爱提分中考复习 4一轮-图形的性质-第03讲 相似三角形一(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱相似三角形（一）知识精讲一．平行线分线段成比例定理1．定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；二．相似三角形的性质对应角相等，对应边成比例，对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．三．相似三角形的判定1．平行定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．“”：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．3．“”：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．“”：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的边对应成比例，那么这两个三角形相似．5．“”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．方法点拨：相似模型1．“A”型如图，，则有．2．“8”字型如图，，则有．3．共线三等角相似模型如下图，图1图2图3重点是共线中的“线”上的三个角要保证相等，利用同角的补角相等近一步证明．4．旋转相似模型共顶点相似的一般三角形模型：如图，图中，得到，，，，则有．5．射影定理：（1）定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理模型如图（1）所示：由图（1）得，由，可得：由，可得：由，可得：（2）射影定理推广：若不为直角三角形，当点满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立．如下图，如上图，当时，，则有：，即：．6．角平分线类相似模型：常见题模型如下：方法点播：角平分线类相似问题基本就这样的四种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学习这部分知识时，涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决．7．内接矩形类相似模型：如图，矩形是的内接矩形，则有三点剖析一．考点：1．相似三角形的性质和判定；2．相似模型．二．重难点：相似三角形的性质和判定；相似模型．相似三角形的性质和判定例题例题1、如图，在△ABC中，AC=10，AB=8，直线l分别与AB，AC交于M，N两点，且l∥BC，若S△AMN：S△ABC=4：9，则AM+AN的长为（）A.10B.12C.14D.16【答案】B【解析】∵l∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，，∴，∴，∵AC=10，AB=8，∴，∴AM+AN=12，例题2、如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（）A.（1）（2）（3）B.（1）（3）C.（1）（2）D.（2）（3）【答案】C【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，∴△ABE∽△ECF；故（1）正确；（2）∵△ABE∽△ECF，∴，∵E是BC的中点，即BE=EC，∴，在Rt△ABE中，tan∠BAE=，在Rt△AEF中，tan∠EAF=，∴tan∠BAE=tan∠EAF，∴∠BAE=∠EAF，∴AE平分∠BAF；故（2）正确；（3）∵当k=1时，即=1，∴AB=AD，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∵△ABE∽△ECF，∴，∴CF=CD，∴CF=CD，∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，∴△ABE与△ADF不相似；故（3）错误．故选C．例题3、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且．（1）求证：（2）若，，，求AF的长．AABECDF【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC，AB//CD，∴，，∵∴∴△ADF∽△DEC．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，，又∵，∴，在Rt△ADE中，，∵△ADF∽△DEC，∴，∴，．例题4、阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点D在线段BC上，，，，，求AC的长．小腾发现，过点C作，交AD的延长线于点E，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：的度数为_________，AC的长为_________．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，，，求BC的长．【答案】（1）；3（2）【解析】本题考查的是相似三角形的判定与性质．过点D作DF//AB交AC于点F，∴，∴∵，∴，∴∵∴，∵∴∵∴∴．随练随练1、如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A.1：2B.1：3C.1：4D.1：1【答案】B【解析】∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ADE的面积：△ABC的面积=（）2=1：4，∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；随练2、如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.=D.=【答案】C【解析】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；故A与B正确；当=时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；故D正确；当=时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误．故选C．相似模型例题例题1、如图，等边△ABC的边长为4，M为BC上一动点（M不与B、C重合），若EB=1，∠EMF=60°，点E在AB边上，点F在AC边上．设BM=x，CF=y，则当点M从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是____A.A选项B.B选项C.C选项D.D选项【答案】B【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BEM+∠BME=∠FMC+∠MFC=120°，∵∠EMF=60°，∴∠EMB+∠FMC=120°，∴∠BEM=∠CMF，∴△BEM∽△CMF，∴=设BM=x，CF=y，∴CM=4-x，∴=，整理得：y=-x2+4x=-（x-2）2+4，故选B．例题2、如图在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若cm，cm，（1），求矩形PQMN的周长；（2）当PN为多少时矩形PQMN的面积最大，最大值为多少？【答案】（1）矩形PQMN的周长为14.4cm；（2）当时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是12．【解析】（1）由题意得；，∴又∵，cm，cm，∴，∴，则，∴矩形PQMN的周长为14.4cm；（2）∵四边形PQMN是矩形，∴PN∥BC，，，∴△PAN∽△ABC，∵AD是高，∴，∴四边形PQDE是矩形，，∴，，设，矩形PQMN的面积为S，则，，∴，，∴∴当时，S的最大值为12．∴当时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是12．例题3、在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？答：____（填“成立”或“不成立”）．【答案】（1）见解析（2）成立（3）成立【解析】（1）证明：如图1，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∴==，∵O为AB中点，∴OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分线，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（2）解：还成立，理由是：如图2，过A作AF⊥AC交CO延长线于F，连接MF，∵∠ACB=90°，∴BC∥AF，∴△BOC∽△AOF，∴==，∵OA=OB，∴AF=BC，CO=OF，∵∠MOC=90°，∴OM是CF的垂直平分线，∴CM=MF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即MC2=AM2+BC2；（3）成立．例题4、已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）y=-t2+t+48（3）【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC=AC=6，OB=OD=BD=8．在Rt△AOB中，AB==10．∵EF⊥BD，∴∠FQD=∠COD=90°．又∵∠FDQ=∠CDO，∴△DFQ∽△DCO．∴=．即=，∴DF=t．∵四边形APFD是平行四边形，∴AP=DF．即10-t=t，解这个方程，得t=．∴当t=s时，四边形APFD是平行四边形．（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，即10•CG=×12×16，∴CG=．∴S梯形APFD=（AP+DF）•CG=（10-t+t）•=t+48．∵△DFQ∽△DCO，∴=．即=，∴QF=t．同理，EQ=t．∴EF=QF+EQ=t．∴S△EFD=EF•QD=×t×t=t2．∴y=（t+48）-t2=-t2+t+48．（3）如图，过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，若S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40，则-t2+t+48=×96，即5t2-8t-48=0，解这个方程，得t1=4，t2=-（舍去）过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，当t=4时，∵△PBN∽△ABO，∴==，即==．∴PN=，BN=．∴EM=EQ-MQ=3-=．PM=BD-BN-DQ=16--4=．在Rt△PME中，PE===（cm）．例题5、在△ABC中，，在△AED中，，点D、E分别在CA、AB上．（1）如图①，若，则CD与BE的数量关系是________；（2）若，将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置，则CD与BE的数量关系是_______；（3）若，将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置，探究线段CD与BE的数量关系，并加以证明(用含α的式子表示)．【答案】（1）（2）（3）【解析】该题考查的是相似三角形综合题．（1）由已知，△ADE和△ACB都是等腰直角三角形，所以有，，从而有,即；……1分（2）分别过点C、D作于点M，于点N，∵，，，∴，，，．∴．在Rt△ACM和Rt△ADN中，，∴．∴．又∵，∴△BAE∽△CAD．∴．∴；………………3分（3）．…………4分如图，分别过点C、D作于点M，于点N，∵，，∴，，，．∴．………5分Rt△ACM和Rt△ADN中,，．∴．∴．………6分又∵，∴△BAE∽△CAD．∴∴．………7分随练随练1、如图，矩形中，，，点是边上的一个动点（点不与点，重合），现将沿直线折叠，使点落下点处；作的平分线交于点．设，，那么关于的函数图象大致应为（）A.A选项B.B选项C.C选项D.D选项【答案】C【解析】由翻折的性质得，，平分，，，，又，，，即，随练2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）=【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴=，∴=．拓展拓展1、将一副三角板按如图叠放，△ABC是等腰直角三角形，△BCD是有一个角为30°的直角三角形，则△AOB与△DCO的面积之比等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设BC=a，则AB=BC=a，CD=a∴AB：CD=1：∵AB∥CD∴△AOB∽△COD∴AB：CD=1：∴△AOB与△DCO的面积之比为1：3故选C．拓展2、如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时，，即，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时，，即，解得：x=，则这样的点P共有3个，拓展3、如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为____A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【答案】D【解析】设BF=x，则CF=3-x，B'F=x，又点B′为CD的中点，∴B′C=1，在Rt△B′CF中，B'F2=B′C2+CF2，即x2=1+（3-x）2，解得：x=，即可得CF=3-=，∵∠DB′G+∠