爱提分中考复习 15三轮-圆的综合-第01讲 圆的综合（一）(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱圆的综合（一）知识精讲圆与函数1、圆与一次函数综合问题圆与一次函数的综合问题考查的本质是：直线与圆的位置关系；解题方法：解析法、几何法；解析法主要是通过联立直线的解析式与圆的方程来求解动点坐标；几何法主要是通过数形结合，利用图形的性质表示线段的长度等进而求出动点的坐标。2、圆与二次函数、反比例函数综合问题圆与二次函数的综合问题考查的主要是二次函数的图像和性质，圆的性质及切线的性质和判定，相似和勾股定理的综合运用。解题方法：结合二次函数和反比例函数和圆的性质，利用相似或者勾股定理建立方程，求出线段长度或者点的横纵坐标，进而求出最终结论。注意问题：（1）用坐标表示线段长度时要加上绝对值符号或者一开始做好分类讨论；（2）建立方程尽量数形结合，单纯的解析方法容易产生高次方程，求解困难；（3）注意特殊角和特殊图形性质的综合应用，找准等量关系。圆的新定义所谓“圆的新定义问题”，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已学的圆的知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力.三点剖析考点：圆与函数，圆的新定义．二．重难点：圆与函数，圆的新定义．三．易错点：1．圆与一次函数：圆与一次函数的结合主要考虑到相切的情况求取值范围，利用垂径定理或者切线的性质和定理进行求解；2．圆与二次函数：圆与二次函数基本上结合了二次函数和圆的性质，需要借助图像来进行分析；3．圆与反比例函数：圆与反比例函数出现的较少，要注意到反比例函数的对称性，再结合圆的条件来进行分析解答．圆与函数例题例题1、如图，P为正比例函数y=x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x，y）．（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．例题2、如图所示，扇形OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，点M在DE上，DM=2EM，过点C的直线PC交OA的延长线于点P，且∠CPD=∠CDE．（1）求证：DM=r；（2）求证：直线PC是扇形OAB所在圆的切线；（3）设y=CD2+3CM2，当∠CPO=60°时，请求出y关于r的函数关系式．例题3、如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点．（1）求出A，B两点的坐标；（2）有一开口向下的抛物线y=a（x-h）2+k经过点A，B，且其顶点在⊙C上．试确定此抛物线的表达式．例题4、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．随练随练1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为____；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．随练2、如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．（1）求直线l的解析式；（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．随练3、如图，⊙O是O为圆心，半径为的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点．（1）若OA=OB①求k；②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为C、D，若∠CPD=90°，求点P的坐标；（2）若k=-，且直线y=kx+b分⊙O的圆周为1：2两部分，求b．随练4、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，-），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．随练5、在平面直角坐标系xOy中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴，y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）写出∠AMB的度数；（2）点Q在射线OP上，且OP•OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E．①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S．求S与t的函数关系式及S的取值范围．随练6、对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点，△PMN为图形G关于点P的τ型三角形．（1）如图1，已知点，，以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B两点中，⊙O的τ型点是____，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可）（2）如图2，已知点，点（其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线，且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为，求m的值；（3）若是抛物线的τ型点，直接写出n的取值范围．随练7、在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．随练8、定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．圆与新定义例题例题1、我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C．yyCMAOBxD第25题图（1）求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式；（2）求经过点D的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E是“蛋圆”上一点（不与点A、点B重合），点E关于x轴的对称点是F，若点F也在“蛋圆”上，求点E的坐标．例题2、在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为2，①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．例题3、在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞1），P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，B，满足|PA﹣PB|=2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P的示意图．（1）当⊙O的半径为2时，①在点M（，0），N（0，1），T（﹣，﹣）中，⊙O的“完美点”是______；②若⊙O的“完美点”P在直线y=x上，求PO的长及点P的坐标；（2）⊙C的圆心在直线y=x+1上，半径为2，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求圆心C的纵坐标t的取值范围．随练拓展拓展1、定义：如图1所示，给定线段及其垂直平分线上一点，若以点为圆心，为半径的优弧（或半圆弧）上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点为线段的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点为线段的“强三足点”。问题：如图2所示，平面直角坐标系中，点的坐标为，点在射线上。在点和中，可以成为线段的“三足点”的是__________；若第一象限内存在一点既是线段的“三足点”，又是线段的“强三足点”，求点的坐标。在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，假设该圆与轴交点中右侧一个为，，圆上一动点从出发，绕点顺时针旋转后停止，设点出发后转过的角度为()，若线段与不存在公共的“三足点”，请直接写出的取值范围．拓展2、如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，且C为的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（﹣2，0），AE=8．（1）求点C的坐标；（2）连接MG、BC，求证：MG∥BC；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．拓展3、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC=BO•OA．拓展4、如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c过坐标系原点及点B（4，4），交x轴的另一个点为A．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C，使得S△ABO=S△CBO，求出点C的坐标；（3）连结BO交对称轴于点D，以半径为作⊙D，抛物线上一动点P，过P作圆的切线交圆于点Q，使得PQ最小的点P有几个？并求出PQ的最小值．拓展5、如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．拓展6、如图，在平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图像的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，OC=3OA．（1）求这个二次函数的表达式；（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．拓展7、(2013中考丰台一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙C的圆心坐标为，半径为．函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为直线AB上一动点（1）若△POA是等腰三角形，且点P不与点A、B重合，直接写出点P的坐标；（2）当直线PO与⊙C相切时，求的度数（3）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令，，求s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围yyOBADADxC拓展8、已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（-2，0），（2，0）．（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P．①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；②是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．拓展9、概念：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知，，，是平面直角坐标系中四点．（1）根