爱提分中考复习 10二轮-全等综合-第02讲 全等综合（二）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王李 年级辅导科目初中数学学科教师王涵上课时间01-1806:30:00-08:30:00 知识图谱全等综合（二）知识精讲一．平行四边形1．平行四边形的性质（1）边的性质：对边平行且相等．如下图：，，，．（2）角的性质：平行四边形的对角相等．如下图：，．（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．如下图：，．2．平行四边形的判定（1）与边有关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．二．矩形1．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有．此外，它还具有以下性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）对角线相等．（3）是轴对称图形，对称轴是边的垂直平分线．2．矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形．3．直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．三．菱形1．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有．此外，它还具有以下性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．2．菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形．3．面积问题：如下图：．四．正方形1．正方形的性质（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角；（2）正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质；（3）正方形是轴对称图形，对称轴有4条．2．正方形的判定（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形．3．弦图模型：如图1，Rt△DCE≌Rt△CAF；如图2，Rt△BAE≌Rt△CBF．三点剖析一．考点：1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质；2．四边形与三角形全等的结合．二．重难点：1．解题过程中辅助线的构造．三．易错点：1．正方形、矩形、菱形性质与判定的区别．全等与四边形综合例题例题1、（1）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，，E、F分别是BC、CD上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，，E、F分别是BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】见解析．【解析】证明：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵，，．，．．，又∴EG=EF∵EG=BE+BG∴EF=BE+FD．（2）（1）中的结论依然成立．（3）结论EF=BE+ED不成立，应当是EF=BE-FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵，∴AG=AF∴．例题2、在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0,2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作，垂足为M，交的平分线于点N．（1）写出点C的坐标；（2）求证：MD=MN；（3）连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：=1\*GB3①FM的长度不变；=2\*GB3②MN平分，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．【答案】C（2,2）见解析见解析【解析】解：（1）∵四边形BCDO是正方形，∴CD=BC=OD=OB，（2）在OD上取OH=OM，连接HM，∵OD=OB，OH=OM，∴HD=MB，∴∵NB平分，∴，在和中，；（3）MN平分成立．证明如下：延长BO到A使OA=CF，在与中，，，，，，在与中，，，过M作于P，则，，，，即MN平分例题3、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）成立【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，又E是线段AC的中点，∴BE⊥AC，AE=AB=1，∴BE=，∴△ABC的面积=×AC×BE=；（2）如图2，作EG∥BC交AB于G，∵△ABC是等边三角形，∴△AGE是等边三角形，∴BG=CE，∵EG∥BC，∠ABC=60°，∴∠BGE=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ECF=120°，∴∠BGE=∠ECF，在△BGE和△ECF中，，∴△BGE≌△ECF，∴EB=EF；（3）成立，如图3，作EH∥BC交AB的延长线于H，∵△ABC是等边三角形，∴△AHE是等边三角形，∴BH=CE，在△BHE和△ECF中，，∴△BHE≌△ECF，∴EB=EF．例题4、如图，四边形、均为正方形，（1）如图1，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形绕点顺时针旋转角（），如图2，连接、相交于点，连接，当角发生变化时，的度数是否发生变化？若不变化，求出的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点作交的延长线于点，请直接写出线段与的数量关系：【答案】（1）且（2）不变；（3）【解析】（1），，理由为：正方形，正方形，，，，，在和中，，，，延长交于点，，，，；（2）的度数不发生变化，的度数为理由为：过作，，在和中，，，为的平分线，，（3）在上截取，连接，为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，即，，即，，，，在和中，，，则例题5、在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点．（1）在图1中证明；（2）若，是的中点（如图2），直接写出的度数；（3）若，，，分别连结、（如图3），求的度数．【答案】（1）见解析（2）（3）60°【解析】该题考查四边形综合．（1）证明：如图1：∵AF平分，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴,∴∴（2）连结GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分，∴，∵，DF∥AB∴，，∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，∴∵∴在△BEG和△DCG中，∵∴△BEG≌△DCG（SAS）∴∵，∴，又∴△DGB为等腰直角三角形，∴（3）延长AB、FG交于H，连结HD．∵AD∥GF，AB∥DF∴四边形AHFD为平行四边形∵，AF平分∴，，∴△DAF为等腰三角形∴，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴，∵，，，∴在△BHD与△GFD中，∵∴△BHD≌△GFD（SAS）∴∴随练随练1、在中，的平分线交直线BC与点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出的度数；（3）若，，，分别连接DB、DG（如图3），求的度数．【答案】见解析．【解析】（1）证明：如图1，∵平分，四边形ABCD是平行四边形，，，．．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，四边形ABCD为矩形，∵AF平分，∴，，，为等腰直角三角形，AB=DC，，在与中，又∵，为等腰直角三角形，（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．，，四边形AHFD为平行四边形，AF平分，，，为等腰三角形平行四边形AHFD为菱形，为全等的等边三角形，，，在与中，，随练2、图1和图2中的正方形ABCD和四边形AEFG都是正方形．（1）如图1，连接DE，BG，M为线段BG的中点，连接AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）在图1的基础上，将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连结DE、BG，M为线段BG的中点，连结AM，探究AM与DE的数量关系和位置关系，并证明你的结论．【答案】见解析．【解析】解：（1），，理由是：如图1，设AM交DE于点O，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，，，在中，∵M为线段BG的中点，，AM=BM，，，，即．（2），，理由是：如图2，延长AM到N，使MN=AM，连接NG，，，由（1）得：AB=AD，，，，，，．随练3、如图所示，请在图中画出物体AB在平面镜中所成的像．【答案】【解析】分别作出物体AB端点A、B关于平面镜的对称点A′、B′，用虚线连接A′、B′即为AB在平面镜中的像．如图：随练4、如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将△CEF沿EF翻折，点C的落点为M（1）如图1，当CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△CEF沿EF折叠，①连接BM，△BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此时CE的长，如果不可以，说明理由②连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和此时CE的长【答案】（1）MD的长为2（2）①可以；CE=2或②四边形ABMD的周长的最小值为（4+12），此时CE的长为4【解析】（1）如图1，作EN⊥AD于点N，∴∠ANE=∠ENM=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，∴∠A=∠B=∠ANE=90°，∴AB=NE=4，AN=BE．∵EC=5，∴BE=3，∴AN=3．∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM=5．在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，∴MD=8﹣3﹣3=2．答：MD的长为2；（2）①如图2，当∠BME=90°时，∵∠EMF=90°，∴∠BMF=180°，∴B、M、F在同一直线上．∵F是BC的中点，∴CF=DF=CD=2．∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴MF=CF=2，EC=EM．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BF=2．∴BM=2﹣2．设EC=EM=x，则BE=8﹣x，在Rt△BME中，由勾股定理，得（8﹣x）2﹣x2=（2﹣2）2，解得：x=．∴CE=；如图3，当∠BEM=90°时，∴∠MEC=90°∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，∴四边形ECFM是正方形，∴MF=CE=2．∴CE=2或；②如图4，∵四边形ABMD的周长最小，∴BM+MD最小，∴B、M、D在同一直线上，∴点M在BD上．连结MC，∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM，FC=FM．∴EF垂直平分MC，∴MG=CG，∴GF是△CDM的中位线，∴FG∥BD，∴BE=CE．∵BC=8，∴CE=4．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=4．∴四边形ABMD的周长的最小值为：4+4+8=4+12．答：四边形ABMD的周长的最小值为（4+12），此时CE的长为4．随练5、△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：．②BC，CD，CF之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．【答案】（1）①垂直；②BC=CF+CD；（2）CD=CF+BC；（3）．【解析】（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；故答案为：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴∠ABD=180°﹣45°=135°，∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°，∴CF⊥BC．∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC．（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=AB=4，AH=BC=2，∴CD=BC=1，CH=BC=2，∴DH=3，由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=DE，∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四边形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH与△DEM中，，∴△ADH≌△DEM，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG==．随练6、如图1、2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G．（1）在图1中，设正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，AP=x，求y关于x的函数表达式；（2）结论：GB⊥EF对图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB．【答案】（1）（2）见解析（3）见解析【解析】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和相似三角形的判定与性质等知识，熟练应用正方形的性质得出对应角以及对应边的关系是解题关键．（1）根据题意得出S四边形ABFE=4-ED×DF-BC×FC进而得出答案；（2）首先利用正方形的性质进而证明△FPE≌△BHP（SAS），即可得出△FPG∽△BPH，求出即可；（3）首先得出△DPC≌△BPC（SAS），进而利用相似三角形的判定得出△FGC∽△PFB．（1）∵PE⊥AD，PF⊥DC，∴四边形EPFD是矩形，∵AP=x，∴AE=EP=DF=x，DE=PF=FC=2-x，∴S四边形ABFE=4-ED•DF-BC•FC=4-×x（2-x）-×2×（2-x）=x2+2；（2）证明：如图1，延长FP交AB于H，∵PF⊥DC，PE⊥AD，∴PF⊥PE，PH⊥HB，即∠BHP=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠DAB，∴可得PF=FC=HB，EP=PH，在△FPE与△BHP中，∴△FPE≌△BHP（SAS），∴∠PFE=∠PBH，又∵∠FPG=∠BPH，∴△FPG∽△BPH，∴∠FGP=∠BHP=90°，即GB⊥EF；（3）证明：如图2，连接PD，∵GB⊥EF，∴∠BPF=∠CFG①，在△DPC和△BPC中，∴△DPC≌△BPC（SAS），∴PD=PB，而PD=EF，∴EF=PB，又∵GB⊥EF，∴PF2=FG•EF，∴PF2=FG•PB，而PF=FC，∴PF•FC=FG•PB，∴=②，∴由①②得△FGC∽△PFB．随练7、（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足，联结AE、BF交于点H．请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，联结BF，过点E作于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，联结GF、HD．求证：①；②图3图2图1图3图2图1【答案】（1）；（2）见解析（3）见解析【解析】本题考查的是几何综合．（1）易证明△ABM和△BCF（SAS），∴，∵∴，即-----------------------------------------------1分（2）判断：．-------------------------------------------------2分证明：过点A作AM∥GE交BC于M∵∴∴∵正方形ABCD∴，AD∥BC，∴∴∴△ABM≌△BCF∴-------------------------------------------------3分∵AM∥GE且AD∥BC∴∴-------------------------------------------------4分（3）①：过点B作BN∥FG，且使联结NG、NE∴四边形NBFG是平行四边形∴，BF∥NG由（2）可知，，且∴且∴△NGE为等腰直角三角形由勾股定理得∴．当点F与点D不重合，点E与点C不重合时，N、B、E三点不共线此时，在△BEN中，，即．-------------------------------5分当点F与点D重合，点E与点C重合时，N、B、E三点共线此时，，即．-------------------------------------------6分②：∵正方形ABCD∴以GF为直径作⊙P，则点D在⊙P上∵∴点H也在⊙P上∴．---------------------------------------------7分拓展拓展1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作交于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图=1\*GB3①绕B点逆时针旋转，如图=2\*GB3②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将图=1\*GB3①中绕B点旋转任意角度，如图=3\*GB3③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．【答案】见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，在中，∵G为DF的中点，∴，同理，在中，，．（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．证法一：连接AG，过G点作于M，与EF的延长线交于N点．在与中，，，DG=DG，在与中，，，；四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN，在与中，，，．（3）解：（1）中结论仍然成立，理由如下：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证，得到又因为BE=EF，易证，则，EM=EC，即是等腰直角三角形为中点，，．拓展2、已知，在中，，，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：=1\*GB3①．=2\*GB3②CF=BC-CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线时，其他条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：=1\*GB3①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．=2\*GB3②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究的形状，并说明理由．【答案】见解析．【解析】（1）证明：=1\*GB3①，AB=AC，，四边形ADEF是正方形，，，在和中，．=2\*GB3②由=1\*GB3①可得，，（2）与（1）同理可得BD=CF，∴CF=BC+CD；（3）=1\*GB3①与（1）同理可得，BD=CF，∴CF=CD-BC；=2\*GB3②∵AB=AC,∴,则∵四边形ADEF是正方形，，在和中，,,,则为直角三角形∵正方形ADEF中，O是DF的中点，∵正方形ADEF中，，是等腰三角形．拓展3、如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上， 且PB=PE，连接PD，O为AC的中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）当点P在线段AO上时，在和中，过点P作，于点M，作于点N，，，在与中，，故（2）∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴BA=DA，又∵．（=1\*romani）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，．（=2\*romanii）当点E在BC的延长线上时，如图．．综合（=1\*romani）（=2\*romanii），．（3）同理即得出：，．拓展4、我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据______，易证△AFG≌______，得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系______时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．【答案】（1）SAS；△AFG（2）∠B+∠D=180°（3）DE2=BD2+EC2【解析】（1）∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF，（2）∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF；（3）猜想：DE2=BD2+EC2，证明：连接DE′，根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，∴△AEC≌△ABE′，∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，∴E′B2+BD2=E′D2，又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°，在△AE′D和△AED中，，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE=DE′，∴DE2=BD2+EC2．拓展5、已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．【答案】（1）AF⊥DE；（2）成立；（3）四边形MNPQ是正方形．【解析】（1）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四边形MNPQ是正方形．理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．拓展6、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．（4）如图3，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值．【答案】（1）不是，最小值为32（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK（3）6π（4）【解析】（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．设AP=x，则PB=8-x，根据题意得这两个正方形面积之和=x2+（8-x）2=2x2-16x+64=2（x-4）2+32，所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32．（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK．依题意画出图形，如答图2所示．设AP=a，则PB=BF=8-a．∵PE∥BF，∴=，即=，∴PK=，∴DK=PD-PK=a-=，∴S△APK=PK•PA=••a=，S△DFK=DK•EF=••（8-a）=，∴S△APK=S△DFK．（3）当点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A．此时在Rt△APQ中，O为PQ的中点，所以AO=PQ=4．所以点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上．PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如答图3所示：所以PQ的中点O所经过的路径的长为：×2π×4=6π．（4）点O所经过的路径长为3，OM+OB的最小值为．如