爱提分中考复习 2一轮-方程与不等式-第03讲 一元二次方程(学生版)

高思爱提分演示（KJ)初中数学学生辅导讲义[学生版]学员姓名王晓与 年级初一辅导科目初中数学学科教师卫雅鑫上课时间2019-09-2411:30:00-12:30:00 知识图谱一元二次方程知识精讲知识精讲一．一元二次方程的解法1．直接开平方法若，则叫做的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．配方法（1）配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法（2）配方法的一般步骤：①二次项系数化；②常数项右移；③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；④化成的形式．3．公式法一元二次方程，用配方法将其变形为：根的判别式，，是方程的两根，若，则．4．因式分解法当一元二次方程的一边是，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．二．含参的一元二次方程1．参数与根数：含参的一元二次方程的判别式经常为某一参数的代数式，此时可能需要对此代数式进行分类讨论或者根据根的情况求解参数的范围或值；2．参数与整数根：一元二次方程整数根问题，就是利用判别式或求根公式将参数代入，再对参数与根的整除性进行讨论和分析．三．一元二次方程的应用1．韦达定理：关于的一元二次方程，有两根，，则有，．2．列方程解应用题：列方程解应用题的关键是将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，进而建立方程模型，解决问题．方法点拨一．一元二次方程整数根的解法1．因式分解法：利用因式分解求解含参的一元二次方程的两个根，分别用参数表示，再讨论参数整除性；2．韦达定理：利用韦达定理将参数以分式的形式表示出来，讨论整除性；3．反表示：用方程中未知数去表示参数，分离常量，对分式的整除性进行讨论．二．韦达定理简单的变形1．；2．；3．；4．．三点剖析一．考点：一元二次方程的解法；含参的一元二次方程；一元二次方程的应用二．重难点：含参的一元二次方程；一元二次方程与整数根问题三．易错点：1．含参一元二次方程中，注意看清题目中是关于的方程还是一元二次方程，若是关于的方程需要对二次项系数进行分类讨论，若是关于的一元二次方程则一定严格要求系数不为；2．含参一元二次方程中，运用韦达定理求解关于根与系数之间关系的问题时，一定要对判别式进行验证，舍掉的解；3．实际问题中一定要根据未知数的实际意义进行舍取根．一元二次方程的解法例题例题1、解方程：（1）；（2）；（3）；（4）．例题2、已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A.B.C.且D.且例题3、方程x2﹣4=0的根是（）A.x=2B.x=﹣2C.x1=2，x2=﹣2D.x=4例题4、如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21=0的两根，那么它的周长为（）A.17B.15C.13D.13或17例题5、二次三项式x2-4x-1写成a（x+m）2+n的形式，则a=____，m=____，n=____．随练随练1、若，且有两个一元二次方程及，则，．随练2、方程（x-1）2=4的解为（）A.1B.3C.3或-1D.-3或1随练3、用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A.（x+5）2=16B.（x+5）2=1C.（x+10）2=91D.（x+10）2=109随练4、方程x2+x﹣12=0的两个根为（）A.x1=﹣2，x2=6B.x1=﹣6，x2=2 C.x1=﹣3，x2=4D.x1=﹣4，x2=3随练5、设方程的较大根为，方程的较小根为，则的值为__________含参数的一元二次方程例题例题1、n为正整数，方程有一个整数根，则__________例题2、已知：关于x的方程．（1）求证：方程总有实数根；（2）当k取哪些整数时，关于x的方程的两个实数根均为负整数？例题3、已知一元二次方程：x2-3x-1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（）A.-3B.3C.-6D.6例题4、已知方程有两个质数根，则常数__________例题5、设实数分别满足，并且，求的值随练随练1、试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根一元二次方程的应用例题例题1、[背景资料]低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计：一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约18kg；一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约6kg．[问题解决]甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议．2009年两校响应本校倡议的人数共60人，因此而减排二氧化碳总量为600kg．（1）2009年两校响应本校倡议的人数分别是多少？（2）2009年到2011年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按相同的百分率增长．2010年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的2倍；2011年两校响应本校倡议的总人数比2010年两校响应本校倡议的总人数多100人．求2011年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量．随练随练1、甲乙两件服装的进价共500元，商场决定将甲服装按30%的利润定价，乙服装按20%的利润定价，实际出售时，两件服装均按9折出售，商场卖出这两件服装共获利67元．（1）求甲乙两件服装的进价各是多少元；（2）由于乙服装畅销，制衣厂经过两次上调价格后，使乙服装每件的进价达到242元，求每件乙服装进价的平均增长率；（3）若每件乙服装进价按平均增长率再次上调，商场仍按9折出售，定价至少为多少元时，乙服装才可获得利润（定价取整数）．随练2、如图四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BDE的三边长，易知，这时我们把形如的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）构造一个“勾系一元二次方程”：_____________________________________.（2）证明：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根.（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求△ABC的面积．拓展拓展1、已知方程，求．拓展2、下列方程中，有两个相等的实数根的是（）A.x2﹣4x+4=0B.x2﹣2x+5=0C.x2﹣2x=0D.x2﹣2x﹣1=0拓展3、用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A.（x+3）2=1B.（x﹣3）2=1C.（x+3）2=19D.（x﹣3）2=19拓展4、已知，，是不全为0的3个实数，那么关于的一元二次方程的根的情况（）A.有2个负根B.有2个正根C.有2个异号的实根D.无实根拓展5、若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个拓展6、已知（）是方程的两个实数根，是方程的两实数根，且，，求的值？拓展7、在中，a，b，c分别为，，所对的边，我们称关于x的一元二次方程为“的☆方程”．根据规定解答下列问题：（1）“的☆方程”的根的情况是_____（填序号）；=1\*GB3①有两个相等的实数根=2\*GB3②有两个不相等的实数根=3\*GB3③没有实数根（2）如图，AD为的直径，BC为弦，于E，，求“的☆方程”的解；（3）若是“的☆方程”的一个根，其中a，b，c均为整数，且，求方程的另一个根．AABCDEO拓展8、某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分