爱提分中考复习 18三轮-最值问题-第01讲 最值问题（一）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱最值问题（一）知识精讲一．利用二次函数求最值二次函数（为常数且）其性质中有①若，当时，有最小值，；①若，当时，有最大值，；利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的．二．与圆有关的最值问题常常利用极端、临界(端点处、临界点等)的元素为“突破口”,进行探索、推理论证,使“变动”转化为“确定”,从而分散问题的难点使问题得到解决,这种数学思想方法,就是极端性原理.最值问题大多由动点而产生,找出动点(相应动线)的极端位置,常常能确定最值.三点剖析一．考点：1．二次函数求最值2．与圆有关的最值问题二．重难点：1．二次函数求最值2．与圆有关的最值问题三．易错点：1．在构造函数关系时出错；函数最值问题例题例题1、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）或或；（3）E（2，1）．【解析】（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c得，解得b=，c=2，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．（2）存在．如图1中，∵C（0，2），D（，0），∴OC=2，OD=，CD==①当CP=CD时，可得P1．或或；②当DC=DP时，可得P2，P3综上所述，满足条件的P点的坐标为或或．（3）如图2中，对于抛物线y=﹣x2+x+2，当y=0时，﹣x2+x+2=0，解得x1=4，x2=﹣1∴B（4，0），A（﹣1，0），由B（4，0），C（0，2）得直线BC的解析式为y=﹣x+2，设E则F，EF=﹣=∴＜0，∴当m=2时，EF有最大值2，此时E是BC中点，∴当E运动到BC的中点时，△EBC面积最大，∴△EBC最大面积=×4×EF=×4×2=4，此时E（2，1）．例题2、如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）－2；－3（2）（0，－2）（3）存在；或【解析】（1）∵CD∥x轴，CD＝2，∴抛物线对称轴为x＝1．∴，b＝－2．∵OB＝OC，C（0，c），∴B点的坐标为（－c，0），∴0＝c2＋2c＋c，解得c＝－3或c＝0（舍去），∴c＝－3；（2）设点F的坐标为（0，m）．∵对称轴为直线x＝1，∴点F关于直线l的对称点F的坐标为（2，m）．由（1）可知抛物线解析式为y＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，∴E（1，－4），∵直线BE经过点B（3，0），E（1，－4），∴利用待定系数法可得直线BE的表达式为y＝2x－6．∵点F在BE上，∴m＝2×2－6＝－2，即点F的坐标为（0，－2）；（3）存在点Q满足题意．设点P坐标为（n，0），则PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3．作QR⊥PN，垂足为R，∵S△PQN＝S△APM，∴，∴QR＝1．①点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n－1，n2－4n），R点的坐标为（n，n2－4n），N点的坐标为（n，n2－2n－3）．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1＋（2n－3）2，∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为；②点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n＋1，n2－4）．同理，NQ2＝1＋（2n－1）2，∴时，NQ取最小值1．此时Q点的坐标为．综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或．例题3、如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．【答案】（1）m=（2）点D的坐标为（8，﹣16m）（3）实数n的最小值为【解析】（1）令y=mx2﹣16mx+48m=m（x﹣4）（x﹣12）=0，则x1=12，x2=4，∴A（12，0），即OA=12，又∵C（0，48m），∴当△OAC为等腰直角三角形时，OA=OC，即12=48m，∴m=；（2）由（1）可知点C（0，48m），∵对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，∴必有E（0，﹣48m），设直线AE的解析式为y=kx+b，将E（0，﹣48m），A（12，0）代入，可得，解得，∴直线AE的解析式为y=4mx﹣48m，∵点D为直线AE与抛物线的交点，∴解方程组，可得或（点A舍去），即点D的坐标为（8，﹣16m）；（3）当∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD时，△ODB∽△OAD，∴OD2=OA×OB=4×12=48，∴OD=4，又∵点D为线段AE的中点，∴AE=2OD=8，又∵OA=12，∴OE==4，∴D（6，﹣2），把D（6，﹣2）代入抛物线y=mx2﹣16mx+48m，可得﹣2=36m﹣96m+48m，解得m=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣4）（x﹣12），即y=（x﹣8）2﹣，∵点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，∴y0≥﹣，令t=﹣4my02﹣12y0﹣50=﹣2y02﹣12y0﹣50=﹣2（y0+3）2+4，则当y0≥﹣时，t最大值=﹣2（﹣+3）2+4=，若要使n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，则n+≥，∴n≥3，∴实数n的最小值为．随练随练1、已知抛物线y=ax2﹣4a（a＞0）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°，如图所示．（1）求抛物线的解析式．（2）设点M（m，n）为抛物线上的一个动点，且在曲线PA上移动．①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，是否存在点M使△APM的面积为？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求|m|+|n|的最大值及取得最大值时点M的坐标．【答案】（1）y=x2﹣；（2）①（3，）；②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）时，|m|+|n|的最大值为．【解析】（1）如图1，令y=0代入y=ax2﹣4a，∴0=ax2﹣4a，∵a＞0，∴x2﹣4=0，∴x=±2，∴A（﹣2，0），B（2，0），∴AB=4，过点P作PC⊥x轴于点C，∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，∵PB=AB=4，∴cos∠PBC=，∴BC=2，由勾股定理可求得：PC=2，∵OC=OC+BC=4，∴P（4，2），把P（4，2）代入y=ax2﹣4a，∴2=16a﹣4a，∴a=，∴抛物线解析式为；y=x2﹣；（2）∵点M在抛物线上，∴n=m2﹣，∴M的坐标为（m，m2﹣），①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，∴2≤m≤4，如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，交AP于点D，设直线AP的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0）与P（4，2）代入y=kx+b，得：，解得∴直线AP的解析式为：y=x+，令x=m代入y=x+，∴y=m+，∴D的坐标为（m，m+），∴DM=（m+）﹣（m2﹣）=﹣m2+m+，∴S△APM=DM•AE+DM•CE=DM（AE+CE）=DM•AC=﹣m2+m+4当S△APM=时，∴=﹣m2+m+4，∴解得m=3或m=﹣1，∵2≤m≤4，∴m=3，此时，M的坐标为（3，）；②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，∴﹣2≤m≤2，n＜0，当﹣2≤m≤0时，∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣m2﹣m+=﹣（m+）2+，当m=﹣时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为，此时，M的坐标为（﹣，﹣），当0＜m≤2时，∴|m|+|n|=m﹣n=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，当m=时，∴|m|+|n|可取得最大值，最大值为，此时，M的坐标为（，﹣），综上所述，当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，M的坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）时，|m|+|n|的最大值为．随练2、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）M（，）；（4）（，）．【解析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．∵S梯形DOGF=（OD+FG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA=OD•OA=×1×1=，S△AGF=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△FDA的最大值为．∴点P的坐标为（，）．与圆有关的最值问题例题例题1、已知：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10,点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F.（1）若点D是AB的中点，=1\*GB3①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；=2\*GB3②如图2,连结EF，若EF∥AB,求线段EF的长;=3\*GB3③请写出求线段EF长度最小值的思路.（2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是_________.【答案】（1）=1\*GB3①见解析；=2\*GB3②；=3\*GB3③见解析；（2）.【解析】（1）=1\*GB3①如图1所示，=2\*GB3②如图2，连结CD，FD，，,,是直角三角形，,是的直径，是AB的中点，,,,,,,,是的直径，.=3\*GB3③由可得,是的直径，由于是的弦，是的直径时，最小.（2）如图3，由（1）=3\*GB3③知，是的直径时，最小.即最小值为，当点D在边AB上运动时，只有时，最小，由（1）=2\*GB3②知，是直角三角形，,.例题2、在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为2，①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．【答案】（1）①变换点在⊙O上；变换点在⊙O外；P横坐标的取值范围为﹣2＜x＜0；②﹣2＜x＜0（2）﹣1【解析】（1）①M（2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则OM′==2，所以点M（2，0）的变换点在⊙O上；N（﹣2，﹣1）的变换点N′的坐标为（﹣3，﹣1），则ON′==＞2，所以点N（﹣2，﹣1）的变换点在⊙O外；②设P点坐标为（x，x+2），则P点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则OP′=，∵点P′在⊙O的内，∴＜2，∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，即点P横坐标的取值范围为﹣2＜x＜0；（2）设点P′的坐标为（x，﹣2x+6），P（m，n），根据题意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，∴3m+n=6，即n=﹣3m+6，∴P点坐标为（m，﹣3m+6），∴点P在直线y=﹣3x+6上，设直线y=﹣3x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图2，则A（2，0），B（0，6），∴AB==2，∵OH•AB=OA•OB，∴OH==，∴CH=﹣1，即点P与⊙O上任意一点距离的最小值为﹣1．例题3、如图，在平面直角坐标系中，⊙P交y轴于A（0，9），B（0，1），与x轴相切于C．（1）求⊙P的半径和P点坐标．（2）在图2中，作直径EF∥x轴交⊙P于E，F两点（E点在F点左边），交y轴于点D，连接AF，CF．①求tan∠AFC的值．②若点Q是线段EF上一动点，请直接写出QB＋QC的取值范围．【答案】（1）半径为5，P点坐标为（3，5）（2）①3；②随练随练1、如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．【答案】（1）见解析；（2）PB=PE；（3）【解析】证明：（1）如图1，连接BC，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠A=∠ABC，∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴AC2=AE•AB；（2）PB=PE，理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE；（3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON=OC=OB，Rt△OBN中，∠OBN=30°，∴∠COB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，∠A=∠COB=30°，∴∠PEB=2∠A=60°，∠ABP=90°﹣30°=60°，∴△PBE是等边三角形，Rt△OBN中，BN=，∴AB=2BN=4，设AE=x，则CE=x，EN=2﹣x，Rt△CNE中，x2=22+（2﹣x）2，x=，∴BE=PB=4﹣=，Rt△OPB中，OP=，∴PQ=．则线段PQ的最小值是．随练2、如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB=10，∠A=30°，半径为1的动圆Q的圆心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PB长为半径的⊙P与AB、BC的另一个交点分别为E、D，连结ED、EQ．（1）判断并证明ED与BC的位置关系，并求当点Q与点D重合时t的值；（2）当⊙P和AC相交时，设CQ为x，⊙P被AC截得的弦长为y，求y关于x的函数；并求当⊙Q过点B时⊙P被AC截得的弦长；（3）若⊙P与⊙Q相交，写出t的取值范围．【答案】（1）DE⊥BC，理由见解析；当t=时，Q与D重合（2）y=；2（3）⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围为＜t≤5【解析】（1）结论：DE⊥BC．理由如下：如图1中，∵BE是直径，∴∠BDE=90°，∴DE⊥BC，∵∠BCA=90°，∠A=30°，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴==，如图2中，当C、D重合时，设CQ=CD=t，则BD=5﹣t，BE=2t，∴=，∴t=．∴当t=时，Q与D重合．（2）如图3中，设⊙P和AC相交于M、N．BP=CQ=t，AP=AB﹣BP=10﹣t，过点P作PH⊥AC于H．在Rt△APH中，∵∠A=30°，∴PH=AP=（10﹣t），在Rt△PHN中，NH==，MN=2MH=，即y=，当⊙O经过点B点时，CQ=CB﹣QB=4，将t=代入得到，MN=2，（3）当⊙P与⊙Q外切时，如图4中，作PH⊥BC于H．易知此时∠QBP=60°，BQ=5﹣t，PQ=t+1，BP=t，∵在Rt△PBH中，BH=PB=t．PH=t，在Rt△PHQ中，PH2+QH2=PQ2，∴（t）2+（5﹣t）2=（t+1）2，整理得2t2﹣17t+24=0，解得t=或（舍弃）∵从此时起到停止运动，⊙P与⊙Q都处于相交位置，∴⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围为＜t≤5．随练3、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；若点P在直线x＝2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数________；②在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标．（2）若点P在直线上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标xP的取值范围．（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，－1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标xC的取值范围．【答案】（1）①；60°；②B（，）（2）（3）或【解析】（1）①画如图1所示，如图2，当∠MPN最大时，此时PM与PN与⊙O相切，∵⊙O的半径为r＝1，∴s，当OP最小时，此时sin∠MPO最大，即∠MPO最大，∴，∴∠MPO＝30°∴∠MPN＝2∠MPO＝60°；②∵点B关于⊙O的视角为60°，∴BM与⊙O相切，且∠MBO＝30°，∴点B在以O为圆心，2为半径的圆上，即OB＝2，∵B（m，m）（m＞0），∴，∴m，∴B（，）；（2）如图3，∵点P关于⊙O的“视角”大于60°，∴∠MPO＞30°，∴，∴OP＜2，∵点P不在⊙C上，∴1＜OP＜2∴点P在以O为圆心，1为半径与2为半径的圆环内，∵点P在直线上，由图4，可得xp＝0或，∴；（3）如图5，①当点C在x轴正半轴时，在线段EF上取一点P，当PM，PN都与⊙C相切时，∠MPN最大，当∠MPN＝120°时，连接CP，∴∠CPM＝60°，在Rt△PCM中，CM＝1，，∴，∵线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，∴点P和原点O重合时，视角只要小于120°时，即可，，此时，满足条件的，②当点C在x轴负半轴时，同①可得，，即：满足条件的或．拓展拓展1、如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．【答案】（1）y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3．（2≤m≤6）；（3）m=时，MN最小==【解析】（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a（6﹣2）2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（，3），∴BE=，∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m，6）是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B（0，3），C（4，3），∵A（2，6），∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最小==拓展2、如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）=，d（∠xOy，B）=．（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=x（x≥0）．①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；②在图4中，抛物线y=﹣x2+2x+经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q的坐标．【答案】（1）d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．（2）y=5﹣x（0≤x≤5）．（3）①；②（4，）．【解析】（1）∵点A（5，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是5，∴d（∠xOy，A）=0+5=5，∵点B（3，2）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，∴d（∠xOy，B）=2+3=5．综上，可得d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．（2）设点P的坐标是（x，y），∵d（∠xOy，P）=5，∴x+y=5，∴点P运动所形成的图形是线段y=5﹣x（0≤x≤5）．（3）①如图3，作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，，∵直线OT对应的函数关系式为y=x（x≥0），∴点H的坐标为H（4，），∴CH==，OH===，∵CE⊥OT，∴∠OHF+∠HCE=90°，又∵∠OHF+∠HOF=90°，∴∠HCE=∠HOF，在△HEC和△HFO中，∴△HEC∽△HFO，∴=，即=，∴EC=，∴d（∠xOT，C）=+1=．②如图4，作QG⊥OT于点G，QH⊥x轴于点H，交OT于点K，，设点Q的坐标为（m，n），其中3≤m≤5，则n=﹣m2+2m+，∴点K的坐标为（m，m），QK=，∴HK=m，OK=m．∵Rt△QGK∽Rt△OHK，∴，∴QG=，∴d（∠xOT，Q）=QG+QH=+n==（﹣m2+2m+）=﹣m2+m+1=（m﹣4）2∵3≤m≤5，∴当m=4时，d（∠AOB，Q）取得最大值．此时，点Q的坐标为（4，）．故答案为：5、5．拓展3、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设此抛物线与直线y=﹣x在第二象限交于点D，平行于y轴的直线与抛物线交于点M，与直线y=﹣x交于点N，连接BM、CM、NC、NB，是否存在m的值，使四边形BNCM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4（2）存在（3）当m=﹣1时（在内），四边形BNCM的面积S最大【解析】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣4，0）两点，将A、B两点坐标代入抛物线方程，得到：解得：所以，该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；（2）存在．∵由前面的计算可以得到，C（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=﹣1.5，∴由抛物线的对称性，点A、B关于直线x=1对称，∴当QC+QA最小时，△QAC的周长就最小，而当点Q在直线BC上时QC+QA最小，此时直线BC的解析式为y=x+4，当x=﹣1.5时，y=2.5，∴在该抛物线的对称轴上存在点Q（﹣1.5，2.5），使得△QAC的周长最小；（3）由题意，M（m，﹣m2﹣3m+4），N（m，﹣m）∴线段MN=﹣m2﹣3m+4﹣（﹣m）=﹣m2﹣2m+4=﹣（m+1）2+5∵S四边形BNCM=S△BMN+S△CMN=0.5MN×BO=2MN=﹣2（m+1）2+10∴当m=﹣1时（在内），四边形BNCM的面积S最大．拓展4、阅读理解：我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．问题：如图1，已知EF为△ABC的中位线，M是边BC上一动点，连接AM交EF于点P，那么动点P为线段AM中点．理由：∵线段EF为△ABC的中位线，∴EF∥BC，由平行线分线段成比例得：动点P为线段AM中点．由此你得到动点P的运动轨迹是：__________．知识应用：如图2，已知EF为等边△ABC边AB、AC上的动点，连结EF；若AF=BE，且等边△ABC的边长为8，求线段EF中点Q的运动轨迹的长