黑龙江省牡丹江市2024年中考数学试卷

江省牡丹江市2024年中考数学试卷阅卷人一、单项选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分）得分1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列计算正确的是（）A．2a3•a2＝2a6 B．（﹣2a）3÷b×1b＝﹣8aC．（a3+a2+a）÷a＝a2+a D．3a﹣2＝33．由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种4．某校八年级3班承担下周学校升旗任务，老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，则甲、乙两名同学同时被选中的概率是（）A．16 B．18 C．145．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．130°6．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A．20% B．22% C．25% D．28%7．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形…按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．20258．矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y=kx的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则A．25 B．35 C．45 9．小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N，AD'交折痕MN于点E，则线段EN的长为（）A．8cm B．16924cπ C．1672410．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，根据图象判断以下结论：①abc2＞0；②43＜b＜2；③若ax12﹣bx1＝ax22﹣bx2且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；④直线y＝﹣56cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c的一个交点（m，A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④阅卷人二、填空题（本题8个小题，每小题3分，共24分）得分11．函数y＝x+3x中，自变量x12．如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）13．将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（﹣2，4），则6a﹣3b﹣7＝．14．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为．15．已知一组正整数a，1，b，b，3有唯一众数8，中位数是5，则这一组数据的平均数为．16．若分式方程xx−1=3−mx1−x的解为正整数，则整数17．矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，OP＝3，连接CP，则PC+PE的值为．18．如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM＝PN；②DM+DN＝2DF；③若P是BC中点，AB＝3，则EM＝210；④BF•NF＝AF•BP；⑤若PM∥BD，则CE＝2BC．其中正确的结论是．阅卷人三、解答题（共66分）得分19．先化简，再求值：2x−6x÷（x﹣6x−920．如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD的建筑物AD的高度进行测量，BC⊥CD于点C．在B处测得A的仰角∠ABE＝45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角∠AFE＝58°，BF的延长线交AD于点E，求建筑物AD的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）21．某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题．22．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝8，以BC为边向△ACB外作有一个内角为60°的菱形BCDE，对角线BD，CE交于点O，连接OA，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出△AOC的面积．23．如图，二次函数y＝12x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接BC（1）求该二次函数的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为．24．一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早27小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程ykm与两车行驶时间xh（1）甲车行驶的速度是km/h，并在图中括号内填上正确的数；（2）求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．25．数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB于点F．（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF＝AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：（2）探究问题：当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；（3）拓展思考：在（1）（2）的条件下，若AC＝63，CD＝2BD，则EF＝．26．牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．27．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点D，点B在x轴的正半轴上，四边形ABCD是平行四边形，线段OA的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根．请解答下列问题：（1）求点D的坐标；（2）若线段BC的垂直平分线交直线AD于点E，交x轴于点F，交BC于点G，点E在第一象限，AE=32，连接BE，求tan∠ABE（3）在（2）的条件下，点M在直线DE上，在x轴上是否存在点N，使以E、M、N为顶点的三角形是直角边比为1：2的直角三角形？若存在，请直接写出△EMN的个数和其中两个点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故答案为：C.【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；据此逐项判断即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：A、2a3•a2＝2a5，故不符合题意；

B、（﹣2a）3÷b×1b＝-8a3b2，故不符合题意；

C、（a3+a2+a）÷a＝a2+a+1，故不符合题意；

故答案为：D.【分析】根据单项式乘单项式法则、分式的乘除、多项式除以单项式及负整数指数幂法则分别进行计算，再判断即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：由主视图可知：左侧一列最高1层，右侧一列最高3层；

由左视图可知：前-排最高3层，后一排最高1层；

∴右侧第一排一定为3层，

∴小正方体共有5个，

所得俯视图如下：故答案为：C.【分析】根据主视图和左视图可知小正方体共有5个，分别画出俯视图即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中，选择两名担任升旗手，分别由甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6种结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的只有1种，

∴甲、乙两名同学同时被选中的概率是16故答案为：A.【分析】列举出所有等可能情况共6种结果，其中甲、乙两名同学同时被选中的只有1种，然后利用概率公式计算即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：如图，连接AC，则∠BAC=∠BEC=20°，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC=90°-∠BAC=70°，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠ADC=180°-∠ABC=110°，

故答案为：B.【分析】连接AC，由同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BEC=20°，由AB是⊙O的直径，可得

∠ACB=90°，利用直角三角形性质可求∠ABC=90°-∠BAC=70°，根据圆内接四边形对角互补即可求解.6．【答案】C【解析】【解答】解：设每次降价的百分率为x，

由题意得：48（1-x）2=27，

解得x1=14，x2=74（舍），

故答案为：C.【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价前的价格×（1-降价百分率）2=降价后的价格，列出方程并解之即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：第1个图案有4个三角形，则4=3×1+1

第2个图案有7个三角形，则7=3×2+1，

第3个图案有10个三角形，则10=3×3+1

···，

∴第n个图案有（3n+1）个三角形，

当n=674时，3n+1=3×674+1=2023个，

∴第674个图中三角形的个数是2023.故答案为：B.【分析】根据前几个图形的变化规律，可得规律：第n个图案有（3n+1）个三角形，据此计算即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥x轴，则EH∥OB∥AC，∴△OEH∽△OAC，

∴EHAC=OHOC=OEOA

∵OE＝2AE，

∴EHAC=OHOC=OEOA=23

设E（a，ka），则OH=a，EH=ka，

∴OC=32a，AC=3k2a，

∵点D、F在反比例函数y=kx的图象上，

∴S△OBD=k2，S△OCF=k2，【分析】过点E作EH⊥x轴，则EH∥OB∥AC，可证△OEH∽△OAC，可得EHAC=OHOC=OEOA=23，设E（a，ka），可得OC=32a，AC=3k2a，由反比例函数图象k的几何意义可得S△OBD9．【答案】B【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10cm，

由折叠知：AM=BM=5cm，AD'=AD=MN=12cm，∠DAN=∠D'AN，AD∥MN，∠AMN=90°，

∴∠DAN=∠ANM，

∴∠D'AN=∠ANM，

∴EA=EN，

设EA=EN=x，则EM=12-x(cm)，

在Rt△AEM中，AM2+EM2=AE2，

即52+（12-x）2=x2，

解得x=16924，

即EN=169故答案为：B.【分析】根据矩形的性质及折叠的性质可推出∠D'AN=∠ANM，可得EA=EN，设EA=EN=x，则EM=12-x(cm)，在Rt△AEM中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.10．【答案】A【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，A（﹣3，0），B（1，0），

∴可设y=a(x+3)(x-1)，即y=ax2+2ax-3a，

∴b=2a，c=-3a，

∴abc2=a·2a·(-3a)2=18a4＞0，故①正确；

抛物线y=ax2+2ax-3a与y轴的交点为C（0，-3a），

∵点C的纵坐标在﹣3～﹣2之间，

∴-3＜-3a＜-2，即43＜2a＜2，

∴43＜b＜2，故②正确；

∵ax12﹣bx1＝ax22﹣bx2，

∴ax12﹣2ax1＝ax22﹣2ax2，则x12﹣2x1＝x22﹣2x2，

∴x12-x22-2（x1-x2）=（x1-x2）（x1+x2-2）=0，

∵x1≠x2，

∴x1+x2=2，故③错误；

直线y＝﹣56cx+c与抛物线y＝ax2+bx+c，令y相等，故答案为：A.【分析】由抛物线与y轴的交点，可设y=a(x+3)(x-1)=ax2+2ax-3a，可得b=2a，c=-3a，代入①计算即可判断；由点C（0，-3a）的纵坐标在﹣3～﹣2之间，可得-3＜-3a＜-2，据此求出b的范围即可判断②；把b=2a代入ax12﹣bx1＝ax22﹣bx2中，利用因式分解可得（x1-x2）（x1+x2-2）=0，据从可求出x1+x2-2=0，据此判断③；令y相等，可得﹣11．【答案】x≥﹣3且x≠0【解析】【解答】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，

解得：x≥﹣3且x≠0.故答案为：x≥﹣3且x≠0.【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义条件：分母不为0，据此解答即可.12．【答案】DE＝EF或AD＝CF【解析】【解答】解：∵CF∥AB，

∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，

添加DE＝EF，

∴△ADE≌△CFE（AAS）

∴AE=CE；

添加AD＝CF，

∴△ADE≌△CFE（ASA）

∴AE=CE；故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）.【分析】由平行线的性质可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，可添加DE＝EF或AD＝CF，可证△ADE≌△CFE，可得AE=CE，据此解答即可.13．【答案】2【解析】【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx+3向下平移5个单位长度后得解析式为：y＝ax2+bx-2，

把点（﹣2，4）代入得：4=a×（-2）2-2b-2，

∴2a-b=3，

∴6a﹣3b﹣7＝3（2a-b）-7=3×3-7=2.故答案为：2.【分析】先求出平移后的解析式，把点（﹣2，4）代入可得2a-b=3，把原式化为3（2a-b）-7，在整体代入即可求解.14．【答案】3【解析】【解答】解：∵直径AB⊥CD，CD＝6，

∴CE=DE=3，

设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，

∵OE2+ED2=OD2，

∴（r-1）2+32=r2，

解得r=5，

∴OA=5，OE=4，

∴AE=OA+OE=9，

在Rt△AEC中，AC=CE2+AE2故答案为：310【分析】由垂径定理可得CE=DE=3，设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，在Rt△OED中，利用勾股定理建立方程，求出r=5，从而求出AE=9，在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC即可.15．【答案】5【解析】【解答】解：∵这组数据正整数a，1，b，b，3唯一众数为8，

∴b=8，

∵中位数是5，

∴a=5，

即这组数据为5，1，8，8，3，

∴这一组数据的平均数为15故答案为：5.【分析】根据众数和中位数可确定a、b的值，再求其平均数即可.16．【答案】-1【解析】【解答】解：xx−1=3−mx1−x，

去分母得：x=3(x-1)+mx，

解得x=32+m，

由方程的解为正整数，

∴故答案为：-1.【分析】先解分式方程得x=32+m，由方程的解为正整数，可得2+m=1或2+m=3，且317．【答案】13或109【解析】【解答】解：如图，当BE=13BC时，在矩形ABCD中，BO=OD，

∵点P是DE的中点，OP=3，

∴BE=2OP=6，

∴BC=3BE=18，EC=12，

∵S矩形ABCD=BC·CD=90，

∴CD=5，

∴DE=EC2+CD2=122+52=13，

在Rt△DCE中，点P是DE的中点，

∴PE=CP=12DE=132，

∴PC+PE=13.

如图，当CE=13BC时，

同理可求BE=2OP=6，

∴CE=12BC=3，BC=9，

∵S矩形ABCD=BC·CD=90，

∴CD=10，

∴DE=EC2+CD2=32+102=109，

在Rt△DCE中，点P【分析】分两种情况：当BE=13BC时和当CE=118．【答案】①②③⑤【解析】【解答】解：如图，过点P作PG⊥AD，则ABPG为矩形，∠PGD=90°，∴AB=PG，∠GNP+∠GPN=90°，

在正方形ABCD中，∠ADM=90°，AD=AB，

∴PG=AD，

∵NP⊥AE，

∴∠ANF+∠NAF=90°，

∴∠NAF=∠GPN，

∴△PGN≌△ADM，

∴AM=PN，故①正确；

如图，过点F作FH⊥BD，连接CF，

在正方形ABCD中，∠ADF=∠ABF=∠CBF=45°，FH⊥BD，AB=BC，

∴△HFD为等腰直角三角形，

∴DH=2DF，FD=FH，

∵BF=BF，

∴△ABF≌△CBF（SAS）

∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，

在四边形ABPF中，∠ABP=∠AFP=90°，

∴∠BAF+∠BPF=90°，

∵∠FPC+∠BPF=90°，

∴∠BAF=∠FPC=∠BCF，

∴PF=CF=AF，

由①知：AM=PN，即AM-AF=PN-PF，

∴FN=FM，

∵∠HFD=∠NFM=90°，

∴∠NFH=∠DFM

∴△NFH≌△MFD（SAS）

∴NH=DM，

∴DM+DN=NH+DN=DH=2DF，故②正确；

连接AP，如图，由P是BC中点，则BP=PC=1.5，

∴AP=AB2+BP2=352，

由②知：AP=PF，

∴PF=22AP=3104，

设CE=x，则PE=1.5+x，BE=3+x，

∴AE=AB2+BE2=32+（3+x）2，

sinE=PFPE=ABAE，即31041.5+x=39+(3+x)2，

解得x=6或-4（舍）

∴CE=6，AE=310，BE=9，

∵cosE=CEME=BEAE，

∴6ME=9310，

∴ME=210，故③正确；

由题意知：∠AFN=90°，∠BPF＞90°，

∴△AFE与△APF不相似，则BF•NF≠AF•BP，故④错误；

∵PM∥BD，

∴∠MPC=∠DBC=45°=∠CMP=∠CDB=45°，

∴PC=CM，

可设PC=CM=a，BCCD=AD=AB=b，CE=c，

则PM=2a，DM=b-a，BE=b+c，PE=a+c，

∵AF=PF，∠AFN=∠PFM=90°，FN=FM，

∴△AFN≌△PFM（SAS），

∴AN=PM=2a，

∵AD∥CE，

∴△ADM∽△ECM，

∴ADCE=DMMC，即bc=b-aa，解得a=bcb+c

【分析】过点P作PG⊥AD，证明△PGN≌△ADM，可得AM=PN，故①正确；如图，过点F作FH⊥BD，连接CF，易得△HFD为等腰直角三角形，可得DH=2DF，FD=FH，证明△ABF≌△CBF（SAS），可得AF=CF，∠BAF=∠BCF，利用四边形内角和及补角的性质可推∠BAF=∠FPC=∠BCF，可得PF=CF=AF，再证△NFH≌△MFD（SAS），可得NH=DM，从而得出

DM+DN=NH+DN=DH=2DF，故②正确；连接AP，由勾股定理求出AP，利用AP=2PF可求出PF，设CE=x，则PE=1.5+x，BE=3+x，由勾股定理求出AE的长，利用sinE=PFPE=ABAE建立关于x方程并解之，可得CE=6，AE=310，BE=9，再利用cosE=CEME=BEAE，可求出CM，即可判断③；由题意知：∠AFN=90°，∠BPF＞90°，则△AFE与△APF不相似，故BF•NF≠AF•BP，故④错误；

可设PC=CM=a，BCCD=AD=AB=b，CE=c，则PM=2a，DM=b-a，BE=b+c，PE=a+c，证明

△AFN≌△PFM（SAS），可得AN=PM=2a，证明△ADM∽△ECM可得ADCE=DMMC，据此求出a=bcb+c，同理可证△AFN∽△EFP，△DMF∽△BAF，分别得出2aa+c=19．【答案】解：原式=2x−6x÷（x2x﹣6x−9x）

=2x-6x÷x2-6x+9x

=2(x-3)x·【解析】【分析】先计算括号里分式的减法，再将除法转为乘法，然后约分即可化简，最后从﹣1，0，1，2，3中选一个使分式有意义的数代入求值即可．20．【答案】解：由题意知：四边形EDCB是平行四边形，BF=6米，

∴DE=BC=1.5m，

∵tan∠ABE=AEBE，tan∠AFE=AEEF，

∴AE=BE·tan∠ABE=BE，EF=AEtan58°≈10，

∵BE=EF+BF=6+10=16，

【解析】【分析】由题意知：四边形EDCB是平行四边形，BF=6米，则DE=BC=1.5m，利用解直角三角形可求出AE=BE，EF=AEtan21．【答案】（1）50（2）解：B类人数为50-（20+8+5）=17人，

补全图形如下：

“了解较少”所对应的圆心角度数为360°×550=36°.（3）解：1200×2050=480(名)

【解析】【解答】解：（1）本次调查共抽取了学生人数为（20+8+5）÷（1-34%）=50名；

故答案为：50.

【分析】（1）用A、C、D的总人数除以它们所占的比例即可求解；

（2）利用总人数减去A、C、D的人数，可得B人数，再补图即可；利用360°×“了解较少''所占比例即得“了解较少”所对应的圆心角度数；

（3）利用全校总人数乘以样本中“非常了解"人数所占比例，即可求解.22．【答案】解：当∠CBE=60°，作图如下：过点O作OF⊥BC，垂足为F，

在菱形BCDE中，∠CBE=60°，BC=BE，CO=OE，

∴△BCE为等边三角形，BD⊥CE，

∴EC=BC=12，∠BCO=60°，

∴CO=12CE=6，

∴CF=12CO=3，

∴△AOC的面积=12AC·CF=12×8×3=12.

当∠BCD=60°，作图如下：过点O作OF⊥BC，垂足为F，

同理可得△BCD为等边三角形，BD⊥CE，则BD=BC=6，∠CBD=60°，

∴BO=12BD=6，∠BCO=30°，

∴OC=BC2-BO2=63，

∴CF=32【解析】【分析】分两种情况：①当∠CBE=60°，②当∠BCD=60°，据此分别画出图形，分别过点O作OF⊥BC，垂足为F，利用菱形的性质及直角三角形的性质求出CO、CF的长，根据△AOC的面积=1223．【答案】（1）解：把（﹣1，0），（0，﹣3）代入y＝12x2+bx+c中，

得12-b+c=0c=-3，解得b=-52c=-3，

∴（2）9【解析】【解答】解：（2）y＝12x2-52x-3，当y=0时，则12x2-52x-3=0，

解得：x1=-1，x2=6，

∴B（6，0），即OB=6，

∴BC=OB2+OC2=32+62=35，

∵B（6，0），C（0，-3）

∴利用待定系数法求直线BC解析式为y=12x-3，

过点P作PD⊥x轴交BC于点D，

设点P（n，12n2-52n-3），则D（n，12n-3），

∴PD=12n-3-（12n2-52n-3）=-12n2+3n，

∴△CPB的面积=12PD·OB=12（-12n2+3n）×6=-32（x-3）2+272，

∴△CPB的面积的最大值为272，

∵△CPB的面积=12BC·PN=272，

∴PN=955.

故答案为：24．【答案】（1）70（2）解：∵E（52，0）F（4，180），

所以可设线段EF所在直线的函数解析式y=kx+b

则52k+b=04k+b=180，解得（3）解：由（1）知：A、C两地的距离为300km，

∴乙车行驶的速度为：300÷52-70=50km/h，

B、C两地的距离为：50×4=200km，A、B两地的距离为：300-200=100km，

设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍．

当甲、乙两车相遇前，

则200-50x=3(100-70x）

解得x=58，

当甲、乙两车相遇后，

则则200-50x=3(70x-100），

解得x=2513，

综上可知：两车出发5【解析】【解答】解：（1）由图可知：甲车27小时行驶的路程为（200-180）km，

∴甲车行驶的速度是（200-180）÷27=70km/h，

∴A、C两地的距离为70×（4+27）=300（km），填图如下：

故答案为：70.

【分析】（1）利用速度、时间、路程的关系解答即可；

（2）利用待定系数法求解析式即可；25．【答案】（1）证明：在AB上截取AM＝EF，连接DM，

由旋转的性质知：AD=AE，∠EAD=60°，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴∠B=60°，

∵EF∥BC，

∴∠EFB=∠B=60°，

∴∠EFB=∠EAD，∠EFA=180°-60°=120°

∵∠BAD=∠EAD-∠EAB，∠E=∠EFB-∠EAB，

∴∠BAD=∠E，

∵AD=AE，AM=EF，

∴△DAM≌△AEF（SAS），

∴AF=DM，∠AMD=∠EFA=120°，

∴∠BMD=180°-∠AMD=60°，

∵∠B=60°，

∴△BMD为等边三角形，

∴BD=DM=BM，

∴AB=AM+BM=EF+BD.（2）解：图②：AB=BD-EF，

理由：如图，在BD上取点H，使BH=AB，连接AH并延长到点G使AG=AF，连接DG，

∵∠ABC=60°，

∴△ABH为等边三角形，

∴∠BAH=∠BHA=60°，

由旋转知：∠DAE=60°，AE=AD，

∴∠BAH=∠DAE，

∴∠BAE=∠DAH，

∵AG=AF

∴△FAE≌△GAD（SAS），

∴EF=DG，∠AFE=∠G，

∵BC∥EF，

∴∠AFE=∠ABC=∠G=60°，

∵∠DHG=∠AHB=60°，

∴△DHG为等边三角形，

∴DH=DG=EF，

∴AB=BH=BD-DH=BD-EF.

图③：AB=EF-BD，

理由：如图，在EF上取点H使AH=AF，

∵BC∥EF，

∴∠F=∠ABC=60°

∴△AHF为等边三角形，

∴∠AHF=∠HAF=60°，AH=FH

∴∠AHE=120°，∠EAH+∠DAB=180°-∠EAD-∠FAH=180°-60°-60°=60°，

由旋转知：AD=AE，∠DAE=60°，

∵∠D+∠DAB=∠ABC=60°，

∴∠D=∠EAH，

∵∠DBA=∠AHE=120°，AD=AE，

∴△EAH≌△ADB（AAS）

∴BD=AH，AB=EH，

∴BD=HF，

∴AB=EH=EF-FH=EF-BD；（3）10或18【解析】【解答】解：（3）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴AB=2BC，AC=3BC，

∴BC=33AC=6，AB=12，

∵CD=2BD，

∴BD=13BC=2，

由（1）知：AB=EF+BD，

∴EF=AB-BD=12-2=10；

如图：当点D在线段BC的延长线上时，由CD＜BD，与CD=2BD矛盾，不成立；

如图：当点D在线段CB的延长线上时，

∵CD=2BD，BC=6，

∴BD=BC=6，AB=2BC=12，

由AB=EF-BD，则EF=AB+BD=18.

综上可知：EF的长为10或18.

【分析】（1）在AB上截取AM＝EF，连接DM，可证△DAM≌△AEF（SAS），可得AF=DM，∠AMD=∠EFA=120°，再证△BMD为等边三角形，可得BD=DM=BM，利用线段的和差关系即可求解；

（2）图②：如图，在BD上取点H，使BH=AB，连接AH并延长到点G使AG=AF，连接DG，易得△ABH为等边三角形，再证△FAE≌△GAD（SAS），可得EF=DG，∠AFE=∠G，最后可证△DHG为等边三角形，可得DH=DG=EF，利用线段的和差关系即可求解；

图③：如图，在EF上取点H使AH=AF，可证△EAH≌△ADB（AAS），可得BD=AH，AB=EH，利用线段的和差关系即可求解；

（3）利用含30°角的直角三角的性质求出BC=6，AB=12，结合CD=2BD求出BD的长，继而求解.26．【答案】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是x元和y元，

依题意得：3x+2y=4204x+5y=910，

解得：x=40y=150，（2）解：设购进特级鲜品猴头菇为n箱，则购买特级干品猴头菇为（80-n）箱，

则（50-40)n+(180-150)(80-n)≥156080-n≤40，

解得：40≤n42，

∵n为正整数