．AAByxOM图1yyBMOOxxACDEF图2图3【答案】（1）5（2）（3）【解析】该题考查的是三角形的综合．（1）5（2）如图1,过点C分别作CP⊥x轴于P，CQ⊥y轴于Q．∴∵∴∵∴∵∴△BCQ≌△ACP∴．∵点在第一象限，∴不妨设C点的坐标为(其中)设直线OC所对应的函数解析式为，∴，解得，∴直线OC所对应的函数解析式为．（3）取DE的中点N，连结ON、NG、OM．∵，∴．同理．∵正方形DGFE，N为DE中点，，∴．在点M与G之间总有(如图2)，由于的大小为定值，只要，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图3）．∴线段MG取最大值．此时直线MG的解析式．图1图图1图2图3随练随练1、已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．【答案】（1）①90°；②OA2+OB2=OC2；证明见解析（2）①α=β=120°，OA+OB+OC有最小值；图形见解析②【解析】（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°，故答案为：90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，如图1，连接OD，∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，∴∠DAO=90°，在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+OB2=OD2，∴OA2+OB2=OC2；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．∴△OCO′是等边三角形，∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°，∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，∴四点B，O，O′，A′共线，∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；②∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴O为△ABC的中心，∵四点B，O，O′，A′共线，∴BD⊥AC，∵将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，∴A′C=AC=BC，∴A′B=2BD，在Rt△BCD中，BD=BC=，∴A′B=，∴当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′B=．随练2、如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）见解析（2）①α=30°；②α=315°．【解析】（1）如图1，延长ED交AG于点H，∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，∴OA=OD，OA⊥OD，∵OG=OE，在△AOG和△DOE中，，∴△AOG≌△DOE，∴∠AGO=∠DEO，∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG；（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，∵OA=OD=OG=OG′，∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，∴∠AG′O=30°，∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′，∴∠DOG′=∠AG′O=30°，即α=30°；（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°﹣30°=150°．综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，∴OA=OD=OC=OB=，∵OG=2OD，∴OG′=OG=，∴OF′=2，∴AF′=AO+OF′=+2，∵∠COE′=45°，∴此时α=315°．随练3、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长是4，M在DC上，M是CD的中点，点P是AC边上的一动点，则当DP+MP的值最小时，在图（1）备用图中作出点P的位置，求DP的值．（2）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点M是DC上的一个动点，连结AM，作BP⊥AM于点P，连结DP，当DP最小时，在图（2）备用图中作出点P的位置，求DP的值．【答案】（1）DP=（2）DP最小值=2﹣2【解析】（1）如图1①，作点M关于BC的对称点M′，连结DM′交AC于点P，此时DP+MP最小，最小值为DM′，DM′===2，∵AD∥BC，△ADP∽△CM′P，∴DP：PM′=AD：CM′=2：1∴DP=DM′=；（2）如图②正方形ABCD边长是4，所以三角形ABP的半径是2，DN长是2．DP最小是2√5﹣2．∵BP⊥AM，∴△ABP是直角三角形，∴以AB为直径作△APB的外接圆，∵正方形ABCD边长是4，∴三角形ABP的半径是2，DN长是2．当DP最小时，N、P、D三点共线∴DP最小值=2﹣2．拓展拓展1、如图，直线y=x+1与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=．（1）求k的值；（2）设点N（1，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k=6（2）存在p，P点坐标为（0，5）【解析】（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，∵tan∠AHO==，∴OH=2，∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为2，∵点M在直线y=x+1上，∴点M的纵坐标为3，即M（2，3），∵点M在y=上，∴k=2×3=6；（2）∵点N（1，a）在反比例函数y=的图象上，∴a=6，即点N的坐标为（1，6），过N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P（如图），此时PM+PN最小，∵N与N1关于y轴的对称，N点坐标为（1，6），∴N1的坐标为（﹣1，6），设直线MN1的解析式为y=kx+b，把M，N1的坐标得，解得：，∴直线MN1的解析式为y=﹣x+5，令x=0，得y=5，∴P点坐标为（0，5）．拓展2、如图，抛物线y=x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点，点E在抛物线上，且横坐标为4，AE与y轴交F．（1）求抛物线的顶点D和F的坐标；（2）点M、N是抛物线对称轴上两点，且M（2，a），N（2，a+），是否存在a使F，C，M，N四点所围成的四边形周长最小，若存在，求出这个周长最小值，并求出a的值；（3）连接BC交对称轴于点P，点Q是线段BD上的一个动点，自点D以2个单位每秒的速度向终点B运动，连接PQ，将△DPQ沿PQ翻折，点D的对应点为D′，设Q点的运动时间为t（0≤t≤）秒，求使得△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的时对应的t值．【答案】（1）（2，﹣8），（0，﹣2）．（2）存在；10；﹣（3）或【解析】（1）∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，∴顶点D坐标（2，﹣8），由题意E（4，﹣8），A（﹣2，0），B（6，0），设直线AE解析式为y=kx+b，则有，解得，∴直线AE解析式为y=﹣x﹣2，∴点F坐标（0，﹣2）．（2）如图1中，作点F关于对称轴的对称点F′，连接FF′交对称轴于G，在CF上取一点C′，使得CC′=，连接C′F′与对称轴交于点N，此时四边形CMNF周长最小．∵四边形CMNF的周长=CF+NM+CM+FN=5+CM+NF，CM+NF=C′N+NF=C′N+NF′=C′F′（两点之间线段最短），∴此时四边形CMNF的周长最小．∵C′F=3∴GN=C′F=，∴﹣（a+）=2+，∴a=﹣，∵C′F′==5，∴四边形CMNF的周长最小值=5+5=10．（3）如图2中，作PF⊥BD于F，QH⊥对称轴于H．由题意可知BD==4，DQ=2t，∵S△PQG=S△DPQ=S△PD′Q，∴PG=PD′=PD=2=BF，情形①PG∥FB时，∵PF=PD，∴BG=GD，∴PG=BF=2，在Rt△QHD中，sin∠HDQ=，DQ=2t，∴HQ=2t，HD=4t，∵∠QPD′=∠QPD=45°，∴PH=HQ=2t，∴PH+HD=PD，∴6t=4，∴t=．情形②如图3中，PG′=PG=2，作PM⊥BD于M，QK⊥PD于K，QJ⊥PD′于J．由sin∠PDG=sin∠GPM=，∴MG′=MG=，∴G′D=BD﹣GG′=，∵，∵∠QPD=∠QPG′，QK⊥PD，QJ⊥PG′，∴QK=QJ，∴，∴QD=，∴t=，综上所述t=或秒时，△D′PQ与△PQB重叠部分的面积为△DPQ面积的．拓展3、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将△CEF沿EF翻折，点C的落点为M（1）如图1，当CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△CEF沿EF折叠，①连接BM，△BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此时CE的长，如果不可以，说明理由②连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和此时CE的长【答案】（1）MD的长为2（2）①可以；CE=2或②四边形ABMD的周长的最小值为（4+12），此时CE的长为4【解析】（1）如图1，作EN⊥AD于点N，∴∠ANE=∠ENM=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，∴∠A=∠B=∠ANE=90°，∴AB=NE=4，AN=BE．∵EC=5，∴BE=3，∴AN=3．∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM=5．在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，∴MD=8﹣3﹣3=2．答：MD的长为2；（2）①如图2，当∠BME=90°时，∵∠EMF=90°，∴∠BMF=180°，∴B、M、F在同一直线上．∵F是BC的中点，∴CF=DF=CD=2．∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴MF=CF=2，EC=EM．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF=2．∴BM=2﹣2．设EC=EM=x，则BE=8﹣x，在Rt△BME中，由勾股定理，得（8﹣x）2﹣x2=（2﹣2）2，解得：x=．∴CE=；如图3，当∠BEM=90°时，∴∠MEC=90°∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，∴四边形ECFM是正方形，∴MF=CE=2．∴CE=2或；②如图4，∵四边形ABMD的周长最小，∴BM+MD最小，∴B、M、D在同一直线上，∴点M在BD上．连结MC，∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM，FC=FM．∴EF垂直平分MC，∴MG=CG，∴GF是△CDM的中位线，∴FG∥BD，∴BE=CE．∵BC=8，∴CE=4．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=4．∴四边形ABMD的周长的最小值为：4+4+8=4+12．答：四边形ABMD的周长的最小值为（4+12），此时CE的长为4．拓展4、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA′的长；（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）【答案】（1）5（2）（，）（3）（，）【解析】（1）如图①，∵点A（4，0），点B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB==5，∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，∴BA=BA′，∠ABA′=90°，∴△ABA′为等腰直角三角形，∴AA′=BA=5；（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，∴∠HBO′=60°，在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，∴BH=BO′=，O′H=BH=，∴OH=OB+BH=3+=，∴O′点的坐标为（，）；（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，∴BP=BP′，∴O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，∵点C与点B关于x轴对称，∴C（0，﹣3），设直线O′C的解析式为y=kx+b，把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得，∴直线O′C的解析式为y=x﹣3，当y=0时，x﹣3=0，解得x=，则P（，0），∴