爱提分中考复习 11二轮-创新题-第02讲 创新题（二）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱创新题（二）知识精讲一．几何创新题1．几何创新题一般更偏向于几何综合，结合题目中给出的新定义，探究题目中图形的角度、线段关系，但有时也经常放在坐标系中，注意坐标和线段长度的转化．2．几何创新题经常与圆有关，并且与动点结合起来考察一次函数与圆的综合，要求学生在理解题意的情况下，定性分析出符合题意的临界位置，并能够结合题目中给的条件进行定量计算，综合性较强难度较大．三点剖析一．考点：几何创新题．二．重难点：几何创新题综合三．易错点：几何图形复杂，不能得出正确的结论，做出正确的辅助线做法．几何创新题例题例题1、在课外活动中，我们要研究一种凹四边形﹣﹣燕尾四边形的性质．定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形（如图1）．（1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号）；定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）．特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形．小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究．下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四边形ABCD的面积（直接写出结果）．【答案】（1）②；（2）①一组对角相等；②它是一个轴对称图形且AC所在的直线是燕尾四边形的对称轴；（3）．【解析】（1）由凹四边形的定义得出，图②是凹四边形．故答案是②；（2）①一组对角相等；②它是一个轴对称图形；①已知：如图1，在凹四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求证：∠B=∠D．证明：连接AC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D．②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直线是燕尾四边形的对称轴；（3）如图2，连接AC，过点B作BE⊥AC交AC的延长线于E；由（2）知，燕尾四边形ABCD是轴对称图形，∴∠BCE=∠BCD=60°，∴∠CBE=30°，在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE=BC=2，BE=CE=2，在Rt△ABE中，AB=6，BE=2，根据勾股定理得，AE==2，∴S△ABC=S△ABE﹣S△CBE=BE•AE﹣BE•CE=BE（AE﹣CE）=××（2﹣2）=6﹣2∴燕尾四边形ABCD的面积为2S△ABC=．例题2、类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．（3）如图2，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′．小红要使得平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段B′B的长）？【答案】（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB；（2）正确，理由见解析；（3）平移2或或或．【解析】（1）解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（2）解：小红的结论正确．理由如下：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形，（3）解：由∠ABC=90°，AB=2，BC=1，得：AC=，∵将Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，∴BA′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2，（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=AC′=，（III）当AC′=BC′=时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°∴∠BB′D=∠ABB′=45°，∴B′D=BD，设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′=x∵根据在Rt△BC′D中，BC′2=C′D2+BD2即x2+（x+1）2=5解得：x=1或x=﹣2（不合题意，舍去）∴BB′=，（IV）当BC′=AB=2时，如图4，与（III）方法同理可得：x=或x=，x=或x=（舍去）∴BB′=x=．故应平移2或或或．例题3、如图1，在平面直角坐标系内，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点的直线l与，都有公共点，则称点是联络点．例如，点是联络点．（1）以下各点中，__________________是联络点（填出所有正确的序号）；=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③.图图1备用图（2）直接在图1中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示；（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为联络点，①若，求点M的纵坐标；②求r的取值范围．【答案】（1）②，③（2）见解析（3）或；【解析】（1）=2\*GB3②，=3\*GB3③是联络点．……………………2分（2）所有联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．…………4分（3）① ∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为联络点，阴影部分关于y轴对称，∴⊙M与直线AC相切于(0，0)，或与直线BD相切于(0，1)，如图所示．又∵⊙M的半径，∴点M的坐标为(0，)或(0，2)．………………6分经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点，⊙M上只有一个点为联络点，符合题意．∴点M的坐标为(0，)或(0，2)．∴点M的纵坐标为或2．② 阴影部分关于直线对称，故不妨设点M位于阴影部分下方．∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为联络点，阴影部分关于y轴对称，∴⊙M与直线AC相切于O(0，0)，且⊙M与直线AD相离．作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F，∴MO=r，ME>r，F(0，)．在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，，∴，．在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM=FO+OM=r+，，∴．∴．又∵，∴．…………8分例题4、类比特殊四边形的学习，我们可以定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．【探索体验】（1）如图1，已知在四边形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝100°，∠C＝120°．求证：四边形ABCD是“等对角四边形”．（2）如图2，若AB＝AD＝a，CB＝CD＝b，且a≠b，那么四边形ABCD是“等对角四边形”吗？试说明理由．【尝试应用】（3）如图3，在边长为6的正方形木板ABEF上裁出“等对角四边形”ABCD，若已经确定DA＝4m，∠DAB＝60°，是否在正方形ABEF内（包括边上）存在一点C，使四边形ABCD以∠DAB＝∠BCD为等对角的四边形的面积最大？若存在，试求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解答】（1）∵在四边形ABCD中，∠A＝40°，∠B＝100°，∠C＝120°．∴∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝100°，∠A≠∠C，∴∠D＝∠D，∴四边形ABCD是“等对角四边形”；（2）如图2，连接BD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB，∴∠ABD＋∠CBD＝∠ADB＋∠CDB，∴∠ABC＝∠ADC，∵AB＝AD＝a，CB＝CD＝b，且a≠b，且BD＝BD，∴△ABD与△CBD不相似，∴∠A≠∠C，∴四边形ABCD是“等对角四边形”．（3）如图3，连接BD，当∠DAB＝∠BCD＝60°时，四边形ABCD是“等对角四边形”，此时点C在BD为弦的上，要使四边形ABCD的面积最大，则点C在边BE上，过点D作DH⊥AB于点H，作DM⊥BC于点M，在Rt△ADH中，∠DAH＝60°，AD＝4，∴AH＝2，，∴BH＝AB－AH＝4，∵四边形DHBM是矩形，∴，DM＝BH＝4，在Rt△DMC中，∠DCM＝60°，∴，∴，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD（m2）例题5、设平面内一点到等边三角形中心的距离为d，等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R．对于一个点与等边三角形，给出如下定义：满足r≤d≤R的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（﹣，﹣1），C（，﹣1）．（1）已知点D（2，2），E（，1），F（﹣，﹣1）．在D，E，F中，是等边△ABC的中心关联点的是；（2）如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使∠AMO=30°．①若线段AM上存在等边△ABC的中心关联点P（m，n），求m的取值范围；②将直线AM向下平移得到直线y=kx+b，当b满足什么条件时，直线y=kx+b上总存在等边△ABC的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图2，点Q为直线y=﹣1上一动点，⊙Q的半径为．当Q从点（﹣4，﹣1）出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）E，F；（2）①0≤m≤；②﹣≤b≤2；（3）．【解析】（1）由题意R=2，r=1，点O是△ABC的中心，∵OD=2，OE=2，OF=，∴点E、F是△ABC的中心关联点故答案为E，F；（2）①解：如图1中，由题意A（0，2），M（2，0）．可求得直线AM的解析式为y=﹣x+2，经验证E在直线AM上．因为OE=OA=2，∠MAO=60°，所以△OAE为等边三角形，所以AE边上的高长为．当点P在AE上时，≤OP≤2．所以当点P在AE上时，点P都是等边△ABC的中心关联点．所以0≤m≤；②如图1﹣1中，设平移后的直线交y轴于G，作这条直线的垂线垂足为H．当OH=2时，在Rt△OHG中，∵OH=2，∠HOG=30°，∴cos30°=，∴OG=，∴满足条件的b的值为﹣≤b≤2；（3）存在．理由：如图2中，设Q（m，﹣1）．由题意当OQ=时，⊙Q上所有点都是等边△ABC的中心关联点，=，解得m=，∴t=．例题6、定义：如图1所示，给定线段及其垂直平分线上一点，若以点为圆心，为半径的优弧（或半圆弧）上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点，则称点为线段的“三足点”，特别的，若这样的等边三角形只存在一个，则称点为线段的“强三足点”。问题：如图2所示，平面直角坐标系中，点的坐标为，点在射线上。在点和中，可以成为线段的“三足点”的是__________；若第一象限内存在一点既是线段的“三足点”，又是线段的“强三足点”，求点的坐标。在（2）的条件下，以点为圆心，为半径作圆，假设该圆与轴交点中右侧一个为，，圆上一动点从出发，绕点顺时针旋转后停止，设点出发后转过的角度为()，若线段与不存在公共的“三足点”，请直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)（3）

或

【解析】(1)（2）由题可知：点既为线段的“三足点”的,又是线段

的“强三足点”，则点须满足在和

的垂直平分线上，且如图所示

与轴的夹角为

．

.

设点的坐标为，点在的垂直平分线上，故，所以(3)

或

随练随练1、如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，证明见解析（2）垂美四边形的两组对边的平方和相等，证明见解析（3）【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，∴GE=．随练2、定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O．（1）“距离坐标”为（1，0）点有个；图图1图2图3（2）如图2，若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为（p，q），且∠BOD=120°．请画出图形，并直接写出p，q的关系式；（3）如图3，点M的“距离坐标”为（1，），且∠AOB=30°，求OM的长．【答案】（1）2（2）（3）【解析】（1）2；……………………1（2）…………2过M作MN⊥AB于N∵直线l⊥CD于O，∠BOD=120°，∴∠MON=30°∵MN=p，OM=q，∴…………………………3（3）分别作点M关于OA、OB的对称点E、F，连接EF、OE、OF、EM、FM……4∴△OEC≌△OMC，△OFD≌△OMD．∴∠AOM=∠AOE，∠BOM=∠BOF，OM=OE=OF．∴∠EOF=60°．……………………5∴OM=OE=OF=EF．∵MD=1，MC=，∴MF=2，ME=．∵∠AOB=30°，∴∠CMD=150°．…………………6过F做FG⊥CM，交CM延长线于G，∴∠FMG=30°．在Rt△FMG中，FG=1，MG=．在Rt△EFG中，FG=1，EG=．∴EF==．∴OM=．……………………7随练3、我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【答案】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD；（3）12﹣．【解析】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，设EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴=，即=，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE==，∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．随练4、如图①，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴正半轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD为边在第一象限内作正方形DBFE，设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N．如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．（1）试找出图1中的一个损矩形；（2）试说明（1）中找出的损矩形的四个顶点一定在同一个圆上；（3）随着点D位置的变化，点N的位置是否会发生变化？若没有发生变化，求出点N的坐标；若发生变化，请说明理由；（4）在图②中，过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点坐标．【答案】（1）四边形ADMB就是一个损矩形（2）见解析（3）没有变化，（0，-1）（4）D点坐标为（3，0）【解析】（1）从图中我们可以发现四边形ADMB就是一个损矩形．∵点M是正方形对角线的交点，∴∠BMD=90°，∵∠BAD=90°，∴四边形ADMB就是一个损矩形．（2）取BD中点H，连接MH，AH．∵四边形OABC，BDEF是正方形，∴△ABD，△BDM都是直角三角形，∴HA=BD，HM=BD，∴HA=HB=HM=HD=BD，∴损矩形ABMD一定有外接圆．（3）∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H，∴∠MAD=∠MBD，∵四边形BDEF是正方形，∴∠MBD=45°，∴∠MAD=45°，∴∠OAN=45°，∵OA=1，∴ON=1，∴N点的坐标为（0，-1）．（4）延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥x轴于点Q，设点MG=x，则四边形APMQ为正方形，∴PM=AQ=x-1，∴OG=MQ=x-1，∵△MBP≌△MDQ，∴DQ=BP=CG=x-2，∴MN2=2x2，ND2=（2x-2）2+12，MD2=（x-1）2+（x-2）2，∵四边形DMGN为损矩形，∴2x2=（2x-2）2+12+（x-1）2+（x-2）2，∴2x2-7x+5=0，∴x=2.5或x=1（舍去），∴OD=3，∴D点坐标为（3，0）．随练5、我们给出如下定义：若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为180°），则称这个四边形为圆满四边形．（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于圆满四边形的有____．（2）问题探究：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ADB=∠ACB，问四边形ABCD是圆满四边形吗？请说明理由．小明经过思考后，判断四边形ABCD是圆满四边形，并提出了如下探究思路：先证明△AOD∽△BOC，得到比例式=，再证明△AOB∽△DOC，得出对应角相等，根据四边形内角和定理，得出一组对角互补．请你帮助小明写出解题过程．（3）问题解决：请结合上述解题中所积累的经验和知识完成下题．如图‚，四边形ABCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，AB与DC的延长线相交于点E，BE=BD，AB=5，AD=3，求CE的长．【答案】（1）矩形；正方形（2）见解析（3）CE=【解析】（1）∵矩形和正方形的四个内角都是90°，∴矩形和正方形的两组对角的和为180°，∴矩形，正方形是圆满四边形．（2）证明：∵∠ADB=∠ACB，∠AOD=∠BOC，∴∠DAO=∠CBO，∴△AOD∽△BOC，∴，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC，∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD．∴∠ADB+∠ODC+∠OBA+∠OBC=∠ACB+∠OAB+∠OCD+∠OAD=180°，即∠ADB+∠ABC=∠DCB+∠DAB=180°．∴四边形ABCD是圆满四边形．（3）∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴四边形ABCD是圆满四边形，由上可得，∠DAB+∠DCB=∠ADC+∠ABC=180°，∠BDC=∠BAC．又∵BE=BD，∴∠BED=∠BDC=∠BAC，∴AC=EC．又∵∠BCE+∠DCB=180°，∴∠BCE=∠DAB，又∠BEC=∠DEA，∴△BEC∽△DEA，∴，设AC=EC=x，则BC==BD==4，∴EA=5+4=9，∴，解得，x=．即：CE=随练6、在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大时，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．（1）如图，⊙O的半径为1，①已知点A（0，2），画出点A关于⊙O的“视角”；若点P在直线x＝2上，则点P关于⊙O的最大“视角”的度数________；②在第一象限内有一点B（m，m），点B关于⊙O的“视角”为60°，求点B的坐标．（2）若点P在直线上，且点P关于⊙O的“视角”大于60°，求点P的横坐标xP的取值范围．（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（0，－1），若线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，直接写出点C的横坐标xC的取值范围．【答案】（1）①；60°；②B（，）（2）（3）或【解析】（1）①画如图1所示，如图2，当∠MPN最大时，此时PM与PN与⊙O相切，∵⊙O的半径为r＝1，∴s，当OP最小时，此时sin∠MPO最大，即∠MPO最大，∴，∴∠MPO＝30°∴∠MPN＝2∠MPO＝60°；②∵点B关于⊙O的视角为60°，∴BM与⊙O相切，且∠MBO＝30°，∴点B在以O为圆心，2为半径的圆上，即OB＝2，∵B（m，m）（m＞0），∴，∴m，∴B（，）；（2）如图3，∵点P关于⊙O的“视角”大于60°，∴∠MPO＞30°，∴，∴OP＜2，∵点P不在⊙C上，∴1＜OP＜2∴点P在以O为圆心，1为半径与2为半径的圆环内，∵点P在直线上，由图4，可得xp＝0或，∴；（3）如图5，①当点C在x轴正半轴时，在线段EF上取一点P，当PM，PN都与⊙C相切时，∠MPN最大，当∠MPN＝120°时，连接CP，∴∠CPM＝60°，在Rt△PCM中，CM＝1，，∴，∵线段EF上所有的点关于⊙C的“视角”都小于120°，∴点P和原点O重合时，视角只要小于120°时，即可，，此时，满足条件的，②当点C在x轴负半轴时，同①可得，，即：满足条件的或．随练7、在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为°；②自点A（﹣1，0）出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为；（3）如图4，点M的坐标为（0，2），⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．【答案】（1）见解析（2）①45°；②P1（﹣，）（3）1【解析】（1）答案如图：（2）①由题意：∠1=∠2，∠APB=90°，∴∠1=45°，∴反射光与切线的夹角为45°．②由题意：这些反射点组成的多边形是正十二边形，∴入射光线与反射光线夹角为150°，∴∠AOP1=30°，∵OP1=1，∴P1（﹣，）．（3）如图：当反射光PA∥X轴时，反射光线与坐标轴没有交点．作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分别为M，N，设PD=m．∵∠GPO=∠HPA，∠GPC=∠HPC=90°，∴∠OPC=∠APC=∠PCO，∴OP=OC，在RT△PON中，∵ON=PD=m，PN2=1﹣（2﹣m）2，∴PO2=m2+1﹣（2﹣m）2，∵PD∥OM，∵，∴CP=，CD2=（）2﹣m2，∴OC=ON+CD，OC2=（+）2，由：PO2=OC2得到：（）2﹣m2=（+）2，∴m1=2﹣，（m2=2+，m3=4，不合题意舍弃），∴根据左右对称性得到：满足条件的反射点P的纵坐标：1．拓展拓展1、如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”、在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等、（1）设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为、于是，越小，该正n边形就越接近于圆，①若，则该正n边形的“接近度”等于_________；②当“接近度”等于______时，正n边形就成了圆．（2）设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为，于是越小，正n边形就越接近于圆；你认为这种说法是否合理？若不合理，请给出正n边形“接近度”的一个合理定义．【答案】（1）①18；②0；（2）不合理．合理定义方法不唯一，如定义为，越小，正n边形越接近于圆；越大，正n边形与圆的形状差异越大；当时，正n边形就变成了圆．【解析】（1）①∵正20边形的每个内角的度数，∴；②当“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的正n边形来说，它们接近于圆的程度是相同的，但却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为，越小，正n边形越接近于圆；越大，正n边形与圆的形状差异越大；当时，正n边形就变成了圆．拓展2、我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：_______________．（2）如图①，在梯形中，，，垂足为．求证：（3）如果将①中的绕点按逆时针方向旋转角()后得到图②，那么四边形能否成为等平方和四边形？若能，请证明；若不能，请说明理由．【答案】（1）菱形或正方形（2）见解析（3）能，证明见解析【解析】（1）菱形或正方形；（2）证明：∵AC⊥BD，∴∴；；；．∴，即四边形ABCD是等平方和四边形．（3）解：四边形ABCD是等平方和四边形．证明：原梯形记为，依题意旋转后得四边形ABCD，连接AC、BD交于点，∵∥BC，∴△∽△COB，∴∵，，∴∵，∴，又∵，∴△AOC∽△DOB，∴又∵，∴，由（2）的结论得：．即四边形ABCD是等平方和四边形．拓展3、我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．【答案】（1）130°（2）①见解析②小红的猜想不正确（3）2或2．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°；（2）①证明：如图1，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；②解：小红的猜想不正确，如图：四边形ABCD是“等对角四边形”∠A=∠C=90°，AB=AD，但是BC和CD不等，所以小红的猜想不正确；（3）解：分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴∠E=30°，∴AE=2AB=10，∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC=；②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=AD=2，∴DM=2∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，∵四边形BNDM是矩形，∴DN=BM=3，BN=DM=2，∵∠BCD=60°，∴CN=，∴BC=CN+BN=3，∴AC==2；综上所述：AC的长为2或2．拓展4、定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．【答案】(1)60°＜∠A＜120°；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）∵∠A=∠B=∠C，∴3∠A+∠ADC=360°，∴∠ADC=360°﹣3∠A．∵0＜∠ADC＜180°，∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，∴60°＜∠A＜120°；（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．∵DE=DA，DF=DC，∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，∴四边形ABCD是三等角四边形（3）①当60°＜∠A＜90°时，如图1，过点D作DF∥AB，DE∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形，∠DFC=∠B=∠DEA，∴EB=DF，DE=FB，∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，设AD=x，AB=y，∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，∵△DAE∽△DCF，∴，∴，∴y=x2+x+4=﹣（x﹣2）2+5，∴当x=2时，y的最大值是5，即：当AD=2时，AB的最大值为5，②当∠A=90°时，三等角四边形是正方形，∴AD=AB=CD=4，③当90°＜∠A＜120°时，∠D为锐角，如图2，∵AE=4﹣AB＞0，∴AB＜4，综上所述，当AD=2时，AB的长最大，最大值是5；此时，AE=1，如图3，过点C作CM⊥AB于M，DN⊥AB，∵DA=DE，DN⊥AB，∴AN=AE=，∵∠DAN=∠CBM，∠DNA=∠CMB=90°，∴△DAN∽△CBM，∴，∴BM=1，∴AM=4，CM==，∴AC===．【题型】解答题拓展5、爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．【特例探究】（1）如图1，当tan∠PAB=1，时，a=______，b=_______；如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=_____，b=______；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．【拓展证明】（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=，AB=3，求AF的长．【答案】（1）；；；（2）a2+b2=5c2；见解析（3）4【解析】（1）如图1中，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，，∵tan∠PAB=1，∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，∴PN=PM=2，PB=PA=4，∴AN=BM=．∴b=AC=2AN=，a=BC=．如图2中，连接NM，∵CN=AN，CM=BM，∴MN∥AB，，∵∠PAB=30°，∴PB=1，，在RT△MNP中，∵∠NMP=∠PAB=30°，∴，，∴，，∴a=BC=2BM=，b=AC=2AN=．（2）结论a2+b2=5c2．证明：如图3中，连接MN．∵AM、BN是中线，∴MN∥AB，，∴△MPN∽△APB，∴，设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=