爱提分中考复习 4一轮-图形的性质-第07讲 四边形（二）(教师版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学教师辅导讲义[教师版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱四边形（二）知识精讲一．知识精讲1．平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用“□”表示．如右图，平行四边形记作“□”．（字母顺序须按顺时针或逆时针的顺序书写）．平行四边形的性质（1）边的性质：对边平行且相等．如下图：，，，．（2）角的性质：平行四边形的对角相等．如下图：，．（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．如下图：，．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．2．三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．3．矩形矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有．此外，它还具有以下性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）对角线相等．（3）是轴对称图形，对称轴是边的垂直平分线．矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形．直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．4．菱形菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质它全都具有．此外，它还具有以下性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．（3）是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线．菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形．面积问题：如下图：．5．正方形正方形的定义：有一组邻边相等、一个内角是的平行四边形叫做正方形．正方形的性质：（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角；（2）正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质．（3）正方形是轴对称图形，对称轴有4条．正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形；（5）对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边相等且四个角是直角的四边形是正方形．6．梯形梯形的概念：一组对边平行，另外一组对边不平行的四边形叫做梯形．平行的两边叫做梯形的底，其中较短的底称为上底，较长的底称为下底，不平行的两边叫做梯形的腰，两底间的距离叫做梯形的高．等腰梯形的性质：（1）等腰梯形同一底边上的两个角相等；（2）等腰梯形的两条对角线相等．等腰梯形的判定：（1）同一底边上两个角相等的梯形是等腰梯形；（2）对角线相等的梯形是等腰梯形．直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线叫做梯形的中位线．梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于上、下底，且等于上、下底和的一半．三点剖析方法点拨1．任一个三角形都有三条中位线，由此有下列结论：（1）三条中位线组成一个三角形，周长为原三角形周长的一半．（2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．（3）三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．（4）三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．（5）任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．2．任意两点的中点坐标公式：对于平面直角坐标系内的任意两点，，线段的中点坐标为．3．弦图模型图1图2如图1，；如图2，．4．梯形中常见辅助线的作法（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；（2）“平移腰”：过上底端点做一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中；（4）“全等变形”：连接梯形一腰端点和另一腰中点并延长，与底的延长线交于一点，构造全等三角形．（（1）（2）（4）（3）5．四边形与动点问题或者与坐标系综合问题都要注意数形结合思想，方程思想，分类讨论思想，转化与化归的思想．四边形与全等三角形综合例题例题1、如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：；（2）连接FC，求证：，并说明理由；（3）当E点在CB的延长线上时，如图（2），连接FC，则等于多少度？请说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴，，，∴，∴，在△ADG和△ABE中，，∴△ADG≌△ABE（SAS）．（2）证明：过F作FQ⊥BC于Q，∵四边形ABCD、AEFG是正方形，∴，，，∴，，∴，在△ABE和△EQF中，，∴△ABE≌△EQF（AAS），∴，，∴，∴，∵，∴．（3）解：，理由是：过F作FQ⊥BC于Q，∵四边形ABCD、AEFG是正方形，∴，，，∴，，∴，在△ABE和△EQF中∴△ABE≌△EQF（AAS），∴，，∴，∴，∵，∴∴．例题2、已知在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC交线段AE于F．（1）如图1，若，，请直接写出线段CD与之间所满足的等量关系；（2）如图2，若，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，若，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．图二图二图三图一【答案】（1）（2）仍然成立（3）或或【解析】该题考查的是四边形综合（1）证明：∵平分，∴又∴∵，∴∴又∴∴（2）（1）中的结论仍然成立证明：延长到G，使得，连结∵四边形是平行四边形∴，∥，∵于点E∴∴∴∵∴△ABE≌△DAG∴，∴∵平分∴∴∴∴∴即（3）或或．例题3、在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．（1）若点P在线段CD上，如图1．①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ=152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）【答案】（1）①见解析；②AH=PH，AH⊥PH．（2）见解析【解析】（1）①如图1；②解法一：如图1，连接CH，∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵DP=CQ，在△HDP与△HQC中．∵，∴△HDP≌△HQC（SAS），∴PH=CH，∠HPC=∠HCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AH=CH，∠DAH=∠HCP，∴∠AHP=180°﹣∠ADP=90°，∴AH=PH，AH⊥PH．解法二：如图1，连接CH，∵QH⊥BD，∴∠QHB=∠BCQ=90°，∴B、H、C、Q四点共圆，∴∠DHC=∠BQC，由正方形的性质可知∠DHC=∠AHD，由平移性质可知∠BQC=∠APD，∴∠AHD=∠APD，∴A、H、P、D四点共圆，∴∠PAH=∠PDH=45°，∠AHP=∠ADP=90°，∴△HAP是等腰直角三角形，∴AH=PH，AH⊥PH．（2）解法一：如图2，∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵△BCQ由△ADP平移而成，∴PD=CQ．作HR⊥PC于点R，∵∠AHQ=152°，∴∠AHB=62°，∴∠DAH=17°．设DP=x，则DR=HR=RQ=．∵tan17°=，即tan17°=，∴x=．解法二：由（1）②可知∠AHP=90°，∴∠AHP=∠ADP=90°，∴A、H、D、P四点共圆，又∠AHQ=152°，∠BHQ=90°，∴∠AHB=152°﹣90°=62°，由圆的性质可知∠APD=∠AHB=62°，在Rt△APD中，∠PAD=90°﹣62°=28°，∴PD=AD•tan28°=tan28°．随练随练1、正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．【答案】（1）（2）成立，证明见解析（3）【解析】（1）．…………………1分（2）结论成立．…………………2分证明：如图，连接BE．在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°．∵DE=DF，∴AF=CE．在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE．∴∠1=∠2．…………3分∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴H，C两点都在以BE为直径的圆上．∴∠3=∠2．∴∠3=∠1．∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC．∴CH=CB．…………………5分∴CH=AB．…………………6分（3）．………………………7分随练2、(2013中考西城区二模)在△ABC中，，AD，CE分别平分和，且AD与CE交于点M．点N在射线AD上，且．过点N作NF⊥CE于点G，且与AC交于点F，再过点F作FH∥CE，且与AB交于点H．（1）如图1，当时，点M，N，G重合．①请根据题目要求在图1中补全图形；②连结EF，HM，则EF与HM的数量关系是__________；（2）如图2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH；A（3）当时，我们称△ABC为“黄金三角形”，此时．若，直接写出GM的长．ACCAEBDMNCBDGFMEHCEMBDA图1 图2 图3【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】该题考查的是几何综合．（1）①补全图形，（如图1①）②连接，，（如图1②）∵，∴是等边三角形∴∵平分∴，即∵，即∴∴∥∵∥∴四边形是平行四边形∵∴平行四边形是矩形∴∵点，重合∴故答案为：．（2）连接MF（如图2）∵，分别平分和，且，∴，∵∴∵∴∴，∴∴∵，，∴是等边三角形.∴在和中，∴……………3分∴∴是等边三角形.∴，∴∴∥∵∥，∴四边形是平行四边形.………4分∴∴……………5分（3）连接BM，（如图3）∵，∴∵平分∴∵，平分∴垂直平分∴∴∴，∴∴∴是黄金三角形∴∴∵，，∴在和中，∴≌∴∵∥∴∴∴∴的长为……………7分随练3、已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM=______．【答案】（1）见解析（2）BE=AM+AB（3）3﹣或．【解析】（1）证明：如图①，延长MF，交边BC的延长线于点H，∵四边形ABCD是正方形，FM⊥AD，∴∠ABE=90°，∠EHF=90°，四边形ABHM为矩形，∴AM=BH=BE+EH∵△AEF为等腰直角三角形，∴AE=AF，∠AEB+∠FEH=90°，∵∠EFH+∠FEH=90°，∴∠AEB=∠EFH，在△ABE与△EHF中，，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH，∵AM=BH=BE+EH，∴AM=BE+AB，即AB+BE=AM；（2）解：如图②，∵∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEH=∠EAB，在△ABE与△EHF中，，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH=EB+AM；如图③∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠HEF=90°，∴∠BAE=∠HEF，在△ABE与△EHF中，，∴△ABE≌△EHF（AAS），∴AB=EH，∴BE=BH+EH=AM+AB；（3）解：如图①，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFM=60°，∴∠EFH=120°，在△EFH中，∵∠FHE=90°，∠EFH=120°，∴此情况不存在；如图②，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFH=60°，∵△ABE≌△EHF，∴∠EAB=∠EFH=60°，∵BE=，∴AB=BE•tan60°=×=3，∵AB=EB+AM，∴AM=AB﹣EB=3﹣；如图③，∵∠AFM=15°，∠AFE=45°，∴∠EFH=45°﹣15°=30°，∴∠AEB=30°，∵BE=，∴AB=BE•tan30°==1，∵BE=AM+AB，AM=BE﹣AB=，故答案为：3﹣或．特殊四边形问题例题例题1、我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．【答案】（1）130°（2）①见解析②小红的猜想不正确（3）2或2．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°；（2）①证明：如图1，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；②解：小红的猜想不正确，如图：四边形ABCD是“等对角四边形”∠A=∠C=90°，AB=AD，但是BC和CD不等，所以小红的猜想不正确；（3）解：分两种情况：①当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E，如图3所示：∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴∠E=30°，∴AE=2AB=10，∴DE=AE﹣AD=10﹣4═6，∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC=；②当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图4所示：则∠AMD=90°，四边形BNDM是矩形，∵∠DAB=60°，∴∠ADM=30°，∴AM=AD=2，∴DM=2∴BM=AB﹣AM=5﹣2=3，∵四边形BNDM是矩形，∴DN=BM=3，BN=DM=2，∵∠BCD=60°，∴CN=，∴BC=CN+BN=3，∴AC==2；综上所述：AC的长为2或2．例题2、类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．（2）小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形．她的猜想正确吗？请说明理由．（3）如图2，小红作了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′，连结AA′，BC′．小红要使得平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段B′B的长）？【答案】（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB；（2）正确，理由见解析；（3）平移2或或或．【解析】（1）解：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（2）解：小红的结论正确．理由如下：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形，（3）解：由∠ABC=90°，AB=2，BC=1，得：AC=，∵将Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′，∴BA′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2，（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=AC′=，（III）当AC′=BC′=时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°∴∠BB′D=∠ABB′=45°，∴B′D=BD，设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′=x∵根据在Rt△BC′D中，BC′2=C′D2+BD2即x2+（x+1）2=5解得：x=1或x=﹣2（不合题意，舍去）∴BB′=，（IV）当BC′=AB=2时，如图4，与（III）方法同理可得：x=或x=，x=或x=（舍去）∴BB′=x=．故应平移2或或或．随练随练1、如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形，图2，图3中，四边形ABCD为矩形，且，．112341234MNPQEFGHABCDABCDEFGHM图1图2图3（1）在图2，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH；（2）求图2中反射四边形EFGH的周长；（3）矩形ABCD的反射四边形是不唯一的，反射四边形的周长都是可以求的，如图3中，为了求矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长，小明同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小明同学给我们的启发求反射四边形EFGH的周长．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】该题考查的是几何综合．（1）（2）根据格点分布，可知：∴四边形EFGH的周长为（3）延长GH交CB的延长线于点N．∵，∴而∴Rt△FCE≌Rt△FCM∴，同理：，∴∵，∴∴过点G作交MN于点K，则∴∴四边形EFGH的周长为随练2、对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．则∠C=__________度，∠D=__________度．（2）在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形ABCD”（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；②在①的条件下，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=4，∠BCD=60°，求等对角四边形ABCD的面积．【答案】（1）130，80；（2）①见解析②16【解析】（1）∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°﹣80°﹣80°﹣70°=130°，故答案为：130，80；（2）①证明：如图1，连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ADC﹣∠ADB．∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD；②解：如图1，连接AC，∵在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=×60°=30°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=AD=4，∴AC=2AB=8，∴BC=，∴S四边形ABCD=2S△ABC=2××4×4．四边形与坐标系综合例题例题1、如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△ECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上．已知点，过A、D两点的直线交y轴 于点F．若△ECD沿DA方向以每秒个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为（秒），记△ECD在平移过程中某时刻为△，与AB交于点M，与y轴交于点N，与AB交于点Q，与y轴交于点P(注：平移过程中，点始终在线段DA上，且不与点A重合)．（1）求直线AD的函数解析式；（2）试探究在△ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及的取值；若不存在，请说明理由；（3）以MN为边，在的下方作正方形MNRH，求正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时的取值范围．【答案】（1）（3）时，（3）【解析】该题考查的是三角形和函数综合．（1）由题意…………1分∵，∴设直线AD解析式为，将A，D坐标代入，解得，∴直线AD解析式为………………2分（2）∵，同（1）得直线AB解析式为，直线BD解析式：．CD与AB交点J坐标为，在△ECD平移t秒时，由，可得，，设直线解析式为，可得………………3分，，∵BD//，//，∴△∽△BJD，∴，可得………4分………5分，当时，…………6分（3）当点H在x轴上时，此时正方形与坐标轴有三个交点，当正方形再沿DA向下平移时，则与坐标轴交点数大于2，∵，，∴，设直线MH的解析式为，∵MN斜率为，∴直线MH的斜率为2，∴直线MH的解析式为，将M点代入直线方程，，解得，∴直线MH的解析式为，∴H坐标为，∵，∴解得，∴正方形MNRH与坐标轴有两个公共点时，………………………8分例题2、如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（-4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．（1）∠PBD的度数为____，点D的坐标为____（用t表示）；（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．【答案】（1）45°；（t，t）（2）4或（3）8【解析】（1）如图1，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）∴AO=PQ．∵四边形OABC是正方形，∴AO=AB=BC=OC，∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．∵DP⊥BP，∴∠BPD=90°．∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．∵AO=PQ，AO=AB，∴AB=PQ．在△BAP和△PQD中，∴△BAP≌△PQD（AAS）．∴AP=QD，BP=PD．∵∠BPD=90°，BP=PD，∴∠PBD=∠PDB=45°．∵AP=t，∴DQ=t．∴点D坐标为（t，t）．故答案为：45°，（t，t）．（2）①若PB=PE，由△PAB≌△DQP得PB=PD，显然PB≠PE，∴这种情况应舍去．②若EB=EP，则∠PBE=∠BPE=45°．∴∠BEP=90°．∴∠PEO=90°-∠BEC=∠EBC．在△POE和△ECB中，∴△POE≌△ECB（AAS）．∴OE=CB=OC．∴点E与点C重合（EC=0）．∴点P与点O重合（PO=0）．∵点B（-4，4），∴AO=CO=4．此时t=AP=AO=4．③若BP=BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．∴AP=CE．∵AP=t，∴CE=t．∴PO=EO=4-t．∵∠POE=90°，∴PE==（4-t）．延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．在△FAB和△ECB中，∴△FAB≌△ECB．∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠EBC=45°．∴∠FBP=∠FBA+∠ABP=∠EBC+∠ABP=45°．∴∠FBP=∠EBP．在△FBP和△EBP中，∴△FBP≌△EBP（SAS）．∴FP=EP．∴EP=FP=FA+AP=CE+AP．∴EP=t+t=2t．∴（4-t）=2t．解得：t=4-4∴当t为4秒或（4-4）秒时，△PBE为等腰三角形．（3）∵EP=CE+AP，∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE=AO+CO=4+4=8．∴△POE周长是定值，该定值为8．随练随练1、平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，点C的坐标为（-3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点．（1）直接写出这条抛物线的解析式；（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设△EBO的面积为S1，菱形ABCO的面积为S2，当S1≤S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；（3）如图2，D（0，-）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线O-A-B方向运动，设点P运动时间为t秒（0＜t≤6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x2-x（2）0≤n≤10且n≠5（3）2或【解析】（1）∵C点坐标为（-3，4），四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=5，A点坐标为（5，0），根据题意得：，解得：，则抛物线的解析式是：y=x2-x；（2）设BC与y轴相交于点G，则S2=OG•BC=20，∴S1≤5，又OB所在直线的解析式是y=2x，OB==2，∴当S1=5时，△EBO的OB边上的高是．如图1，设平行于OB的直线为y=2x+b，则它与y轴的交点为M（0，b），与抛物线对称轴x=交于点E（，n）．过点O作ON⊥ME，点N为垂足，若ON=，由△MNO∽△OGB，得OM=5，∴y=2x-5，由，解得：y=0，即E的坐标是（，0）．∵与OB平行且到OB的距离是的直线有两条．∴由对称性可得另一条直线的解析式是：y=2x+5．则E′的坐标是（，10）．由题意得得，n的取值范围是：0≤n≤10且n≠5．（3）如图2，动点P、Q按题意运动时，当1＜t＜3.5时，OP=t，BP=2-t，OQ=2（t-1），连接QP，当QP⊥OP时，有=sin∠BOQ=sin∠OBC=，∴PQ=（t-1），若=，则有=，又∵∠QPB=∠DOA=90°，∴△BPQ∽△AOD，此时，PB=2PQ，即2-t=（t-1），10-t=8（t-1），∴t=2；当3.5≤t≤6时，QB=10-2（t-1）=12-2t，连接QP．若QP⊥BP，则有∠PBQ=∠ODA，又∵∠QPB=∠AOD=90°，∴△BPQ∽△DOA，此时，QB=PB，即12-2t=（2-t），12-2t=10-t，∴t=2（不合题意，舍去）．若QP⊥BQ，则△BPQ∽△DAO，此时，PB=BQ，即2-t=（12-2t），2-t=12-2t，解得：t=．则t的值为2或．随练2、如图1，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．（1）当t=____时，△PQR的边QR经过点B；（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（3）如图2，过定点E（5，0）作EF⊥BC，垂足为F，当△PQR的顶点R落在矩形OABC的内部时，过点R作x轴、y轴的平行线，分别交EF、BC于点M、N，若∠MAN=45°，求t的值．【答案】（1）t=1（2）S=（3）8-2【解析】（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，∴AB=AQ，即3=4-t，∴t=1．即当t=1秒时，△PQR的边QR经过点B．（2）①当0≤t≤1时，如答图1-1所示．设PR交BC于点G，过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3．S=S矩形OABC-S梯形OPGC=8×3-（2t+2t+3）×3=-6t；②当1＜t≤2时，如答图1-2所示．设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T．过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3．QD=t，则AQ=AT=4-t，∴BT=BS=AB-AQ=3-（4-t）=t-1．S=S矩形OABC-S梯形OPGC-S△BST=8×3-（2t+2t+3）×3-（t-1）2=-t2-5t+19；③当2＜t≤4时，如答图1-3所示．设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=4-t．PQ=12-3t，∴PR=RQ=（12-3t）．S=S△PQR-S△AQT=PR2-AQ2=（12-3t）2-（4-t）2=t2-14t+28．综上所述，S关于t的函数关系式为：S=．（3）∵E（5，0），∴AE=AB=3，∴四边形ABFE是正方形．如答图2，将△AME绕点A顺时针旋转90°，得到△ABM′，其中AE与AB重合．∵∠MAN=45°，∴∠EAM+∠NAB=45°，∴∠BAM′+∠NAB=45°，∴∠MAN=∠M′AN．连接MN．在△MAN与△M′AN中，∴△MAN≌△M′AN（SAS）．∴MN=M′N=M′B+BN∴MN=EM+BN．设EM=m，BN=n，则FM=3-m，FN=3-n．在Rt△FMN中，由勾股定理得：FM2+FN2=MN2，即（3-m）2+（3-n）2=（m+n）2，整理得：mn+3（m+n）-9=0．①延长NR交x轴于点S，则m=EM=RS=PQ=（12-3t），∵QS=PQ=（12-3t），AQ=4-t，∴n=BN=AS=QS-AQ=（12-3t）-（4-t）=2-t．∴m=3n，代入①式，化简得：n2+4n-3=0，解得n=-2+或n=-2-（舍去）∴2-t=-2+解得：t=8-2．∴若∠MAN=45°，则t的值为（8-2）秒．拓展拓展1、在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点．（1）在图1中证明；（2）若，是的中点（如图2），直接写出的度数；（3）若，，，分别连结、（如图3），求的度数．【答案】（1）见解析（2）（3）60°【解析】该题考查四边形综合．（1）证明：如图1：∵AF平分，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴,∴∴（2）连结GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分，∴，∵，DF∥AB∴，，∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，∴∵∴在△BEG和△DCG中，∵∴△BEG≌△DCG（SAS）∴∵，∴，又∴△DGB为等腰直角三角形，∴（3）延长AB、FG交于H，连结HD．∵AD∥GF，AB∥DF∴四边形AHFD为平行四边形∵，AF平分∴，，∴△DAF为等腰三角形∴，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴，∵，，，∴在△BHD与△GFD中，∵∴△BHD≌△GFD（SAS）∴∴拓展2、（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，满足．求证：；（2）如图2，正方形ABCD中，E、F、G分别是BC、CD、AD边上的点，满足EG⊥BF，此时必有，请在图2中画出你证明这个结论时需要添加的辅助线；（3）如图3，在（2）的情况下，连接GF．求证：．AABDFCEABDFCEGABDFCEG图1图2图3【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】该题考查的正方形综合．（1）∵正方形ABCD，∴，，∴在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF，∴，∵，∴，∴；（2）AABDFCEGH（3）将△BCF绕点B逆时针旋转，则△BCF是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∵，∴BH//GE，∴四边形BEGH是平行四边形，∴，在△GHF中，，∴．拓展3、如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．（1）求证：△ADP≌△ECP；（2）若BP=n•PK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．【答案】（1）见解析（2）n=3（3）∠MON=120°【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，在△ADP和△ECP中，，∴△ADP≌△ECP；（2）如图1，作PI∥CE交DE于I，则，又点P是CD的中点，∴，∵△ADP≌△ECP，∴AD=CE，∴，∴BP=3PK，∴n=3；（3）如图2，作OG⊥AE于G，∵BM丄AE于M，KN丄AE于N，∴BM∥OG∥KN，∵点O是线段BK的中点，∴MG=NG，又OG⊥MN，∴OM=ON，即△MON是等腰三角形，由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=，则AP=，根据三角形面积公式，BM=，由（2）得，PB=3PO，∴OG=BM=，MG=MP=，tan∠MOG=，∴∠MOG=60°，∴∠MON的度数为120°．拓展4、阅读下列材料：

我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．

结合阅读材料，完成下列问题：

（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形

（2）如图，等腰中，．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且，请直接写出的度数．AABD【答案】（1）C（2）或或【解析】该题考查的是新定义问题和三角形角度计算问题．（1）菱形的四条边等长，因此，任意菱形的一条对角线均能将该菱形划分为两个分别以菱形两边为腰的等腰三角形．故答案选择Ｃ．（2）∵等腰Rt△ABD中，，∴.

∵AC为凸四边形ABCD的和谐线，且，

∴分三种情况讨论：

若，如图1，则凸四边形ABCD是正方形，∴；

若，如图2，则，△ABC是等边三角形，；

若，如图3，则可求．综上∠ABC的度数为，，．拓展5、我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．【答案】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD；（3）12﹣．【解析】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′，∴EB=ED′，设EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴=，即=，解得：D′F=，∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=1